一种工业上测量椭圆截面积和椭球体积的新方法

一种工业上测量椭圆截面积和椭球体积的新方法 一种工业上测量椭圆截面积和椭球 体积的新方法 New method to measure and compute areas of ellipses & volumes of ellipsoids for industrial application 尤宸超、田汉排名不分先后 Chenchao You, Han Tian 指导老师:朱胜强 Advisor: Shengqiang Zhu 南京外国语学校 Nanjing Foreign Language School 2012-8-30 摘要: 本文是关于一种工业上快速、准确地测量椭圆截面面积、椭球形物体体积新 方法的研究。 通过对摄相机从任意角度在被测物体侧面进行拍摄所得的影像中线段长度 的分析,结合解析几何以及几何光学知识求出相应的椭圆截面面积、椭球体 积。 模型一中,本文提出了一种特殊情况下测算椭圆截面面积的方法。在模型二 中,本文又得出了一般情况下准确测算椭圆截面积的公式。随后,在椭圆中心 一 定程度内随机偏离台面中心的情况下,本文通过统计方法验证了其误差在一般实 际工业生产中不具有有效影响。 在模型三中,本文探求了精确测得椭球形物体体积的一般方法。通过分析椭 球体的几何性质以及几何光学,本文得出了椭球体体积的一般表达式。随后,本 文进一步通过统计方法验证了计算中近似处理产生的误差对于一般生产不具有 有效影响。 本文研究得出了如何快捷、准确地测量椭圆截面面积、椭球形物体体积的有 效表达式。由于该方法的高效、精确和低成本,其在工业生产、质量控制等具体 应用方面具有较强的实用性与创新性,满足了企业追求效益昀大化的需求,尤其 适用于中小型企业。 关键词:椭圆椭球 面积/体积测量摄相技术2Abstract: A new method to measure and compute the area of ellipses and the volume of ellipsoids for industrial application with rapidity and accuracy was introduced in this studyWe analyzed the lengths of certain lines on pictures took by cameras flanking the measured object from random angles with analytic geometry and geometric optics to calculate the area of ellipse and the volume of ellipsoid In model 1, we introduced a method to calculate the area of ellipse with lines on pictures under specific conditions. In model 2, we produced the formula for the more accurate measurement of the area of ellipse under general circumstances Furthermore, when the center of ellipse deviates from the center of the work surface, we used statistical analysis to prove that the error is negligible in actual manufacturing In model 3, we explored the generic approach to compute the volume of ellipsoids by analyzing the geometric characteristics of the measured objects and adopting the principle of geometric optics. The general expression of the calculation was deduced, of which the error was demonstrated to be insignificant in industrial manufacturing scale by statistical approaches In conclusion, this paper offers a fast, accurate and effective approach to measure and compute the area and volume of oval objects. Due to its efficiency, accuracy, low cost, practicability and innovativeness, this method has great potential for industrial manufacturing and quality control, especially for