一道美国数学奥林匹克国家队选拔考试
题
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的再推广
一道美国数学奥林匹克国家队选拔考试题的再推
广
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赛题 正实数a，b，c满足abc=1，求证:
1a5(b+2c)2+1b5(c+2a)2+1c5(a+2b)2?13.
这是2010年美国数学奥林匹克国家队选拔考试题的第2题，文[1]将这道试题推广为
推广1 正实数a，b，c满足abc=1，0<λ?2，则1a5(b+λc)2+1b5(c+λa)2+1c5(a+λb)2?1-2+2λ9.
笔者认为这个推广有一定的局限性，一是λ的取值范围太小，二是不等式的右边不够简洁优美，笔者经过思考研究以后得到一个更加理想的推广，即
推广2 正实数a，b，c满足abc=1，0?λ，n?4，则1an(b+λc)2+1bn(c+λa)2+1cn(a+λb)2?3(1+λ)2.
证明
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由权方和不等式可知
1an(b+λc)2+1bn(c+λa)2+1cn(a+λb)2=(bc)n(b+λc)2+(ac)n(c+λa)2+(ab)n(a+λb)2?(?bn3cn3)3(1+λ)2(?a)2?27(?bc3)n(1+λ)2(?a)2=33-n(?bc)n(1+λ)2(?a)2.
注意到(?bc)4=[(1a+1b+1c)2]2?3(1ab+1bc+1ac)2=[3(a+b+c)]2
=9(a+b+c)2.
所以33-n(?bc)n(1+λ)2(?a)2=33-n[(?bc)4]n4(1+λ)2(?a)2?33-n[9(a+b+c)2]n4(1+λ)2(?a)2=33-n2(a+b+c)n2(1+λ)2(?a)2?33-n2
(a+b+c)n2-2(1+λ)2?33-n2×3n2-2(1+λ)2=3(1+λ)2.
当且仅当a=b=c=1时取到等号.
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