拉氏变换定义、计算、公式及常用拉氏变换反变换
****拉普拉斯变换及反变换**** 定义:如果定义:
, 是一个关于的函数，使得当时候，;
, 是一个复变量;
, 是一个运算符号，它代
表
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对其对象进行拉普拉斯积分;是
的拉普拉斯变换结果。
则的拉普拉斯变换由下列式子给出:
1.表A-1 拉氏变换的基本性质
1 L[af(t)],aF(s)齐次性 线性定理 L[f(t),f(t)],F(s),F(s)1212叠加性 dft(),,LsFsf[]()(0) dt2dft ()2,, ,LsFssff()[]()'(0)02dt ？ nndft()nn,k(k,1),,,,2 微分定理 一般形式 LsFssf()(0)n,dtk,1k,1dft()(k,1),ft()k,1dt
ndf(t)初始条件为0时 n L[],sF(s)ndt
[f(t)dt]F(s),0t,L[f(t)dt],，, ss2 [f(t)dt][f(t)(dt)]F(s),0,0tt,,,2L[f(t)(dt)],，，22,, 一般形式 sss
？3 积分定理 共n个共n个,,nF(s)1nnL[？f(t)(dt)],，[？f(t)(dt)],t,0nn,k，1,,,,ss,1k
n共个,F(s)n 初始条件为0时 L[？f(t)(dt)],n,,s
,Ts L[f(t,T)1(t,T)],eF(s)4 延迟定理(或称域平移定理) t
,at 5 衰减定理(或称域平移定理) L[f(t)e],F(s，a)s
limf(t),limsF(s)6 终值定理 t,,s,0
limf(t),limsF(s) 7 初值定理 t,0s,,
tt L[f(t,,)f,()d,],L[f(t)f(t,,)d,],F(s)F(s)8 卷积定理 121212,,00
2(表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
序
拉氏变换E(s) 时间函数e(t) Z变换E(z) 号
1 δ(t) 1 1
,1z ,(t),,(t,nT) T,2 ,Tsz,1n0,1,e
1z 1(t)3 sz,1
1Tz 4 t 22(z,1)s
221Tz(z，1)t 5 332(z,1)s2
nnn1,,z(1)t lim()6 n，1naT,a0,sn!n,az,e!
1z,at 7 e,aTs，az,e
,aT1Tze,at 8 te2,aT2(s，a)(z,e)
,aTa(1,e)z ,at 9 1,e,aTs(s，a)(z,1)(z,e)
b,azz,at,bt , 10 e,e,aT,bT(s，a)(s，b)z,ez,e
,,zsinT sin,t 11 222s，,z,2zcos,T，1
,sz(z,cosT) cos,t12 222z,2zcos,T，1s，,
,aT,,zesinT,at 13 esin,t 222,aT,2aT(s，a)，,z,2zecos,T，e
2,aTs，a,z,zecosT ,at 14 ecos,t22 2,aT,2aT(s，a)，,z,2zecos,T，e
1z t/T a15 s,(1/T)lnaz,a3( 用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设是的有理真分式 sF(s)
1mm,bs，bs，？，bs，bB(s)110mm,F(s),, (n,m) 1nn,A(s)as，as，？，as，a110nn,
m,na,a,...,a,ab,b,？b,b式中系数，都是实常数;是正整数。按代数定理可01n,1n01m,1m
将展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 F(s)
? A(s),0无重根
这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。
nccccc12iniFs,，，，，，,()？？ (F-1) ,s,ss,ss,ss,ss,s,1i12ini
2
式中，是特征方程A(s),0的根。为待定常数，称为F(s)在处的留数，可s,s,？,scsii12n
按下式计算:
(F-2) c,lim(s,s)F(s)iis,si
或
B(s)c, (F-3) i,A(s)s,si
,式中，为对的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式(F-1)可求得原函数 A(s)A(s)s
nn，，c,1,1i,sti , (F-4) ftLFsL,,(),(),ce,,i,,ss,i,11i,i，，? 有重根 A(s),0
设有r重根，F(s)可写为 sA(s),01
B(s)Fs, ，，r(s,s)(s,s)？(s,s)1r，1n
ccccccinrr,11r，1，，，，，，，，= ？？？rr,1(s,s)(s,s)(s,s)s,ss,ss,s111r，1in
式中，为F(s)的r重根，，…, 为F(s)的n-r个单根; sssn1r，1
其中，，…, c仍按式(F-2)或(F-3)计算，，，…, 则按下式计算: ccccnr1r，1r,1
r c,lim(s,s)F(s)1r,ss1
dr c,lim[(s,s)F(s)],11rds,ss1
？
()j1dr (F-5) c,lim(s,s)F(s),1rj()j,ss1j!ds
？
(,1)r1dr c,lim(s,s)F(s)11(,1)r,ss1(r,1)!ds
原函数为 f(t)
,1 f(t),L,,F(s)
，，cccccc,1inrr,11r，1 ,L，，？，，，？，，？，,,rr,1(s,s)s,ss,ss,s(s,s)(s,s)1r，1in11，，
ncc，，ststrr,1,2rr,1i1 (F-6) ,t，t，？，ct，ce，ce,i21,,(r,1)!(r,2)!i,r，1，，
4
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