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- 直线和圆、圆和圆的位置位置关系[最新]
学生姓名 原就读学校 年级 授课时间 教师姓名
教学内容 直线和圆、圆和圆的位置位置关系
1. 理解直线和圆的三种位置关系,了解切线的概念,掌握圆的切线性质与判定,以及作三角
教学目标 形内切圆的方法(
2. 理解圆和圆的位置关系,以及圆心距与圆的半径之间的关系,并能解决实际问题(
1. 理解直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系,圆的切线的性质、判定及其应用( 教学重、难点 2. 圆与圆的位置关系(
,知识要点,
知识点
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1、直线和圆的位置关系的定义及其有关概念(
直线和圆有三种位置关系:相交、相切、相离(
(1)直线和圆有两个交点时,叫做直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线(
(2)直线和圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切,这条直线叫做圆的切线,唯一的交点叫做切点(
(3)当直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离(
知识点2、直线和圆的位置关系的性质和判定(
如果?O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么:
(1)直线l和?O相交d
r
知识点3、切线的性质定理
定理:圆的切线垂直于过切点的直径(
如图所示,已知直线CD与?O相切于点A,AB为直径,切线的性质定理的题设和结论如下
表
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:
性题设 结论
质直线CD与?O相切于点A,ABAB?CD 定为 理 ?O的直径(
本定理也可以这样理解,如果一条直线既过圆心又过切点,那么这条直线与圆的切线垂直(如图所示,若直线l切?O于A,直线m经过点O和点A,则直线m?l.
知识点4、切线的判定
1)切线的判定定理:经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线(
切线的判定定理的题设是:一条直线l满足两个条件:?经过直径AB的一个端点A,?垂直于这条直径AB,结论是:这条直线l是圆的切线(
注意:一条直线只有同时满足上述定理中的两个条件时,才是圆的切线,千万不能只凭一个条件就判定一条直线为圆的切线(如图所示的直线l都不是?O的切线(
2)切线的判定方法(
(1)定义:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线
(2)数量关系:到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线(
(3)判定定理:经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线(
说明:判定切线的三种方法中,常用的是后两种方法,用后两种方法判定切线时,往往需要添加辅助线(
3)添加辅助线的规律
(1)如果已知直线经过圆上的一点,那么连接这点和圆心,得到辅助半径,再证明所作半径与这条直线垂直即可,简记为:连半径,证垂直(
(2)如果已知条件中不知道与圆是否有公共点,那么过圆心作直线的垂线段,再证明垂线段的长度等于半径即可,简记为:作垂直,证半径(
知识点5、三角形的内切圆、三角形的内心的概念
和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫作三角形的内心(如图所示,?I为?ABC的内切圆,I为?ABC的内心(
说明:(1)由三角形内切圆的作法可知,任意三角形都有且只有一个内切圆(因为圆心是唯一确定的,半径是一个定长)
(2)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,即当三角形的内心已知时,过三角形的顶点和内心的射线,平分三角形的内角(
知识点6、三角形内切圆的作法
已知:?ABC
求作:?ABC的内切圆(
分析:作圆的关键是确定圆心,因为三角形的内切圆与三边都相切,所以圆心(三角形的内心)到三边的距
离相等,因此?ABC的内切圆的圆心既要在?B的平分线上,又要在?C的平分线上,显然这两条角平分线的
交点到三边的距离相等,是三角形的内心(
作法:(1)作?B,?C的平分线BE和CF,交点为I
(2)过I作ID?BC,垂足为D.
