苏州大学高等代数历年考研真题

苏州大学高等代数历年考研真题 苏州大学历年高等数学考研真题 08年考研真题 07年考研真题 化二次型为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 型,并给出所用的非退化线性替换. fxxxxxxxxx,,222,,，，，123122313 1 ,126,,一， 求三阶矩阵的Jordan标准型. ,,1725,,,,027,,,, nTT二， 设且长度为2,矩阵求的特征多项式. A,,,,RAE,，，,,,,n ,1是阶反对称矩阵,为单位矩阵.证明: 可逆设, 求证是正交阵. 三， 设EA，AEbEA Q=E+A设,Qna，，，，n TT四， 设是3阶对称矩阵,且的各行元素之和都是3,向量是的解,求矩阵的特征值,特AA,,,,,,,0,1,1,1,2,1AAX,0，，，， T征向量,求正交阵和矩阵使得 BQQBQA, 五， 设P是一个数域,Px是中次数大于0的多项式,证明:如果对于任意的,,若有Pxfxgx，，，，，，,, ,那么Px是不可约多项式. Pxfxgx|,pxfxpxgx||或者，，，，，，，，，，，，，，，， 六， 设欧氏空间中有证明:如果,,,,0,,,,,,，，，，,0.,WL,,,,,,,,WL,,,,,,,,,，，，，i12n112n212n 那么设是维欧氏空间中的一个对称变换,则. dimdimWW,,nVV,,ker,,，，21 苏州大学2007年硕士研究生入学考试《高等代数》 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 解答 1. 解 所给二次型的矩阵为 011,, ,, A,,101,,,,110,,, 2其特征多项式为.故特征值为. fEA()||(1)(2),,,,,,,,，,,,,,1,212 TT,解对应的特征方程得,. ,,1()0EAX,,X,(110)X,(101)112 T,解对应的特征方程得. (2)0,,,EAX,,,2X,,(111)23 T以作为列向量作成矩阵.则可逆,且为对角阵. XXX,,CCCAC123 这时做非退化线性替换 yxx,，,112,222得.? fyyyyyy(,,)2,，,yxx,，,213123123 ,yxxx,,，，3123, ，,,126100,,,,, ,,,,A2. 解 ,将其对角化为.故的若当标准形为EA,,,,,1725010,,,,,,2,,,,,,027，00(1)(1)，,,,,,, 2 ,100,, ,,.? 110,,,,,001,, ,,,TTTT3. 解 的特征多项式为 A,,,,(1),,,,,EfEA()||,,,,(1)()E,,,,,,nnn,,,,, TTT,,,,,,,,,,2,2nn (1)(1)()E(1)(1)E,,,,,,,,,,,,,,,,,,22TTT,,,,,,,,,,, TT,,,,,,,,1nT,222,2n .? ,,,，，(1)(1025()),,,,,,,(1),TT,,1,,,,, 4. 证 ? A是反对称实矩阵,故其特征值为零或纯虚数.其实,假定是A的特征值,是相应的特征向量.则 ,, TTTTTTTT,又 ,,,,,,,,,,,,,,,,,AAAAA,,,,,,,,,,,()()() TT,故,这说明是零或纯虚数.由此得,因而EA，可逆. ||0EA，,,,,,,A,,,,,, T,1? 由?知EA,可逆,这说明有意义.而,因此 QQEAEA,，,()()T,,11,,11 ,E.故是正交矩阵. ? QQQEAEAEAEA,，,，,()()()(),，，,,()()()()EAEAEAEA5. 解 依题意有 ,1003011111,011003,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,因而 A,,,003121111A,,121003,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,003111111,111003,,,,,,,,,,, 2其特征多项式为.故特征值为. fEA()||(3),,,,,,,,,,,,0,312 TT?,解特征方程得X,,1,0,1,X,,1,1,0.