五年级奥数第12讲 最大公约数与最小公倍数

五年级奥数专题：最大公约数与最小公倍数(一) 摘要:①如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数,b为a的约数。 ②如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。 自然数a1,a2,…,an的最大公约数通常用符号(a1,a2,…,an)表示，例如,(8,12)=4,(6,9,15)=3。 ③如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。 自然数a1,a2,…,an的最小公倍数通常用符号[a1,a2,…,an]表示，例如[8,12]=24,[6,9,15]=90。 常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。 例1 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱? 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144,180,240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是 144,180,240的最大公约数。是144,180,240的最大公约数。 所以(144,180,240)=2×2×3=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60÷12=5(元)。 例2 用自然数a去除498,450,414，得到相同的余数,a最大是多少? 分析与解：因为498,450,414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整除。 498-450=48,450-414=36,498-414=84。所求数是(48,36,84)=12。 例3 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少? 分析与解：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111的约数。因为1111=101×11，它的约数只能是1,11,101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111,1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101,101和909。所以所求数是101。 例4 在一个30×24的方格纸上画一条对角线(见下页上图)，这条对角线除两个端点外，共经过多少个格点(横线与竖线的交叉点)? 分析与解:(30,24)=6，说明如果将方格纸横、竖都分成6份，即分成6×6个相同的矩形，那么每个矩形是由(30÷6)×(24÷6)=5×4(个)小方格组成。在6×6的简化图中，对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线，所以经过5个格点(见左下图)。在对角线所经过的每一个矩形的5×4个小方格中，对角线不经过任何格点(见右下图)。)。 所以，对角线共经过格点(30,24)-1=5(个)。 例5 甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会? 分析与解：甲、乙、丙走一圈分别需60秒、75秒和90秒，因为要在起点相会，即三人都要走整圈数，所以需要的时间应是60,75,90的公倍数。所求时间为[60,75,90]=900(秒)=15(分)。 例6 爷爷对小明说:“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗? 分析与解：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄差是保持不变的。爷爷的年龄现在是小明的7倍，说明他们的年龄差是6的倍数；同理，他们的年龄差也是5,4,3,2,1的倍数。由此推知，他们的年龄差是6, 5,4,3,2的公倍数。 [6,5,4,3,2]=60, 爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。考虑到年龄的实际情况，爷爷与小明的年龄差应是60岁。所以现在 小明的年龄=60÷(7-1)=10(岁), 爷爷的年龄=10×7=70(岁)。 练习12 1.有三根钢管，分别长200厘米、240厘米、360厘米。现要把这三根钢管截成尽可能长而且相等的小段，一共能截成多少段? 2.两个小于150的数的积是2028，它们的最大公约数是13，求这两个数。 3.用1~9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数? 4.大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。问：这个花圃的周长是多少米? 5.有一堆桔子，按每4个一堆分少1个，按每5个一堆分也少1个，按每6个一堆分还是少1个。这堆桔子至少有多少个? 6.某公共汽车站有三条线路的公共汽车。第一条线路每隔5分钟发车一次，第二、三条线路每隔6分钟和8分钟发车一次。9点时三条线路同时发车，下一次同时发车是什么时间? 7.四个连续奇数的最小公倍数是6435，求这四个数。 五年级奥数专题：最大公约数与最小公倍数(二) 摘要：这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系，并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。 在求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法 可知,(18,12)=2×3=6,[18,12]=2×3×3×2=36。如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘，那么 (18,12)×[18,12] =(2×3)×(2×3×3×2) =(2×3×3)×(2×3×2) =18×12。 也就是说,18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。当把18,12换成其它自然数时，依然有类似的结论。从而得出一个重要结论：两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘 积。即,(a,b)×[a,b]=a×b。 例1 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数 是18，求另一个自然数。 解：由上面的结论，另一个自然数是(6×72)÷18=24。 例2 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和 是77，求这两个自然数。 分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为:“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。” 改变以后的两个数的乘积是1×30=30，和是11。 30=1×30=2×15=3×10=5×6, 由上式知，两个因数的和是11的只有5×6，且5与6互质。因此改变后的两个数是5和6，故原来的两个自然数是 7×5=35和7×6=42。 例3 已知a与b,a与c的最大公约数分别是12和15,a,b,c的最小公倍数是120，求a,b,c。 分析与解：因为12,15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12,15]=60的倍数。再由[a,b,c]=120知, a只能是60或120。[a, c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a,b,c]=120=23×3×5，所以c=15。因为a是c的倍数，所以求a,b的问题可以简化为:“a是60或120,(a, b)=12,[a,b]=120，求a,b。”当a=60时,b=(a,b)×[a,b]÷a =12×120÷60=24；当a=120时,b=(a,b)×[a,b]÷a =12×120÷120=12。所以a,b,c为60,24,15或120,12,15。要将它们 全 部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：每瓶最多装多少千克?分析与解：如果三种溶液的重量都是整数，那么每瓶装的重量就是三种溶液重量的最大公约数。现在的问题是三种溶液的重量不是整数。要解决这个问题，可以将重量分别乘以某个数，将分数化为整数，求出数值后，再除以这个数。为此，先求几个分母的最小公倍数,[6,4,9]=36，三种溶液的重量都乘以36后，变为150,135和80,(150,135,80)=5。 上式说明，若三种溶液分别重150,135,80千克，则每瓶最多装5千克。可实际重量是150,135,80的1/36，所以每瓶最多装 在例4中，出现了与整数的最大公约数类似的分数问题。为此，我们将最大公约数的概念推广到分数中。如果若干个分数(含整数)都是某个分数的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个分数的最大公约数。 由例4的解答，得到求一组分数的最大公约数的方法: (1)先将各个分数化为假分数; (2)求出各个分数的分母的最小公倍数a; (3)求出各个分数的分子的最大公约数b; 类似地，我们也可以将最小公倍数的概念推广到分数中。如果某个分数(或整数)同时是若干个分数(含整数)的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个分数的最小公倍数。 求一组分数的最小公倍数的方法: (1)先将各个分数化为假分数; (2)求出各个分数的分子的最小公倍数a; (3)求出各个分数的分母的最大公约数b; 一 个陷井。它们之中谁先掉进陷井?它掉进陷井时另一个跳了多远? 同理，黄鼠狼掉进陷井时与起点的距离为 所以黄鼠狼掉进陷井时跳了31 1/2÷6 3/10=5(次)。 黄鼠狼先掉进陷井，它掉进陷井时，狐狸跳了 练习13 1.将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。 2.两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。满足条件的自然数有哪几组? 3.求下列各组分数的最大公约数: 4.求下列各组分数的最小公倍数: 温馨推荐 您可前往百度文库小程序 享受更优阅读体验 不去了 立即体验 部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：最少要装多少瓶? 于同一处只有一次，求圆形绿地的周长。 练习13 1.72×120=(7,120)×[72,120]=24×360。 2.12,72与24,36两组。 提示:72÷12=6=1×6=2×3，所以有两组: ①12×1=12,12×6=72;②12×2=24,12×3=36。 5.等于。 6.151瓶。 7.120米。