SMEs small and medium enterprises, as it satisfies the enterprises’ needs for the imization of benefits Keywords: ellipseellipsoidarea/volume measurementcamera techniques3 目录 前言5 第一章 测量物体椭圆截面积和椭球体体积的新方法..5 1.1 测量对象..5 1.2 测量原理..6 1.3 测量方法的优势..8 第二章 模型的建立、求解与误差的分析.8 2.1 字母系统..8 2.2 模型的建立及求解.9 2.2.1 模型一..9 2.2.2 模型二..12 2.2.3 模型三..21 2.3 误差的分析与模型的检验..24 2.4 结论..31 第三章 模型的优缺点及改进 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 . 31 3.1 模型的优缺点31 3.2 模型的改进方案32 第四章 测量方法的实用性与创新性. 32 4.1 实用性.32 4.2 创新性.32 课题 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 33 参考文献 33 鸣谢. 34 附录. 34 4 前言 椭圆形和椭球体都是生活物品及工业配件中的常见形状。工业上常须测量它 们的面积或体积,以检验产品是否合格,尤其对于较精密的设备仪器,质量控 制 更为严格。关于如何准确地测量它们的面积或体积,现有的测量方法存在成 本与 效率、精度之间的矛盾,如射线扫面成本较高,浮力法效率不高,有的测量方法 需要专业设备,或是误差较大,对被测物体的理化性质有所要求,局限性很大。 我们为解决现有的方法所存在的诸多局限,提供了一种新型测量椭圆截面面 积及椭球形物体体积的方法,创造性地从侧面进行拍摄,无需专业设备,占地小, 成本低,同时保证了其效率及精确度,满足了企业追求效益昀大化的需求,尤其 适合于中小型企业,具有实用性和创新性。 第一章 测量物体椭圆截面积和椭球体体积 的新方法 1.1 测量对象 测量椭圆截面面积:适用于中小型椭圆形圆柱体或含类椭圆形圆柱体的物 体,如:椭圆形管、椭圆齿轮流量中装在计量箱内的一对椭圆齿轮、椭圆形 人孔盖、椭圆形封头、椭球形法兰、椭圆形中药切片机等椭圆形工件,椭 圆形吊牌、指示牌、价签、椭圆形相框、柱形容器、椭圆形家具板材等椭 圆形生活用品。测量椭球体体积:适用于中小型椭球形物体,如:椭圆形 封头、椭球形填料、椭球形容器、椭球形电容器、椭球形灯具等。 51.2 测量原理 测量装置:一圆形水平台面,标记出圆心,圆周等距等高地架设三台可升 降式摄像机,镜头保持水平并对准垂直于圆形台面且过圆心的直线,三台摄 像 机均与一台计算机相连。 测量方法:如图 1,测量椭圆形或含椭圆截面物体的椭圆截面面积时,将 该物体由人工或机械手置于该圆形台面的圆心附近,使被测椭圆截面保持水平, 且使椭圆截面的中心在圆形台面上的正投影尽量接近圆心,并调节摄像机高度 使得被测椭圆截面与摄像机处于同一高度,三台摄像机 P, P , P 同时进行拍 1 2 3 底片2 1 P 2 0.8 0.6 0.4 0.2 P 1 底片1 θ 1.5 1 0.5 0.5 r 1 1.5 O 0.2 0.4 0.6 0.8 P 3 1 图 1求椭圆截面面积 底片3 摄,并将影像传至计算机。计算机取得影像在长方形视野中底片为长方形位 于水平方向的对称轴上的线段长度,由这三条线段的长度 X , X , X ,计算 1 2 3 机上影像与底片上所成像的比例系数 K,圆形台面的半径 r 和摄相机镜头 焦距 f 即可快速而准确地求得被测椭圆截面的面积。 测量椭球形物体体积时,将该物体由人工或机械手水平置于圆心附近,且 使椭球中心在圆形台面上的正投影尽量接近圆心,调节摄像机使其位于被测 椭60.4 P 3 0.3 z 0.2 0.1 x 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.1 0.2 y P 1 0.3 P 2 底片 0.4 0.5 0.6 图 2 测椭球体体积示意图 1球中心所在的水平平面下方,将摄像机匀速 地升高至其上方,期间进行不间断 录影,影像实时传至计算机。计算机实时取得影像为一椭圆在长方形视野中 位于竖直方向的对称轴上的线段长度,当T 秒时,该线段长度昀短,计算机 在 1 取得T 秒时影像在长方形视野中位于水平方向的对称轴上的线段长度,由 这三 1 0.3 P 3 0.2 z 0.1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 0.1 0.2 y P 1 P 2 底片 0.3 图 3 测椭球体积示意图 2 底片放大图 条线段的长度 X , X , X ,时间T ,摄 1 2 3 1 像机运动前相对于圆形台面的高度为 H , 0 摄像机升速为 ?H ,计算机上影像与底片上 所成像的比例系数 K,圆形台面的半径 r 和摄相机镜头焦距 f 即可快速求得被测椭 球形物体的体积。 图 47 1.3 测量方法的优势 装置较简单,主要设备仅需三台可升降式摄像机和一台计算机,安装容易, 成本不高。