线性代数试题
线性代数试题 一、已知非齐次线性方程组
xxxx，，，,,1,1234
,
43513xxxx，，,,,有个线性无关的解,1234。 ,axxxbx，，,,311234,
rA,2，，(1)证明方程组系数矩阵A的秩
ab,(2)求的值及方程组的通解
二、 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量
TT
,,,,,,,1,2,1,0,1,1，，，，是线性方程组A=0的两个解。 x12
(1)求A的特征值与特征向量
TQAQA,(2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得.
100a,,1,,
,,,,010a,,1,,三、设， A,,,,,,001a,,0,,
,,a001,,A0(1)计算行列式; ,,
Ax,,(2)当实数为何值时，方程组有无穷多解,并求其通解。 a
101,,
,,011TT,,A,fxxxXAAX(,,)(),四、已知，二次型的123,,,10a
,,01a,,,
秩为2
XQY,f(1)求实数a的值;(2)求正交变换，将化为
标准
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形。
,,xxx，，,,3,123
,xxx，，,,2,,123五、线性方程组，问为何值时，方程组有惟,,xxx，，,,2,123,
一解、无解和无穷多解。在方程组有无穷多解时，试用导出组的基础解系
表
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示全部解。
RA()2,AA六、设为3阶实对称矩阵，的秩为2，即，且
1111,,,,,
,,,,A0000,,,,,， ,,,,,1111,,,,
AA求(1)的特征值与特征向量;(2)矩阵。
a,,,11,,
,,,,b,1,,A010,七、设，，已知线性方程组存AXb,,,,,
,,,,11,1,,,,
在两个不同的解。
,,aAXb,(1) 求;(2)求方程组的通解。
TfxxxXAX(,,),八、已知二次型在正交变换下的标XQY,123
2222Tyy，(,0,)准型为，且的第三列为， Q1222
AE，AE(1)求矩阵;(2)证明为正定矩阵，其中为3阶单位矩阵。
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