变温大气压强与海拔高度关系公式推导
bwdqy
有些网上朋友提问关于大气压与海拔高度的关系、公式及推导。回答各有所长，为了互相交流、互补，特写本文。
提到大气压与高度关系，自然想到相关的等温气压方程，网上朋友也多次提到它，下面就从它的推导过程说起。
一、等温气压方程推导
理想气体状态方程式
将代入上式得
式中：m—气体质量；M—气体分子量（或摩尔质量）。将上式引入气体密度ρ的定义式中得
在流体中，压强随高度的变化率是
将ρ式代入上式得
或
上式（T为衡量）积分后得
这就是众所周知的“气压方程”。
二、等温气压方程分析
现在从解决我们的问题角度考虑，对这个气压方程进行分析，它有以下几个特点：
（1）气压方程没考虑气温的影响，因为它是用于高空同温层的公式。而我们关心的是同温层以下温度有变化的区间，所以该式不能直接使用，必须加以温度校正。
（2）气压方程采取定积分形式，出现四个变量，用起来不方便。平常只需要含有气压和高度两个变量的公式，因此应该预先定位，而且对于我们的问题也有条件预先定位。
（3）推导该式使用气压和高度的微小变化量列出方程，以求得非直线函数，方法合理可以采纳。
（4）推导该式基于液体压强计算公式，用于气体时因密度随气压而变，需要代入经过气压校正的密度。该推导为了用气压校正密度，从、和三式开始，导出了用分子量和气压共同计算密度的式子（前面的ρ式），终于把密度和气压联系到一起了，但是同时也把计算压强的起点从密度转移到了分子量。而空气是一种混合物没有现成的分子量，反倒是密度容易被测定，数据较为原始，并能用它计算出(平均)分子量，现在又要从分子量算回密度，显得有些反复。但正好提示了这个气压校正密度的方法可能不是唯一的，应该还有从密度起算的另一种方法。
(5) 气压校正密度的另一种方法
前面的ρ式 -------------------------------------------------1
变换成
将已知的一组数值——密度1.293 kg / m、温度0℃和气压101325 Pa代入上式得
（= 0.02898 kg / mol）
将式1代入数值得
约简后得 ----------------------------------------------2
这就是从1大气压下的密度（1.293）起算，配以校正系数进行气压校正密度的式子（式2）。它是从气压方程使用的校正式（式1）演变过来的，所以校正密度的两种方法是等同的，但式2简捷得多，且物理意义明显。
这个演变结果，根据物理意义也能直接看出。从理想气体状态方程式的变化式（或）可知，密度与压强p成正比，所以校正系数必然是两种状况下的气压的比值，即 。
同理，温度对密度的影响，可用某温度下的密度直接乘以温度校正系数进行校正。
综上，气压方程不能直接用于我们的问题，如果修改不如借鉴前述所分析的情况重新推导。重新推导过程不仅避开气压方程，也不出现……等三式；只须把空气密度连同物理意义给出的校正系数一起代入的微分式便可推导出来，使问题简化成一道普通数学应用题。
三、变温气压公式推导
在大气中想象有一个起于海平面的空气柱，越往上空气越稀薄、温度越低的柱。设柱截面1m，这样，海平面处的气压在数值上就等于整个空气柱的重量。
同样，某一小段空气柱两端气压差值在数值上就等于这段空气柱重量，按此思路列式求解：
式中：1.293—0℃、1大气压空气的密度，kg/m；—气压对密度的校正系数；W—温度对密度的校正系数（另式）；9.80665—重力加速度，m/s；h—海拔高度，米；p—在h高度处的气压，帕；dp、dh—所取一小（微小）段空气柱两端之间的气压差值和高度差值。
温度校正系数W式。设海平面处温度15℃，10000米高空温度-50℃，区间温度变化均匀，空气密度与绝对温度成反比，则
将W式代入前式，并整理得
或
积分后得
将p=101325和h=0代入上式求C，并将求出的C值代回上式得
或
这就是气压和气温随高度而变影响空气密度时的大气压计算公式。
表 按所得公式计算的海拔高度-气压对照表
h / m
p / kPa
h / m
p / kPa
h / m
p / kPa
0
101.3
4000
61.6
8000
35.6
1000
89.9
5000
54.0
9000
30.7
2000
79.5
6000
47.2
10000
26.4
3000
70.1
7000
41.0
11000
22.6
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