测量迅速、高效,且精确、误差小,同种物品进行批量测量时,可 由程序事先设定参数,自动运行,节约了劳动力、时间和资金,可用于工业生 产中的质量控制等方面,提高企业生产效益,具有实用性。第二章 模型的建 立、求解与误差的分析 2.1 字母系统 测量椭圆截面面积: a, b:椭圆半长轴长和半短轴长 r:圆形台面的半径 Xi1 ?,2,3:等效替代椭圆在底片上投影的线段显示在计算机上的长度 i K:计算机上影像与底片上所成像的比例系数 f:摄像机镜头焦距 S:面积 测量椭球体积: a, b, c:椭球的赤道半径长和极半径长 X ,X ,X :等效替代椭球被赤道平面截得的椭圆在底片上投影的线 1 2 3 段显示在计算机上的长度 K:计算机上影像与底片上所成像的比例系数 f:摄像机镜头焦距8V:体积 2 3 长度单位:m,面积单位: m ,体积单位: m ,角度单位:rad 2.2 模型的建立及求解 在被测椭圆截面下简称椭圆所在的平面上,以椭圆中心为原点,椭圆长 轴为 x 轴,椭圆短轴为 y 轴,建立平面直角坐标系。椭圆的中心在圆形台面 下 简称圆上的正投影与圆心重合不完全重合所带来的误差将在模型分析部分 详 22 2 细讨论,设圆形台面平移至椭圆截面所在平面的方程为 x ?yr,椭圆方程 22 xy 为 1,由于椭圆与三台摄相机处于同一平面,所以设三台摄相机的坐 22 ab 标分别为Pr cos?r sin,12222? Pr cos??r sin,Pr cos??r sin。 2333 332.2.1 模型一:先从简化的情形入手:当椭圆相对于圆足够小时模 型分析部分将会对此做进一步说明,可将从椭圆上每一点射向摄像机镜头的 光 线看作是近似互相平行的。考察其中一台摄像机Pr cos?r sin,其它两台同? 1 0.6 s' 0.5 P 1 rcos θ,rsin θ 0.4 0.3 ytan θ?x+m 0.2 s ytan θ?x-m 0.1 A' A θ 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 x1 B B' 0.1 9 图 5 理。由于摄相机对准圆心拍摄,所以底片所在直线垂直于该摄像机与 圆心连线 yxtan? l : ,进而可将椭圆在摄像机底片上的投影近似看作椭圆的两条与l 1 1 平行的切线间的距离 A’B’在摄像机底片上的投影,如图 5所示。 设 xAB'' ,两条平行切线分别为 ytan?xm和 ytan?xm1 联立椭圆方程与切线方程,消去 y,可得: 222 1tan2mm tan ?b 2xx 022 2 2 ab b b 又由 ?得 22 2 2 mb??a tan1 2 m 由 x,两边平方,将1式代入,并整理得: 1 2 1t ?an22 x4b 2 1 tan 2 22 4ax1 同理可得: 22 2x4b 2 2 tan3? 22 34ax2 22 2x4b 2 3tan4? 22 34ax3 对3式变形: 2 22 2 xb4 tan? 3 tan3? 2 3 tan 2? 22 2 4ax13 tan3tan1? 2 3 tan 2 代入2式得: 22 2 2 22 2 2 22 xb4 x4ba 34 ?x ? 2 3 x? 4b 4a?x 11 1 1 2 5 22 2 2 22 22 2 2 4ax43 a??xxb ?4?23xb ?44a?x 2 11 1 1 22 22 不妨设: A4ax ,Bx??4bi?1,2,3,即 ii ii 22 2 2 2 2 2 4aA??x ?A?x ?A?x , 11 2 2 3 3 22 2 2 2 2 2 4bx??B ?x ?B ?x ?B 11 2 2 3 3 1022 2 2 22 2 2 变形得: B?? xx ?B , A?? xx ?A , 12 1 2 12 1 2 代入5式得: 22 2 2 2 2 B?? xx B B?3A?23AB 12 1 2 1 1 11 22 2 2 22 Ax??x A 32 B??AA3B 12 1 2 11 11 22 去分母,整理,并约去 AB 得: 11 22 2 2 3BA 4x?x ? 2 3AB 0 6 11 2 1 11 同理,由4式可得: 22 2 2 3BA 4x?x ? 2 3AB 0 7 11 3 1 11 2222 22 2 222 又因为椭圆面积Sa?b ,将 4aA?x 和 4bx?B 代入得: 11 11 22 22222 222 4 2? SA??xx?B? xA?B?x?AB 11 1 1 1 1 1 1 11? 16 16 22 设uA??B ,vAB ,代入6、7两式得 11 11 22 34ux ?x?23v0, 21 22 34ux ?x?23v0 31 由上两式联立,解得 2 22 2 ux??2 x?x, 23 1 3 3 22vx??x 32 3 222 42 代入Sx?? ux?v 得: 11 16 2 ?21 22 22 2 4 222 Sx??2 xx?x?x?x?x 12 3 1 1 3 2 16 3 3 22 2 22 22 4 4 4 2xxx2x 2xx?x?x?x 12 1 3 2 3 1 2 3 48 则 32 2 22 22 4 4 4 Sx22xxx?2xx?x?x?x 8 12 1 3 2 3 1 2 3 12 112 x 1 特别地,当椭圆退化为圆时, x ?xx,从而有 Scircle 12 3 42.2.2 模型二:考虑不进行简化的情形,即不对从椭圆射向摄像机镜 头的光线作平行近似。