【doc】九位数可开尽立方根的快速心算

【doc】九位数可开尽立方根的快速心算 九位数可开尽立方根的快速心算 计算技巧 2003年3月22日,河北电视台卫星频道播出了《发 明空间》栏目第17期.在那期节目里笔者 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 演了心算 丽=8539.朋友们问道:"怎么算得那 么快?"应当说,这是多年来坚持科研攻关与教学改革紧 密结合的结果.科研促教改,教改促科研,作为普及,本 文给出九位数可开尽立方根的快速心算方法,篇幅受限 理论推证从略.所举的例题均为可开尽立方根. tttl ll一,预备知识与相关术语【i 三位分节:在开立方之前必须对实数做三位分节, 即从实数的小数点起向左(右)每3位分作一节,并用 单引号的右一半""'隔开,最左(右)一节不足3位时用 0补齐,如: 唾『_丽分节作两『T 分节作 三位分节后的最左一节下称首节.本文所说的九 位数包括首节补了一到两个0的九位正整数,即只研 究七,九位数可开尽立方根的快速心算法. 在开立方中除了用到两个和为10的正整数互称 补数的术语之外,还经常用到"替"与"换"两个术语. 替:在0—9诸整数中,相差为5的二数互称替数. 如6—1=5,则1的替数是6,6的替数是1,简作"1替 6,6替1".同理,0和5,2和7,3和8,4和9互替.将互 !....i....!:替二数标在表示区间(0,10)的线 ,.段上,除0贴端点5居中之外,其 . , .余4组均一左一右:较小的在左, 较大的在右.由此可见,互替二数 —— 土———在区间(0,1o)上的位置左,中,右 关系有明显的差别. 园ZHLISLIANANDZHUXlNSUAN ,个位相同的两个二位(包括十位是 换:十位互替 用0补齐的二位)数互称换数.例如,23的换数是73, 73的换数是23,简作"23换73,73换23".同理,O6换 56,56换06等. 二,立方九九与六位数可开尽立方根的心 由1=001,2=008,…,9=729编成的口诀称为 立方九九,即 一 立001二立0o8三立027 四立064五立125六立216 七立343八立512九立729 口诀中第一个中文小写数字为底数,第二个"立" 是"立方"的浓缩,后3位阿拉伯数字是立方运算结 果.根据底数n与其立方n的个位之间相同或相补关 系,可分为以下3组: nl46923785 I1III11III 30olO642167290o80273435l2l25n 分组同组补组同补组 5=10—5,5与5既相同又互补,因后述心算法异 于前两组而单独编组. 开立方是立方运算的逆运算.由于立方九九的个 位两两互异,而且恰巧把1—9各取一次,这就给出了 由n'的个位判断底数n的方法,不过在开立方中,n变 成了实数,而n成了立方根个位: 由第一组,同组,1'i个位与1'i相同,得当实的个位 为1,4,6,9时,立方根个位分别取同数为1,4,6,9,即 l=1,64=4,16=6,29=9; 由第二组,补组,n个位与n互补,得当实的个位 为2,3,7,8时,立方根个位分别取补数为8,7,3,2,即 = 8,=7,=3,丽=2; 由第三组,同补组,11个位与n均为5,得当实的个 位为5时,立方根个位为5,即=5. 综合上面三组,可以得到下面求立方根个位的口 诀:一同1四同4六同6 九同9_c-~b8三补7 七补3八补2五开5 口诀的第一个中文小写数字是实的个位,第三个 阿拉伯数字是立方根个位,中间一字是求个位的规 律.上述口诀可用于求任意多位整数可开尽立方根的 个位.事实上,设m,n为整数,mi>0,1?n?9,而 A=(10m+n)=10(100m+30mn+3mn)+n= l0K+n 其中K=100m+30mn+3ran为整数,则10K的 最低位在十位,故A的个位仍取决于n的个位.反过来 说就是仍然可凭借A的个位(n的个位)来确定立方根 个位n. 熟记立方九九和求立方根个位的口诀,就可以顺 利地进行六位数可开尽立方根的速算. 例1设A=658'503,求 解:取首节658与夹含它的立方九九相比有 8=512<658<729=9(1) 即803=512'000<658'503<729'000=90(2) 各边取立方根80<面<90(3) 得立方根十位为8.又实658'503个位为3,三补7,得 立方根个位为7. 心算完成:丽=87 本例把心算过程写得很详细.熟练后,略去(2), (3),直接由(1)求出立方根首位. 例2设A=024'389,求 解:由2=008<024<027=3,得立方根十位为 2.又实个位为9,九同9,得立方根个位为9. 