特征向量为. ,,0lXlX，,,AX0，，，，1121122 T?,解特征方程得X,1,1,1.特征向量为. ,,3lX(3)0EAX,,，，2333 ,,11333,,,以上.把向量XX,正交并单位化得,.把向量X单位化lllR,,,(,0,),,,,,,,,11231232,,2222222,, 111,,PP得.以作为列向量作成矩阵,则为正交矩阵且,,,,,,,,,1233,,333,, 3 11,,,0,,22,,000,,,,333,,TTT. ,则满足.? QP,,,,QQBQA,PAPB,,000,,,,22222,,,,003,,,,111 ,,333,, 证 假设可约,不妨设,其中.这时显然有6.px()pxpxpx()()(),0((),())(()),,,,pxpxpx1212 ,但不可能有或者.这与题设矛盾,故假设错误.因而不可约. ? pxpx()|()px()pxpxpx()|()()pxpx()|()1122 7. 证 依题显然有,假设,则.于是 ,这说明可被线性表WW,,,W,WW,dimdimWW,,,,,,,121122112n 出.记给上式两边同时计算得,于是,与题设矛盾,故假设错误, 原,,,,,,0,,0,,,,,，，，lll,1122nn 命题成立. ? dimdimWW,21 8. 证 对于任意的及任意的,有，于是有 ,,,,V,,,,,,,,0,,,,,ker ,因而.又,于是 ker{0},,V,ker,,,Vdimkerdim,,，,Vn ,故.? dim(ker),,，,VnVV,,ker,, 06年考研真题 222用正交线性替换将实三元二次型变成标准形，并写出所用的非退化线性变fxxxxxxxxxxxx(,,)44282,,，,，,123112132233 换。 212,，，,1,,二、设。A是否相似于一个对角阵,如果相似，则求出可逆矩阵C，使得为对角阵，且写出此对角阵。 CACA,,,254,,,,115,，， nn,1三、设是一个整系数多项式，证明:如果是一个奇数，则不能被x-1整除，aa，fx()fxaxaxaxa(),，，，，n0nn,110 也不能被x+1整除。 22AA四、设A是一个矩阵，证明:如果A的秩等于的秩，则齐次线性方程组AX=0与齐次线性方程组X=0同解。 nn， 32五、设V是有理数域Q上的线性空间，id是V的恒等变换。又设是V的一个线性变换，证明:如果，则没有,,,,,,，，5id 特征值。 (,)A,,,六、设 A是实对称矩阵，b是A的最大的特征值。证明:对任意n维非零的实列向量，都有b。 ,nn，(,),, 七、设V=Fx[]是F上全体次数<5的多项式及零多项式构成的线性空间。 5 2rx(),,fxV()，定义映射,(())()fxrx,，其中，=0或deg(())2rx, fxxqxrx()(1)()(),,， 4 a) 证明映射是V的一个线性变换。 , 234b) 求在基{1，x, ,,}下的矩阵。 xxx, 8(设A,B都是矩阵，并且AB=BA。证明:如果A,B都相似于对角矩阵，则A+B也相似于对角矩阵。 nn， 05年考研真题 1、(20分)设A,B均为n阶方阵,A中的所有元素均为1,B中的除元素为1外,其余元素均为0.问A,B是否等价?是否 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 ?是否相似?为什么? 2、(20分)设A=。v是的A最大的特征值。求A的属于v的特征子空间的基。 3、(20分)设f(x)是一个整系数多项式。证明:如果存在一个偶数m和一个奇数n使得f(m)和f(n)都是奇数，则f(x)没有整数根。 4、(20分)设A是一个2n×2n的矩阵。证明:如果对于任意的2n×2矩阵B，矩阵方程AX=B都有解，则A是可逆的。 5、(20分)证明实系数线性方程组AX=B有解的充要条件是用它的常数项依次构成的列向量B与它所对应的齐次线性方程组AX=0的解空间正交。 6、(20分)设A，B是n×n实对称矩阵，且A+B=E,E为单位矩阵。证明下列结论等价: (1)AB=O,O为零矩阵(2)秩(A)+秩(B)=n 7、(20分)设V是复数域上的n维线性空间，q，p是V上的两个可对角化的线性变换，且qp=pq。证明: (1)如果k是q的特征值，那么V(k)是的不变子空间。