仍然考察其中一台摄像机Pr cos?r sin,其它两台同? 1 理。依旧先从较简单的情形入手,即当椭圆退化为圆时。由于摄相机对准圆 心 拍摄,因而底片所在直线垂直于该摄像机与圆心连线 l :yxtan? ,进而可 1 将圆在摄像机底片上的投影看作过圆心且垂直于 l 的直线被两条引自 P 的圆切 1 1 线所截得的线段 A’B’在摄像机底片上的投影,如图 6所示。 0.4 P rcos θ,rsin θ 1 0.3 0.2 A A' r 0.1 θ x1 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 a 0.1 B 图 6 当椭圆退化为圆 B' 0.2 x 1 22 r rx 2 2 1 设 xAB'' ,由,可得: a, 1 22 22 a 4rxra1 从而有 22 rx 2 1 Sa circle9 22 4rx1 12现在考虑椭圆未退化时的情形:同样地,将椭圆在摄像机底片上的投影看 作过圆心且垂直于l 的直线被两条引自 P的椭圆切线所截得的线段 A’B’ 在摄像 1 1 0.6 s' 0.5 0.4 P rcos θ,rsin θ 1 0.3 0.2 s 0.1 A' A α θ β 1 0.2 x 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 B 图 7 未退化椭圆 0.1 B' 机底片上的投影,如图 7所示。 设 A、B 两点为从 P向椭圆所做两切线的 切点,A 点坐标为 x , y ,B 点 1 aa rr cossin坐标为 x , y ,则直线 AB的方程为 xy ?1bb 22 ab ry sin? ry sin? a b 将 tan? , tan? ,代入 rx cos? rx cos? a b tan? tan tantan? xA''B rtantan??r,? 1 1tantan1 tan tan? 得:ry sin tan r cos?x tan r cos?x ??ry sin aa b bxr1??rx cos? tan?r sin??y ?rx cos? tan??r sin??y aa b b xy sincos? y cosx sin? aa b br? rxcos? y sin r x cos??y sin? aa b b rx sin ?x r cosy y ?xy ?xy ab a b ab bar 222 rrcosx x ?r sin yy? ? cos?xx? sin?yy? cos? sin? x yx y a b a b a b ab ab b a 10 又由直线 AB的方程得:1322 22 bb cosbb cosyx,yx, aa 2 bb 2 ar sinsinar sinsin 从而有: 2 22 b cosbb cos2 y??yx ?x ,yy x?x, ab a b ab a b 2 2 a sinar sinsin42 4 4 bb coscos b yyx x x?x? , ab 42 a b 2 a b 2 2 ar sina sin??r sin 22 22 bb cosbb cosxyx xx , xyx xx , ab a b a ba a b b 2 2 ar sinsinar sinsin将其代入10式得: 22 2 2 2 2 2 2 rb cosr a sin a b xxab 2 ra sin xr 1 2 2 22 2 2 22 222 cosabr b cos ab? r?b xx ?xxab ab 24 2 ra a r 11 将直线 AB的方程与椭圆方程联立,得: 22 2 222 ba cos? sin 2b cos?br sin? 2 xx??0 42 2 aar r 22 42 2 2 2c abosabs ?rin ? 则有xx,xx, ab ab 22 2 2 22 2 2 2 rbcos?asin ? rbcos?asin ? 2222 222 22 2ar sin??b cosra sin?ab xx, ab 22 2 2 rbcos?asin 代入11 式得: 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2rb cosr a sin a b rb cosr a sin a b xr1 2 2 22 22 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 22 2ba cosbr?b?b?rsincos?a?b?bcos??asin?r?b 22 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 22 2rb cosr a sin a b rb cos?r a sin?a br 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 br cosa a sin r?b ?r sin? cosr??a r?b ? 