心算完成:=29 有了心算六位数可开尽立方根的基础,就可以普 及九位数可开尽立方根的快速心算. 三,九位数可开尽立方根的快速心算 设有七,九位数A,A的十位为h,个位为i,i?0, 计算技巧 A有正整数立方根(gen),记为G,G==100x+ 10y+z,其中X,Y,z为整数,1?x?9,0?y?9,1?z? 9.立方根G的求法见《九位开立心算歌》. l首节先与立九比, 2求根百位不费力. 3一四六九根个同, 4其余取补尾求毕. 5接用实十求根十, 6按照实个分别记. 7补组系3同组7, 8后加常数须留意: 9二2三8四六3. 10九加6来七加4 11奇个求十十唯一, l2偶有两解定取弃: l3两解标入零到十, l4首节加l放两立, 15略观位置左中右, l6即断留舍谢天地. l75用8乘开5乘, l8进奇写换根可觅. 第1,2句是说求百位X的方法与例1,例2求立方 根首位的方法相同,即取首节先与立方九九比较,求根 百位x毫不费力.第3,4句是说求个位z的方法,即当 实个位为一,四,六,九时根个位取相同值,其余取补尾 (指个位z)求毕.第5,6句是说i?5时十位Y的求法. 即接着用实的十位h求根的十位Y.Y为下面和数 Y=eth+B 的个位或其替数,其中Ot为开立系数,B为矫正常数.Ot 与B的大小取决于实数个位i,须按照实个位i分别记 忆如下表: 开立矫正 分实数系数a常数Y的Y的确 组个位表达式定方法 l 同组补组p 1707h第 9767h+6有唯一解: —— 3383h+8Y取Y的个位 组7343h+4 4737h+3有两解:Yt解Y的个位第 6737h+3Y2取Y.的替数 二 2323h+2两解一真—呐,用"幸运 组8303h猜价定解法"取一弃一 第7,l0句是说Ot,B的记忆方法,即补组开立 系数为3同组为7,后加矫正常数B须留意:二2三 8四六3,九加6来七加4.用下面 故事 滥竽充数故事班主任管理故事5分钟二年级语文看图讲故事传统美德小故事50字120个国学经典故事ppt 来记第9,10 句: 纪益商店经理的二儿(2)子在三月八(8)日"国际 妇女节"下午(女生放假)四点钟从柜台拿走六把伞 ZHUSUANANDZHUXINSUAN囫 计算技巧 (3),送给六位姑娘郊游,傍晚雷雨大作,凯利酒家留 (九加6)姑娘们来吃火锅,店主妻(七)子为姑娘们添加 粉丝(4)…… 第11—16句是说Y的确定方法:即当实有奇数个 位(i=1,9,3,7)时求根的十位Y,则根的十位有唯一 解,而当实个位为偶数(i=2,8,4,6)时有两解,用与中 央电视台《幸运52》栏目改版前幸运超市竞猜单价,猜 价最接近实价者胜出的类似方法,即用"幸运猜价定解 法"判定留取或舍弃:将两解Y,Y:分别标入表示零到 十的区间[0,10)的线段上,并给首节加1,记为i,"放" 在夹含它的两个立方九九组成的区间[n,(n+1)]中 (这里x=n),粗略分别观察Y,Y:在区间(0,10)位置的 左,中,右及i在区间[n,(n+1)]位置的左,中,右,则 立即由位置的左,中,右是否(大致)吻合来断定留取或 舍弃,如此求出Y谢天谢地. 第17,18句是说同补组的心算法,即当实个位i= 5时,先用第1,2句求出x,接着求:用8乘A的最后 4位,心算8A的千位,记为i,删去8A最后的"000", 以i为个位开立方,即对i呼求立方根个位的口诀得 z,再用5乘以z得5z,当8A向万位的后进h'为偶 数时,一yz=5z,当后进h'为奇数时,应写换数,即一yz= 5z+50,如此立方根可以寻觅. 以下分三种情况举例: (一)实数个位为非5奇数时,Y有唯一解. 例3设A=055'306'341,求百=G= 解:由3027<055<064=4,得x=3.i=1,一 同1,得z=1.h=4,Or.=7,B=9,7h=7×4个位是8,得 Y=8. 心算完成::381 例4设A=565'609'283,求百=G= 解:由8512<565<729=9,得X=8.i=3,三 7,得z=7.h=8,Or.=3,B=8,3h+8=3×8+8个位 是2,得Y=2., 心算完成:牾丽啊=827 (二)实个位为偶数时,Y有两解,用幸运猜价定解 法. 例5设A=015'252'992,求百:G= 解:由2008<015<027=3,得X=2.i=2,二 8,得z=8.h=9,Or.=3,B=2,3h+2=3×9+2个位 是9,9替4,得Y=9及Y:=4两种可能.观察:甲,9居 区间(0,10)之右,乙,4居(0,10)之左,丙,首节015+ 1=016=i,016—008=8;027—016=11,8<11,即016 园ZHUSUANANDZHUXINSUAN 居区间(008,027)之左,乙 与丙的左,中,右关系(大 致)吻合,则Y:=4应留取, 而Y=9应舍弃.