(2)存在一组基使得q、p在这组基下的矩阵都是对角矩阵。 8、(10分)设A，B，C分别是m×m,n×n,m×n矩阵(m>n),且AC=CB,C的秩为r. 证明: A和B至少有r个相同的特征值。注意:7题中V(k)在原题中k为V的下标。 2004年苏州大学高等代数考研真题 5 15'X一()求满足下列条件的 101,,12101,,,,,,X021,,,,,,,35010,,,,,,102,, ,11252,,,,,解;,,,,,3531,,,,, 201,,1,,101,,,,111,,,,021,,,,222,,,,102,,,,,101,, ,1,1101101,,,,,11210152101,,,,,,,,,,,,,X021,,021,,,,,,,,,,,,3501031010,,,,,,,,,,,,,102102,,,, ,,411,,,,,511,,,,,222 二(15‘)设P是一个数域，p(x)是P[x]中次数大于0的多项式，证明:如果对于任何多项式f(x),g(x),由p(x)|f(x)g(x)可以推出p(x)|f(x)或 p(x)|g(x),那么p(x)是不可约多项式。 证明:假设p(x)是可约多项式，则存在p(x),p(x)12 使得p(x)=p(x)p(x),且(,,p(x))<(p(x)),i=1,212i 取f(x)=p(x),g(x)=p(x),因此f(x)g(x)=p(x)12 则p(x)|f(x)g(x) 但p(x)不整除f(x)且不整除g(x)与题设矛盾～ 所以p(x)是不可约多项式 6 2三(25’)设是数域上的维向量空间的一个线性变换，，证明:,,,PnV, 1,()()()10{|},,,V,,,,, 1,()()20V,,(V),, 1,(3)如果是V的线性变换，()，0(V)都是的不变子空间，则有=,,,,,,,, 2证明:(1),,,,,V,则(())=()-()-()()0,,,,,,,,,,,,,11,,则()()()(),,,,,,00{|}V,,,,,,,,,,12又取,()0()0,{|},,,,,,,,,,,,,,,,,,,()()V,,,1,,,,()()0{|}V,,,,, ,1所以()()0{|},,,V,,,,, ,1()则()()2,0,,,,V,,,,, ,1=,,，()+()()0(V),,,,,,,,,1即V=()0，(V),,,1任取(),,0(V)，则()=0,,,,, ,,,V，使得(),,,,2从而,()=()=(())=(,)=0,,,,,,,,,,1所以()0,(V)={0},, ,1因此()V,,0(V),, ,1(3)因为()，0(V)是的不变子空间,,, ,1 ,,,,()，0(V)，V ，且=+,,,,,,,,,1()()，(),,0(V)，(())=0，(())=(),,,,,,,,,,,,,,()(()),=((+))=(()+())=(())=(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,()=0，()=,,,,, (),,,,,,,,,,,,,,,(())=((+))=(()+())=(),,, 从而()=(),,,,,,,,,,,, 7 四(20)设是数域,,,P上的向量空间V的一个线性变换，是属于特征值1 的特征向量，向量组，，……满足关系,,,,12s(-E)=，i=1，2 … s-1,其中E是恒等变换,,,,i+1i 证明:，， … 线性无关12s,,, 证明:因为(-E)=i+1i,,,, 所以()，,，i=1，2 … s-1i+1ii+1,,,,,s设k + k + … + k,0,即 k,012si12si,,,,,i,1,,,,()0k + k + … + k,s1212s s1, kki=1()()0,，,，2 … s-1,,,,i,111i+1，i1, ss11,, ,，，,kkk0ii111i+1i+1,,，,,,,,ii11,, sss1, ,，,,kk0,0由于 kiiiii+1i,,,,,,,iii111,,, s1, ,,k0ii+1,,i1, So,k + k + … + k,0s1223s-1,,, ,,,,()0k + k + … + k,23s-112s 重复上述过程可得k + k + … + k,0,,,34s-212s 继续重复上述过程，我们有k,,000，因为显然不为，所以k,,ss11 从而我们有k + k + … + k,012s-1121s,,,,再继续上面步骤，可得kk,,,00s-1s-11,由归纳法得kk ,,,… + k012s 因此，，…… 线性无关12s,,, 8 五用正交线性替换三元二次型(20) 222f(x,x,x)=x-2x-2x-4xx+4xx+8xx123123121323 为标准型并给出所用的正交线性替换,. 