2r?a r?b 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2bcos ra asinrb? bcos r?a ?asinrb?r 22 22 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 cosrar cos r?b ? sin? r?b ?r sinra? 2r sin? cos? r?a r?b 12 22 22 22 22 设ur??a ,vr??b ,即ar?u,br?v,代入12式得:1422 2 2 22 2 2 2 rvcu osr?uvsinrv? cu os?r?uvsin? xr 1 22 22 2 2 2 2 2 2 2 ur cos cos??vv sin r sin??u? 2ruvsin? cos? 22 2 2 2 2 2 rucoss? vin uv rucoss? vin uv? r 22 22 2 2 rucos? vsin uvc u osvsin 22 2 2 rucos? vsin uv r 22 uv cos? sin 整理得: 22 22 42 2 2 x cuv os? sin 4r ucosvsin ?4ruv, 1 因而可得: 46 2 rr??xuv 22 1 uv cossin 2 13 2 x 1 由于在此模型下所做的一些近似,使得在圆半径为椭圆的半长轴的 5.53倍 以上时,才能保证相对误差被控制在 0.5%之内,其具体依据将在下文模型分 析 部分详细叙述。 46 2 44 rr??xuv rr 1 2 由ra 5.53 x ,得22??2r , 1 222 xxr 11 22 222 22 2 又由uv cossin r?a cos??b sin??r , 46 2 rr??xuv 1 22 得2cuvos ?sin,与13式矛盾,因而舍去加号,得: 2 x 1 46 2 rr??xuv 22 1uv cossin 2 14 2 x 1 同理可得: 46 2 rr??xuv 22 22 2 uv cos sin ? ? 2 2 33 x 2 46 2 rr??xuv 22 22 3 uv cos sin ? ? 2 2 33 x 3 22 令2c pu??osvsin 15 1 22? 22 2c puos?vsin? 2 33 1513 3 3 1 3 22 22uv cossin sin cos?? cossinsin?cos? 44 2 4 4 216 22? 22 2c puos?vsin? 3 33 13 3 3 1 3 22 22uv cossin sin cos?? cossinsin?cos? 44 2 4 4 2 17 由15 + 16 + 17得: 4 uv p ?p ?p18 12 3 3 2 由1617 得:22 2 2 3cossin uv 4p?p 19 23 2 pv 2 pu 2 2 1 1 由15可得:cos? ,sin? ,代入19式,整理,并再将 uvvu18式代入,整理得: 3 22 2 22 ppp??p2pp?uv?p?p?p20 12 1 3 2 3 1 2 3 4 46 2 rr??xuv i 且pi1,2,3; i 2 x i 设uvx,代入20式得: 46 2 4 6 2 46 2 4 6 2 4 6 2 4 6 2 rrxxrr??xx rr??xxrr xx r??r xxr? r?xx 12 133 2 2 22 2 2 2 2 xx x x x x 12 1 3 2 3 46 2 4 6 2 46 2 rr??xx rr??xx rr??xx 3 1222 32? ? ? x 22 2 xx x 4 12 3 其中,r, x , x , x 为字母常量,x 为未知量。 1 2 3 由于此方程无法得出解析解,因而需对其进行近似处理。 为方便表达,不妨设 r ?1,r 为其它值时同理。 2 2 对于 1x x ,由于15ra.53 ?x ?x ,其在 x ?1处的 n阶导数均存在, i ii 不妨取其在 x1处的泰勒级数,得:1624 2 6 3 8 4 xx1 xx 1 xx1? 5x1 x? 2 2 5 ii i i 1x x ?1[xO ?x ?1] ii 223 25 27 2 1??xx 8 1 16 1? x 128 1 ?x ii i i 又由15ra.53 ,得: 22 2 2 2 2 22 0.93621 0.18 1bx ? 1?a 1?b 1a ?1, 11 22 2 0??xa 2? ?0.18? 2? 0.1339i 22 1a 1 0.18 2 xx1 ? 2 i 若取其泰勒展开式中的 2 项,即 1x ,代入原方程后可将原 i 2 21x i 方程化为一元二次方程,而其产生的相对误差为 2 xx1 ? 22 i 1x1x x ii 2 21x i 2 ?, xx , i 2 1x x i 2 2 用 Mathematica作出 ?, x x 在 x ?0.9362,1且 x ?0,0.1339上的图像: i i 2?, x x i 2 x i 图 8 x 2 由图像不难看出,其相对误差远小于,从而可用 1x x 泰勒展开式中的 2 i 2 xx1 ? 2 i 项 1x 近似代替原式。