附图仅供 读者参考理解,心算时不必 作图. 田 乙 心算完成:=248 例6设A=003'796'416,求=G=一xyz 解:由1001<003 <008=2,得X=1.i=6, 六同6,得z=6;h=1,Or.= 7,B=3,7h+3=7×1+3 个位是0,0替5,得Y=0 及Y:=5两种可能.观察: OO1 甲,0居区间(0,10)左端点,乙,5居(0,10)中央,丙, 003+1=004=j,004居(001,008)中偏左,乙与丙大致 吻合,则Y:=5应留取,Y=0应舍弃. 心算完成:丽=156 (三)实个位i=5时,用扩缩原理和奇偶分析定解 法. 例7设A=232'608'375,求=G= 解:由6216<232<343=7,得X=o根据G= 一一×5'心算8×8375 = 67000,删去000与(的分母10相约简),得i= 7,七补3,z=3,5z=15,又h=6(67000中的6)为偶 数,故=15. 心算完成:=615 例8设A:926'859'375,求=G: 解:由9729<926<1000=10,得x=9.心算 8×9375:75000,删去000,得i=5,五开5,z=5, 5z=25,又h=7为奇数,进奇写换,故一yz:25+50= 75 心算完成:=975 lI四,同余概念与几何作图定解法fI 同余:若a与b都是整数,m是一个固定的正整数, 则当a—b能被m整除时,我们称a,b对模m同余,记 作:a=b(roodm) 例如(43—3)?10=4,则43;3(rood10),反过来 也有3;43(rood10).如此 " y取仅h+B的个位"可简作"Y;~th+p(mod10)" " Y与Y.互为替数"可简作"Y;Yt+5(mod10)" "h是偶数",可简作"h;0(mod2)" "h是奇数",可简作"h;1(mod2)" 取整函数:不超过U的最大整数记为[U],即k为 整数,【u]=k当k?U<k+1 例如[3.2]:3,[3.8]:3,,[4,,, 69 ,]:3(实际表示当 1二J 后三位为469时,求8倍数的后进). 利用同余记号,可以把"三"的速算方法概括为九 位数可开尽立方根心算定理(下称定理, 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 从略). 设正整数A==10.a+10'b+…+lOh +i有可开尽立方根G,G=一xyz=lOOx+lOy+z,其中 a,b,c,…,h,i,x,Y,z均为非负整数,但a,b,c不全为0, 且i?0,则=G的心算如下: x=n,满足n3?<(n+1),正整数n?[1,9]; fi,i=l,4,5,6,9 =' 【l0一i,i=2,3,7,8 Y的求法分以下三种情形: (一)当i:1,9,3,7时,Y有唯一解, Y 7h.i=1 7h+6.i=9 3h+8.i=3 3h+4.i=7 (mod10) I7h+3,i=4,6l Yl;{3h+2,i=2}(mod10) 【3h,i=8J yz--=-y,+5(mod'10) j=+1(做图精度可以粗略),作直线AR与Bs, (/__TOYz)较小时,则Y=yt(y=y2)应留取,而将y2(y,) 0 计算技巧 2.若AR?Bs,分别过T,Y-,Yz三点引AR的平行 线1T',Y.Y'-,YzY',并比较1T'到Y.Y'.及YY'间的 距离,当1Tr'到Y,Y'-(Y2Y'z)的距离较小时,则Y=Y- (Y=yz)应留取,而将yz(y-)舍弃. U y (三)当i_5时,心算8×—fg—hi=h'i'000及 z: i,5,9 【10一i.i=3.7 则一yz=5z+50k, 其中h':lj,k=h'(mod2) 小结:从多个解中确定将某一解留取,将其余解 舍弃的过程称为"多解定一".本文例5,8均为二 解定一,今后还会碰到三解定一和四解定一.已涉及 到的二解定一方法有三种:甲法,例5,例6用的是 "幸运猜价定解法",又称为"粗略观察定解法", 该法最易于普及;乙法,例7,例8用的是奇偶分析 定解法(目前仅限于i=5时使用),这两题也可以用甲 法;丙法,定理用的是几何作图定解法,其学术意义 较大,而实用价值不如甲法. 值得说明的是本文的算法仍可以继续简化,由于 牵涉到的预备知识和术语太多,拟另文发表.笔者深 信,经过算法简化研究,普及成人简易心算指日可 待!赶超成人心算的国际领先水平为期不远! 作者:河北经贸大学教授 ZHUSU/~ANDZHU~INSUAN囫