122,,, ,,解:设A为二次型矩阵,A=224,,,,,,242,,, 令||0EA,,, 122, 2即224(2)(7)0,,,,，,,, 242, 2,7,,,1,23,, 对应于的特征向量为2(0,1,1),(2,0,1),,,1,212,,, 对应于的特征向量为,,,,,,7(1,2,2)33 正交化 令,(0,1,1),1 ()11,12,,,,,,(2,,)221,,,(,)2211,, ,,(1,2,2)3, ,, ,,021 ,,1,,从而令C,,12,,2 ,,1,,12,,,2 200,, ,,,从而CAC,020,,,,007,,, 令XCY, 222,,则f(x,x,x)=XAX=(CYACYYCACYyyy)()''227,,，,123123 六设为两个阶方阵其中(15),,()()1,1ABnrArBnn,,,, **齐次线性方程组AX=0与BX=0同解,证明:A的非零列与B的非零列的非零 **列成比例,其中A,B分别是A,B的伴随矩阵.证明:since rArBn()()1,,, **sorr,()()1AB,, **becauseAAAEBBBE,0,0,,,, **,AB的列向量是AX=0的解,的列向量是BX=0的解 =0同解For,AX=0与BX **设是,,A的非零列,是B的非零列 ,=k,, 9 七(15)设,,,,,是n维欧式空间V的线性变换,对任意都有,,,V ((),)(,()),:,证明的核等于的值域的正交补,,,,,,,, 证明:ker, so,()=0,,,,,, ,,,,(,())((),)(0,)0,,,,,,, ,,,,,,()()...............................................(1)VVker,,,, , ,,,andV,(),(,,,,())0,,, ,,,,,,,ker,((),)(,())0()0,,,,,,,,,, ,,,ker()....................................................................(2)V,, AccordingandWeCanSee(1)(2),,ker()V,, 八设是数域上的阶方阵且(15)(1),(),()[]((),())1MPnnfxgxPxfxgx,,, AfMBgMWWWABXAXBX,,,,,(),(),,,0,0,0分别是方程组的解12空间,证明:c. 证明:(1),,,,,,WW1122 AfMABfMgMgMfM,,,,,,,0()0()()()()0,,,,,11111 ,,,,WWW,11 同样WW,2 ,，,WWW12 (2),(becausefxgxsouxvxPx(),())1,,(),()[],，,uxfxvxgxuMfMvMgME()()()()1()()()()，,,，, ,0,0,()0,()0ABfMgM,,,,,,,,,,,,,WW12 (()()()())0uMfMvMgME,，,,,,,, {0},,,WW12 (3)sin,ceWWW，,12 soW,dim()dim()WW，,12 Also,{0}dim(,,,WWW，,，WWW)dim()dim()121212,，,dim()dim()dim()....................................................(1)WWW12 StillrArBnrAB,()()()，,， ,,，,,，,nnnnWdim()dim()dim()WW12 ,，,dim()dim()dim().........................WWW...........................