虽然使用 3 项代替可使其更为精确 i 2 21x i 17?8 110 ,但原方程就会变为一元四次,不利于解的表达,故这里只使用 2 项代替,使原方程变为:22 2 2xx1 xx 1 xx?1 xx1 ? 22 2 2 12 1 3 11x11xx ?11 11x12 1 3 22 2 2 21??xx? 212 1?x 21? x12? 13? 2222 2 2 xx x x 12 1 3 22 22 2 2? xx1 xx1 xx1 ? xx1 ?? 22 2 2 3 12 2 11x?11x11?xx? 11? 12 2 3 2 2 2 2 21x21? x21xx 21 12 2 3? 22 2 44 xx x x 2 3 12 2 2 xx1 ? 2 3 11 x3 2 21x 3 3 x 4 x 4 3 2 进而可将其化为 AxBx C? 0的形式,并用 Mathematica解出 x,由于 x 的表达式过长,因而未在此文中完全列出。 4 得到 x,即uv的表达式后,将其代入18式:uv p ?p ?p ,其中 12 3 3 2 xu v ?1 2 i 1? 1xi 2 21x i pi1,2,3,即可得出uv的表达式。 i 2 x i 22 2 2 22 又由uv1 a 1? b ? 1? ab ? a b , 22 22 uv 1?a ? 1?b ? 2? a ?b , 得: abuv 1? u? v?2? uv?u? v?1,即Sab uv? u?v?1,代入uv及uv的表达式即 可写出 S 的表达 2 式。为方便表达,设tx??1 i ,2,3,从而由 Mathematica化解得: ii 2 2 S 1/ 6 [Sqrt] -4 -1+ 1t1 t1 -1+t2 t2 -1+t3 t3 -5- 1t 2 - 1t3 + t3 3 + 1t 2 t3 + t2 1+ 1t3 +3 t3 -2 t1 -1+t2 t2 -1+t3 t3 -2 -1+ 1t 2 t3182-6- 1t1 -2 1t3 + -2+ 1t1 t3+ t2 -2 -2+ 1t1 -1+ 1t3 +-7+3 1t1 2 t3+3 -3+ 1t1 t3 +t2 2 6+ 1t1 +2 1t 2 -1+ 1t3 --55+9 1t1 +12 2 4 1t 2 +12 1t3 t3 +-7+3 1t1 t3 -t1 -1+t2t2-1+t3t3-4 -1+ 1t 2 t3 2 2 1+ 1t3 +3 t3+3t2 4-4 1t3 +-3+2 1t3 t3+3 t3 +t2 -4 1+ 1t 2 2 2 -1+ 1t3 +-23+6 1t 2 +6 1t3 t3 +-9+6 1t 2 t3 +t1 -1+t2 t2 -1+t3 t3 -4 2 -1+ 1t 2 t3 -5- 1t1 - 1t3 +t3+ 1t1 t3+ t2 -4 1+ 1t1 -1+ 1t3 +-27+10 2 1t1 +2 1t3 +4 1t1 1t3 t3+3 -7+6 1t1 t3 +t2 4 5+ 1t1 + 1t 2 -1+ 1t3 --107+38 1t1 +14 1t 2 +4 1t1 1t 2 +14 1t3 +4 1t1 2 1t3 t3 +-27+10 1t1 +2 1t 2 +4 1t1 1t 2 t3 +2 1t1 1t 2 +2 2 2 1t1 1t3 +2 1t 2 1t3 -3 1t1 1t 2 1t3 [Sqrt] --1+t1 t1 2 2 2 2 2 2 3 -1+t2 t2 -1+t3 t3 128 -1+ 1t1 1t 2 t2 1t3 t3 +3 t1 t2 t3 8 -1+ 1t 2 1+ 1t3 -t3 t3 + t2 8 1+ 1t 2 -1+ 1t3 +11+8 1t 2 +8 1t3 -8 1t 2 2 2 2 1t3 t3-7 t3 +t2 8-8 1t3 -7 t3+3 t3 -8 t1 t2 t3 8 -1+ 1t1 -1+ 1t 2 1+2 2 1t3 t3 -3 -1+ 1t1 t2 1+ 1t3 -t3t3 +t2 8 -1+ 1t1 1+2 1t 2 -1+ 1t3 +-19+19 1t1 -11 1t 2 +11 1t1 1t 2 -11 1t3 +11 1t1 2 2 1t3 -8 1t 2 1t3 t3-3 -1+ 1t1 1+ 1t 2 t3 +t1 128 1t1 2 3 -1+ 1t 2 1t3 t3 -3 t2 t3 -8 1+ 1t1 -1+ 1t3 +-11-8 1t1 -8 1t3 +8 2 1t1 1t3 t3 +7 t3 +8t2t3-8 1+2 1t1 -1+ 1t 2 -1+ 1t3 +19+11 1t1 -19 1t 2 -11 1t1 1t 2 +11 1t3 +8 1t1 1t3 -11 1t 2 2 2 1t3 t3 +3 1+ 1t1 -1+ 1t 2 t3 + t2 128 1t1 1t 2 -1+ 1t3 +8 19+11 1t1 +11 1t 2 +8 1t1 1t 2 -19 1t3 -11 1t1 1t3 -11 1t 2 1t3 t3 +3-79-16 1t1 -16 1t 2 +8 1t1 1t 2 -16 1t3 +8 2 1t1 1t3 +8 1t 2 1t3 t3 +311+8 