高等代数试卷（2）
一． 填空题：（2×10=20）
1．若向量组
可由
线性表示，且r>s,则
线性 。
2．数域P上所有n阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是 ；
3．设
是线性空间V的两个子空间，则
的充分必要条件是
= ；
4．数域P上的两个有限维线性空间同构的充分必要条件是 。
5．设V是数域P上的n维线性空间，
是V上一切线性变换所成的P上的线性空间，则dim(L(V))= 。
6．设
是线性空间V的一组基，则由这个基到基
的过度矩阵是 。
7．令Pn[x]表示一切次数不大于n的多项式连同零多项式组成的线性空间，
，则
关于基
下的矩阵是 。
8．设
是n维欧氏空间V上的一个正交变换，且
（单位变换），则
是 变换 。
9． 欧氏空间V上的对称变换的特征根都是 数。
10．设
是n维欧氏空间V的一组
标准
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正交基，则它的度量矩阵是 。
二．判断题（每题1分，计10分）
1．设
。（ ）
2．两个等价的向量组一个线性无关，则另一个也线性无关。（ ）
3．若
，
，且V中的任意一个向量都可由
线性表示，则
实数是V的组基。（ ）
4．线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组。（ ）
5．如果一个线性变换是单射，则它无零特征根。（）
6．设
是线性空间V上的一个线性变换，则
的核
与
的象
都是
的不变子空间。（）
7．如果W是欧氏空间的一个子空间，那么对V的内积来说，W也作成欧氏空间。（）
8．设
是欧氏空间V上的一个正交变换，则对于
夹角等于
的夹角。（）
9．两个n元二次型
（
与
（
等价的充分必要条件是A与B
合同
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。（）
10．实二次型
（
正定的当且仅当A合同于单位矩阵。（）
三、证明题（10×3=30）
1．在一个欧氏空间里，对任意向量
有不等式
；且仅当
线性相关时等式成立。
2．设V是数域P上的n维线性空间，
是V的一组基，那么对V的任意n个向量
有且仅有一个线性变换 σ 使得
。
3． 设
，令V表示A的全体实系数多项式矩阵关于通常加法与数乘运算构成的线性空间；证明：dim(V)=3.
四、计算题（15×2=30）
1． 设
，求出一个正交矩阵U，使得
是对角矩阵。
2． 化二次型
为标准形，并求相应的变换矩阵。
五、以下四个证明题中任选两个作答。（每题5分共10分）
1． 设V是复数域P上的n维线性空间，
是V的一组基，那么实数域R上的线性空间V，有
。
2． 设V是数域P上的线性空间，
是V的一个线性变换，证明：1）若
是
的两个不同特征根，
是分别属于
的特征向量，则
不是
的特征向量；2）若
是线性变换，如果V中的每一个向量都是它的特征向量，则
为数乘变换。
3． 若在线性空间定义中去掉算律（1）而把算律（2）改成
都有
而其于算律保持不变，则V对原来的如法和数乘运算也构成一个线性空间。
4． 设
是n维欧氏空间V上的一个线性变换，称
为广义正交变换，如果存在一个正数k,使得
，证明：
是广义正交变换当且仅当
在任一标准正交基下的矩阵A，满足
。
浙公网安备 33021202002483