(2)12 Fromand,(1)(2), dim()dim()dim()，,WWW12 ,,{0}also,WW12 ,,,{0}WW12 10 九设是数域(10)VP 上的n维线性空间,,,,,是V的线性变换,有n个互异 2n,1的特征值,证明:与可交换的充分必要条件是:是E,,,..........的,,,,,, 线性组合,其中E是恒等变换. 证明:因为=,设是的个互异的特征值n,是属于的特征向量,,,,,,,,,iii 则也是的特征向量i,, (,(1,2..........)(())()(事实上对于每个有in,,,)=))=)=),,,,,,,,,((((iiiiiiiii,,,,,,,,,, 从而由于互异(),)1,(1,2..........),,,VVin,所以dim(,,,ii,,ii 故也是的特征向量),,i 从而使，,,,uVuuin,(),(1,2..........)i,,iii ,,1,,,2,,,于是有((,.........),..........),11nn22,,,,,,,,, ,, n,,, u,,1,,u2,,(,.....,),.........)(,,,121nn2,,,,,, ,,un,, n1,xxxu，，,,,.........n12111 n1,xxxu，，,.........,,n12222考虑方程组........................1{() ..................................... n1,xxxu，，,.........n,,nnn12 n,11,11,n,11,,22由于系数行列式,,,()0(互异),,,,iji1,,,ijn n,11,,nn ,则方程组有唯一解，设为(a,a......a)12n 则a，，,,.........,(1,2..........)aauin12iiin,,n,1即(a，，,.........)aau12niiiii,,,,n,1得(a，，()()).........=()aa12inii,,,,,,,n,1由于,,,,,,,,,,.................是的一组基，因此Vaa=a，，()()212nini1 n,12 所以是E,,,..........的线性组合,,,, ,,,03,(设是一个数域，是上维的线性空间，是的一个线性变换，记 nVV 52,(证明:，则是的核与的直和( WaaV,,,{|}VW,,,,,36 ,(设是[0,1]上的连续函数(称在[0,1]上线性相关，若存在不全为零的常数fxfxfx(),(),,()fxfxfx(),(),,()12n12n n ccc,,[0,1]，使得(证明:fxfxfx(),(),,()在上线性相关的充要条件是cfxx()0,[0,1],,,12n12njj,1j 11 1其中是的行列式( Adet()Adet((()()))0fxfxdx,ijnn，,0 11111,,1231nn,,,,,021((15分)设，都是矩阵。解矩阵方程。 A,AXB,nn，01111,,,,01221nn,,,,,,00111,,00132nn,,,,B,,,,,,,,,,,0001100012,,,,,,,,0000100001,,,, ,1,143,,2((20分)设，是否相似于对角矩阵,如果相似于对角矩阵，求可逆矩阵，使得是一个对角矩阵。 ACCAC,,A,,253,,,,442,,,, 4414243kmrs，，，233((10分)设都是非负整数。设。证明:gxxxxx(),，，，fxxxx()1,,，，，kmrs,,, 整除。 fx()gx() ，都是矩阵，是矩阵，并且的秩是。证明:如果，则。 4((10分)设ABAB,nnn，Gnm，GAGBG, ,15((10分)设是矩阵，并且是可逆的。证明:如果与A的所有的元素都是整数，则的行列式是或。 AAAA-11nn， 26((10分)设A是反对称矩阵，证明:,A是半正定的。 nn， 27((15分)设A是矩阵。如果，并且的秩是r，A是否相似于一个对角矩阵,如果是，求这个对角矩阵。 AE,()AE,nn，nn ,,,8((10分)设是有理数域上的线性空间，的维数是，与是的线性变换。其中可对角化，并且ABBAA,,。nVVV m,证明:存在正整数，使得是零变换。 