岩土工程中的分形理论及其应用1
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1 岩土工程中的分形理论及其应用
陶高梁，张季如
武汉理工大学土木工程与建筑学院，武汉(430070)
摘 要:根据分维数的求解方法及其意义，将颗粒分维数分为颗粒数量—粒径分布分维数、 颗粒质量—粒径分布分维数、颗粒体积—粒径分布分维数、颗粒原状面积 (体积)分布分维 数和颗粒
表
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面分布分维数;将孔隙分维数分为孔隙数量—粒径分布分维数、孔隙体积—粒径 分布分维数、孔隙原状面积 (体积)分布分维数和孔隙表面分布分维数。首先总结了各种分 维数的求解方法并作了简要评述，指出各种分维数间的联系与差别。然后总结了分形理论在 岩土体孔隙率、水分特征曲线、渗透性、土体强度方面的主要研究成果。本文用不同的方法
得到了与 Rieu 等人相似的孔隙率表达式，与徐永福等人相似的水分特征曲线，用与 Bonala不同的方法解释了土体凝聚力与尺寸之间的关系。
关键词:岩土工程;分形理论;分维数;应用
中图分类号:TU 443
0 引言
岩土介质的微观、细观研究是 21 世纪的岩土工程中的热门课题，微观、细观的定量化 指标将有望与宏观特性准确联系起来，可能会从一个新的角度去解释岩土工程中的复杂现 象，去解决工程中的难题。而分形理论的出现为岩土体的微观、细观研究提供了一种简便、 有效的工具。对于分形理论在岩土工程的应用，按研究的先后顺序分为三步:一是岩土体中 是否存在分形现象，二是如何准确求解岩土体中的分维数，三是如何将这些分维数与岩土体 的宏观特性联系起来。对于第一点，分形现象在岩土体中存在已成为共识;对于第二点，实
分形理论在岩土工程应用的基础，分维数无法求得或者无法准确求得必将导致分形理 质上是
论应用的失败。到目前为止，岩土工作者提出了很多分维数，还没有进行系统的归纳并给出 明确的定义，所以已经造成了“同一分维数不同定义，不同分维数的同一求法”，这势必影响 分形理论在岩土工程的正确应用。对于第三点，是人们最感兴趣的，也是分形理论在岩土工 程中应用的关键。本文针对第二点及第三点，对分形理论在岩土工程应用的主要成果作了总 结，并给出了简要评述，提出了一些新观点，这些对于分形理论在岩土工程应用有积极的意 义。
1 岩土体中的分维数
1.1 颗粒的分维数
1.1.1 颗粒数量—粒径分布分维数
[1] 1986 年 Turcotte根据分形的概念提出的颗粒数量—粒径的分形模型可表示为 ? DN (r > R) ? R(1) 式中:N(r > R)为粒径大于 R 的颗粒数量;D 为颗粒数量—粒径分布分维数。 [2]与式(1)相似的另外两种颗粒数量—粒径的分形模型可表示为
? DN (> R) = CR(2) ? DN (? R) = CR (3)
?D式中:C = (3? D)/(DK L) 为常数;K为颗粒体积形状因子; L 为所考虑的岩土体的总尺度。V V 2 2
1本课题得到高等学校博士学科点专项科研基金 (20070497107)的资助。
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式(2)、(3)成立的条件是 R>> R ， R为最大颗粒粒径。应指出的是，有些学者计算max max 的分维数大于 3，没有满足这个条件。
R= (1 + k )R/(1 ?k ) 若相邻粒径区间的平均粒径 R, R(R< R)，满足 ，文献[2]提出了12122 1 另外一种颗粒数量—粒径分布分形模型 ** ? D N (R) = CR(4)
** *?D ?D 式中:N(R)表示平均粒径为 R 的粒径区间的颗粒总数目，C= C?[(1 + k )?(1 ?k )] / D 为 常数;k 为实数 (0
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