(3)以,为圆心,以ID为半径作?,(
则?I就是所求作的圆(
知识点7、三角形的内心与外心的区别(
名称 确定方法 图形 性质
外心(三角三角形三条边的垂(1) 到?ABC三顶点的形外接圆直平分线的交点 距离相等,即OA=OB=OC, 圆心) (2) 不一定在?ABC内
部
内心(三角三角形三条角平分(1)到?ABC三边的距离相形内接圆线的交点 等,即OD=OE=OF, 圆心) (2)AO,BO,CO分别平
分?BAC,?ABC,?ACB
(3)一定在三角形内部(
知识点8、圆和圆的位置关系
同一平面内两个不等的圆之间有下列五种位置关系(
(1)两圆外离
(2)两圆外切
(3)两圆相交
(4)两圆内切
(5)两圆内含
注意:(1)两圆的五种位置关系还可以进一步概括为:
(2)两圆外切和两圆内切,统一称为两圆相切,唯一的公共点称为切点(
知识点9、两圆相切的性质
如果两圆相切,那么两圆的连心线经过切点(
例如,如图所示,已知?O与?O相切(包括内切与外切)于点T,求证切点T一定在连心线上( 12
证明:假设切点T不在上,
因为连心线是由?O与?O组成的图形的对称轴, 12
所以点T关于的对称点也不在上,
并且也是?O与?O的公共点, 12
即?O与?O有两个公共点T, 12
这与已知?O与?O相切(只有唯一公共点)矛盾( 12
所以?O与?O相切时,切点T在连心线上( 12
证明:(1)要正确区分连心线和圆心距,连心线是指通过不同心的两个圆圆心的一条直线,而圆心距是指两个圆圆心之间的线段的长度,显然两个圆圆心的连线一定在连心线上(
(2)“相切两圆的连心线经过切点”也可理解为“相切两圆的圆心、切点在同一条直线上”或“经过相切两圆的切点和一个圆圆心的直线必经过另一个圆的圆心”(
(3)两圆相切时,连心线是常见的一条辅助线,使用连心线时,要注意连心线是直线而不是线段,有时也用圆心距(
又如:如图所示,?O与?O外切于点P,过点P的直线AB分别交?O,?O于点A,B,已知?O与12121?O的面积比是3:1,则AP:BP等于( ) 2
A. 3:1 B. 6:1 C. 9:1 D. :1
分析:已知?O,?O外切于点P,连接,则必过切点P,连接,则??BP,12
所以,又因为?O与?O的面积比是3:1,即 12
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
:D
知识点10、两圆相切与两圆的半径、圆心距之间的数量关系
设两圆的半径分别为R和r,圆心距为d,则
(1)两圆外切d=R+r
(2)两圆内切d=R,r
说明:(1)上述式子从左到右是两圆位置关系的性质,从右到左是两圆位置关系的判定(
(2)两圆相切有两种情况:外切和内切(
(3)两圆外离、相交、内含与两圆的半径、圆心距之间的数量关系如下:
?两圆外离d>R+r
?两圆相交R,rr,?C与AB相离(
当r=2.4cm时,CD=r,?C与AB相切(
当r>2.4cm时,CD
检测
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分数:
【模拟试题】(答题时间:45分钟)
一. 选择题
1、对于任意一个三角形来说( )
A. 既有一个内切圆,又有一个外接圆
B. 每个三角形都有内切圆,但不一定有外接圆
C. 不一定都有内切圆,但都有外接圆
D. 以上均不对(
2、下列说法不正确的是( )
A. 三角形的内心是三角形角平分线的交点
B. 三角形的内心到三角形三边距离相等
C. 垂直于半径的直线是圆的切线
D. 三角形的垂心是三条高的交点
3、直角三角形的两条直角边分别为3,4,那么它的内切圆的半径为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4、已知正三角形的周长为10,面积为S,内切圆的半径为r,那么r:S( )
A. 5:1 B. 1:5 C. 10:1 D. 1:10
5、半径分别为1厘米和2厘米的两圆外切,那么与这两个圆都相切且半径为3厘米的圆的个数为( )个(
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
6、?O与?O外切,且都与?O内切,若,,那么?O的面积为( ) 1233
A. 196 B. 169 C. 144 D. 121
7、两圆圆心都在y轴上,且交于A,B两点,若A(2,),则B点的坐标为( )
A. (,2,) B. (2,,) C. (,2,,) D. (2,)
二、填空题
1、同圆的内接正三角形与外切三角形的边长之比为( )
2、有一个内角为120?的菱形的内切圆的半径为,则该菱形的边长为( ) 3、如图所示,在平面直角坐标系第一象限内有一矩形OABC,B(4,2),现有一圆同时和这个矩形的三边都相切,则此圆的圆心P的坐标为( )
4、?O与?O的半径分别是3厘米和2厘米,当?O与?O有唯一公共点时,的长是( ),当?1212
O与?O有两个公共点时,的长度范围是( ) 12
5、已知两圆的半径分别是方程的两个根,当两圆相交时,圆心距d的取值范围是( ) 6、已知?O与?O相交于A,B,它们的半径为2和,公共弦AB长为2,若圆心在AB的同侧,12
则=( )
三、简答题
1、如图,已知?O与?O内切于点E,?O的弦AB过?O的圆心,交?O于点C,D,AC:CD:DB=2:121224:3,求?O与?O的半径之比( 12
2、如图,点I是?ABC的内心,AI延长线交边BC于点D,交?ABC外接圆于点E,求证:
3、如图,半径为3厘米,3厘米,6厘米的三个圆两两外切,求以三个切点为三顶点的三角形的面积(
本周作业
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