m 001((14分)设f (x),g (x),h (x)都是数域P上的一元多项式，并且满足: 4 (1) (1)()(1)()(2)()0xfxxgxxhx，，,，,, 4 (2) (1)()(1)()(2)()0xfxxgxxhx，，，，，, 4证明:能整除gx()。 x，1 1证明: (3) (2)(1):2()4()0()(),，,,,,gxhxhxgx2 14将(3)带入(1)中，得到: (1)()()xfxxgx，,,2 44( xxxgx+1与互素，？，1() 注:本题也可以把g,h作为未知量对线性方程求解，用克莱姆法则导出结果。 ，，2((14分)设A是nr的矩阵，并且秩(A)= r，B，C是rm矩阵，并且AB=AC，证明:B=C。 证明: ABACABC,？,,,()0. ，即方程( AnrRArA是的矩阵，,？,(),是列满秩的矩阵AX,0只有零解 ？,,,BCBC0,即 12 321,,,3(15分)求矩阵的最大的特征值，并且求A的属于的特征子空间的一组基。 ,,00,,A,,,222,,,,361,,, 2解:， ,,,EA,,,，24？,,2，，，，0 当时，求出线性无关的特征向量为， ,,2,,,,101012，，,，，，,，，，，012 则是的特征子空间的一组基( ,,，,L,,,,,构成的特征子空间，，120120 3,(14分)设( AAE,，611-2,3,-1是33，矩阵,的特征值，计算行列式n 解:不妨设 ,,,,,,,,2,3,1,-2,3,-1是33，矩阵,的特征值，123 3则矩阵对应的特征值为: AAE,，611,,,,,,15,20,16n123 3故AAE,，,，，,6111520164800 n ,(14分)设A,B都是实数域R上的矩阵,证明:AB,BA的特征多项式相等( nn， 证明:要证明AB,BA的特征多项式相等，只需证明: ,,EAEB,,, 1EB利用构造法，设，令， ,,0,H, AE 1,,1EB,,，两边取行列式得 ,,E0EB,,,,,,,,,,,,,,AE1,,,,,,AE,0EAB,,,,,,, 11n((,) HEABEAB,,,,,(),, 111,,,,，两边取行列式得 E0EBEBAB,,,,,,,,,,,,,,,,,,AE,,,,,,AEE0,,,, 11n((,) HEBAEBA,,,,,(),, 11nn由(,)，(,)两式得, ,EAB,,EBA,()(),, ((,) ？,,,,,EABEBA 上述等式是假设了，但是(,)式两边均为的n次多项式，有无穷多个值使它们成立()，从而一定是恒等式( ,,,0,,0 nm注:此题可扩展为,是矩阵，,是矩阵，,,，,,的特征多项式有如下关系:，这,,,,EABEBA,,,mn，nm，mn 个等式也称为薛尔佛斯特(Sylvester) 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ( 2,((14分)设A是实对称矩阵,证明:是一个正定矩阵( AAE,，57nn，n证明:A是实对称矩阵，则,的特征值均为实数( 13 53222设为,的任意特征值，则的特征值为( AAE,，57,,,,,,,，,,，,57()0n24 2故是一个正定矩阵( AAE,，57n nn,1,((15分)设A是数域P上的n维线性空间V的一个线性变换,设但是(证明:A,=0,其中n>1,,,VA,使0,，， 21n,是,的一组基(并且求线性变换,在此基下的矩阵，以及,的核的维数( {,,,,},,,,AAA n,1nn,1证明:令((,) llAlA,,,，，，,0AA,0,=0.,，，，，011n, n,1n,1用左乘(,)式两边，得到( AlA()0,,0 n,1n,1由于，，带入(,)得lAlA,,，，,0((,) A,0？,l0，，，，011n, n,2再用左乘(,)式两端，可得( Al,01 这样继续下去，可得到( lll,,,,0011n, 21n,线性无关( ？,,,,,,,,AAA 21n,21n,0000,,,( AAAA(,,,,,,,,)(,,,,,,,,)AAA,,1000,,,,0100,,,,,,0010,, 0000,,,,？,在此基下的矩阵为， 1000,,,,0100,,,,,,0010,, 可见,, RAn()1,,？,,,,dimker(1)1Ann 即A的核的维数为1( 14