向量和向量范数[最新]

向量和向量范数[最新]向量和向量范数[最新] 3.4 向量和矩阵范数 3.4.1 内积与向量范数 ,,,为了研究方程组Ax=b解的误差和迭代法收敛性，需对向量及矩阵的"大小"引进一种度量，就要定义范数，它是向量"长度"概念的直接推广，通常用表示n维实向量空间，表示n维复向量空间. ,,,定义4.1 设(或)，，，实数或复，称为向量x与y的数量积也称内积. 数 ,,,非负实数，称为向量x的欧氏范数或2-范数. ,,,定理4.1 设设(或)则内积有以下性质: ,,,(1) ，当且仅当x=0时等号成立; ,,,...

向量和向量范数[最新] 3.4 向量和矩阵范数 3.4.1 内积与向量范数 ,,,为了研究方程组Ax=b解的误差和迭代法收敛性，需对向量及矩阵的"大小"引进一种度量，就要定义范数，它是向量"长度"概念的直接推广，通常用表示n维实向量空间，表示n维复向量空间. ,,,定义4.1 设(或)，，，实数或复，称为向量x与y的数量积也称内积. 数 ,,,非负实数，称为向量x的欧氏范数或2-范数. ,,,定理4.1 设设(或)则内积有以下性质: ,,,(1) ，当且仅当x=0时等号成立; ,,,(2) ,或; ,,,(3) ,或; ,,,(4) ; ,,,,,,,,, (3.4.1) ,,,(5) 称为Cauch-Schwarz不等式. ,,,(6) ，称为三角不等式. ,,,定义4.2 向量的某个实值函数N(x)，记作，若满足下列条件: ,,,(1) ‖x‖?0,当且仅当x=0时等号成立(正定性); ,,,(2) (齐次性); ,,,(3) (三角不等式); 则称是上的一个向量范数. ,,,对于，由内积性质可知它满足定义4.2的三个条件，故它是一种向量范数.此外还有以下几种常用的向量范数. ,,,,,,,,,(称为?-范数) ,,,,,,,,,(称为1-范数) 容易验证及均满足定义4.2的三个条件.更一般的还可定义 ,,,,,, 但只有p=1,2,?时的三种范数是常用的向量范数. ,,,例如给定,则可求出 ,,,定理4.2 设是上任一种向量范数，则N(x)是向量x的分量的连续函数. ,,,定理4.3 设与是上任意两种向量范数，则存在常数，使 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,(3.4.2) 不等式称为向量范数等价性. ,,,以上两定理证明可见,2,，,3,. 讲解: ,,,在向量得内积(x,y)的性质中，定理4.1的(5)为Cauch-Schwarz不等式(3.4.1)是经常使用的，下面给出证明，显然当x,0或y,0时(3.4.1)成立，现设，考察 ,,,若取 ,,,则上式为 ,,,于是 ,,,两边开方则得(3.4.1) ,,,利用(3.4.1)直接可证三角不等式，从而可证明向量2一范数，满足定义中的三个条件。及是三种最常用的范数。 ,,,实际上可以给出很多不同的向量范数，只要证明它们满足定义4.2中的三个条件，定理4.3表明任意的两种向量范数及，它们都是等价的，对于的等价性在习题 10中给出，可自己证明。

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