1t1 +8 1t 2 -8 1t1 1t 2 3 2 2 2 t3 / 1t1 t1 1t 2 t2 1t3 t3 -2 1t1 -2 1t 2 -2 1t3 +3 1t1 1t 2 1t3 + 2 1t1 t3 + 2 1t 2 t3 + 2 1t3 t3 - 2 1t1 1t 2 1t3 t3+ t2 2 1t1 + 1t 2 + 1t3 - 1t1 1t 2 1t3 + -2 1t1 - 2 1t 2 - 2 1t3 + 1t1 1t 2 1t3 t3 + t1 2 1t1 + 1t 2 + 1t3 - 1t1 1t 2 1t3 + -2 1t1 -2 1t 2 -2 1t3 1t3 + 1t1 1t 2 1t3 t3 + t2 -2 1t1 -2 1t 2 -2 1t3 + 1t1191t 2 1t3 + 2 1t1 + 1t 2 + 1t3 t3 21 特别地,当椭圆退化为圆,即 x ?xx时,有 12 3 56 7 44 1 t t15?14 1?tt 19?16 1?tt 11 11 11 11 89 1011 Scircleestimated6 4 1 tt ??64 1 tt ?5?21?tt ?t 11 11 1 1 1 2 3 1 ?tt 2 11 52 4 2 1?tt t1 t 8?8 1 t3t t 11 1 1 1 1 1 又由9式可得: 2 x t 2 11 Sa circlereal 2 44xt 11 从而可得: SS circlerealcircle estimatedcircle t1, Scirclereal 用 Mathematica作出circle t1 在t ?0,0.1339上的图像: 1circle t1 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 t 1 图 9 从图像中不难看出:当椭圆退化为圆时,其相对误差小于 0.5%,而当椭圆 未退化为圆时,其相对误差的测定将在下文模型分析部分详细叙述。 模型一的解8式和模型二的解21式均是 S关于xi1 ?,2,3表达式,虽 i 20然 x 在两模型中具体意义不同,但其都被视为等效替代椭圆形成该椭圆 在摄像 i 机底片上投影的线段的长度,即可将 x 理解为物长,椭圆在底片上投影的长 度 i 理解为像长。 设像长为xi '1, 2,3,s 为物距,s’为像距, f 为镜头焦距。 i 11 1 由透镜成像公式可得 ,由于在模型一和模型二下,sr,所以 ss ' f rf sr ?f x sr ?f rfi s ',即,而又因为 ,所以有 xx 'ii rfsf ' x''sf f i X i 设 A’B’在底片上的投影的长度在计算机上显示为Xi1 ?,2,3,且K , i x ' i rfX i 则有 x,将其分别代入8式与21式r 不为 1 时同理,即可得到 S i f K 关于 X , X , X ,r,f,K的表达式。由于21式过长,故在此不将表达式完 1 2 3 全写出。 2.2.3 模型三:上文讨论了拍摄椭圆截面时的情况,现在我们考虑拍 摄椭球形物体下称椭球时的情形。首先以椭球中心为原点,以椭球的两条赤 道半径所在直线分别为 x 轴和 y 轴,以椭球的极半径所在直线为 z 轴,建 立空 0.7 A Q 0.6 0.5 坐标系 1 0.4 z 0.3 0.2 0.1 A 椭圆 θ x 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 O 0.1 0.2 0.3 rcos θ rsin θ , 0.4 P 1 y h 0.5 21 B 0.6 图 10 间直角坐标系 1。设椭球赤道半径分别为 a,b,极半径为 c,故椭球方 程为 22 2 xy z1.由于被测椭球形物体放置在圆形台面中心,使椭球中心在圆形 22 2 ab c 台面上的正投影与圆心重合,所以设圆形台面下称圆平移至椭球赤道平面所 22 2 得的圆方程为xyr0 z ,三台摄像机坐标分别为Pr cos?r sin ,h ,? 1 22 22Pr cosr sin? ,h ,Pr cosr sin? ,h 2333 33如图 10所示,拍摄时,三台摄像机镜头保持水平、等高、对准 z 轴, 匀速 地从椭球中心所在的水平平面下方升高至其上方,期间进行不间断录影,影 像 实时传至计算机。考虑其中一台摄像机Pr cos?r sin ,h ,其它两台同理。 由? 1 于摄像机始终对准 z 轴,故长方形底片始终平行于 z 轴,z 轴被引自 P的两条切 1 椭圆 A椭球被过 z 轴与摄像机的平面所截得的椭圆,即图 6中红色椭圆的切线 所截得的线段 AB 在摄像机底片上的投影必位于底片的一条与 z 轴平行的对称 轴 l 上。同时,传回的实时影像实为一变化着的椭圆,取其截 l 所得的线段 A’B’, 即线段 AB 在底片上的投影,它实际上可等效替代椭圆 A 在底片上的投影。下 考虑 A’B’与 h的关系。 取坐标系 1中的 O为原点,PO所在直线为 x 轴,QO所在直线为 y 轴,建 1 立平面直角坐标系 2,如图 11所示。 0.4 A' 坐标系 2 Q 0.3 0.2 0.1 P r,h 1 s s' h θ'2 y 1 θ'1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 0.1 0.2 0.3 0.4 B' 图 112222 xy 设yA''B ,椭圆方程为?1, P在坐标系 2 中的坐标为, rh 1 22 1 ab'' ' hb ?,直线l 的方程为 ytan'xr h,联立两式,得: AP 1 22 2 2 2 2 2 2 2 ba ''tan'x 2rtan'?htan?'a'x?a'rtan'??h?a'b'?0, 22 2 2 2 2 由 0 ,得:ba '' tan' h?r tan'? 2hr tan ' ,即, 22 2 2 2 hb' ' ratan'2hrtan'?h?b'?0,由于 ,所以有 22 2 2 2 2 2'ahb'r a'b' tan'tan? ' ? , 12 22 ra' 从而得: 22 2 2 2 2 2' ra hb' r a'b' yrtan' tan' 1 12 22 ra' 下将坐标系 2中的 a’,b’表示成坐标系 1中量的表达式: 22 xy 联立 1与yxtan? ,得: 22 ab 22 2 ab 1tan 22 xy, 22 2 batan22 2 2 2 ab 1tan ab 2 即 a ',又由bc ',得: 22 2 2 2 2 2 batana sinb cos 22 2 2 ab ab 222 2 2rh??cr c 22 2 2 22 2 2 ab sin? cos ab sincos y 1 22 ab 2 r22 2 2 ab sin? cos22 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2s rain? bcos crasinbcos?abc?h 22 2 2 2 22 rasin? bcos ab 22 由22式易知:当 h0,即摄像机与椭球中心等高时, y 昀短。又因为此 1 时传回的影像,即一椭圆,其短轴恰为 A’B’,因而实时度量传回的影像中 A’ B’ 长度。设当T 秒时 A’B’ 长昀短,摄像机运动前相对于圆形台面的高度为 H , 1 0 23摄像机升速为 ?H ,从而有: T 秒时摄像机相对于圆形台面的高度为 1 HH??T?H .又由T 秒时 h0 ,有cH.另外,当T 秒时,影像中的椭圆长 01 1 1 轴实为椭球被赤道平面截得的椭圆在底片上的投影,即模型二所考虑的情 形, 在此不再作重复叙述。再由模型二中求得的ab关于ti1 ?,2,3的表达式, 即 i 2 式21,其中tx??1 i ,2,3 , x 为等效替代椭球被赤道平面截得的椭圆在底 片 ii i 44 4 上的投影的线段长度,结合V? abcabHab H? T?H ,即可写 01 33 3 ?H 出 V关于xi1 ?,2,3,T , H , 的表达式: 23式 i 1 0 由于21式过长,故23 式不在此完全写出。 设等效替代椭球被赤道平面截得的椭圆在底片上的投影的线段长度在底片 上投影的长度在计算机上显示的影像尺寸为Xi1 ?,2,3,且比例系数为 K,则 i rfX i 由上文中所述同理可得: x,将其代入23式,即可得到 V关于 X , i 1 f K X , X ,r,f,K的表达式。由于21式过长,故在此不将表达式完全写出。 2 32.3 误差的分析与模型的检验 首先对模型一将从椭圆上每一点射向摄像机镜头的光线看作是近似互相 平行的的误差进行分析:此模型下我们将椭圆在摄像机底片上的投影近似看作 椭圆的两条与该摄像机与圆心连线平行的切线间的距离 AB 在摄像机底片上的 投影。由此进行解析几何的推导,求出椭圆截面的面积表达式,即8式。24但在实际情况下,从椭圆射向摄像机镜头的光线之间并非互相平行,应将 椭圆在摄像机底片上的投影看作过圆形台面中心且垂直于该摄像机与圆心连线 的直线被两条引自该摄像机的椭圆切线所截得的线段 CD 在摄像机底片上的投 4 D A 3 2 1 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 1 2 C B 3 4 图 12 5 影,如图 12所示,因而与线段 AB之间存在误差。 我们通过统计方法,运用 Matlab 以及几何画板工具对该误差进行分析。对 于半长轴 a7.5,半短轴 b4的椭圆,通过改变圆形台面半径 r 的大小,观察 llAB CD AB相对于 CD的误差? : 1 l CD 图 13 图像中,纵轴为误差,横坐标为所取数据点的序号,其中, 1-9号中 r20, 1 25r30 r40 r50 r60 10-18 号中 , 19-27 号中 ,28-36 号中 ,37-45 号中 , 46-54 号中 r75,55-63 号中 r90。通过对散点图的拟合,我们不难看出: r 在 r50,即6.67的情况下,AB相对于 CD 的误差小于 0.5%1 a 由于 AB相对于 CD的误差,使得由8式所得的椭圆截面面积与椭圆实际 1 面积之间亦存在误差,运用同样的方法及工具,我们考察由8式所得的椭圆 截 SS8estimated real 面面积与实际面积之间的误差对于半长轴 a7.5,半短轴 2 S real b4的椭圆,通过改变圆形台面半径 r 的大小,观察: 2 图 14 图像中,纵坐标为,横坐标为所取数据点的序号,其中,1-9号中 r20, 2 r3