求数列通项的方法_已知递推公式_求通项公式

求数列通项的方法_已知递推公式_求通项公式 成才辅导班 求数列通项公式的方法 求数列通项公式的方法 一、公式法 n例1 已知数列满足，，求数列的通项公式。 aa,，，232{}aa,2{}a，1n1nnn aaaaa33n，1nnn，1nn，1n2两边除以，得，则，故数列是解:aa,，，232,，,,{}，1nnnnn，1nn，12222222 a3a321n以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，,,1,，,1(1)nn122222 31n所以数列的通项公式为。 {}aan,,()2nn22 aa3nnn，1评注:本 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列aa,，，232,,，1nnnn，1222aa3nn是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列{},，,1(1)nnn222 的通项公式。 {}an 二、累加法 例2 已知数列满足，求数列的通项公式。 {}aaana,，，,211，{}annn，11n解:由得则 aan,，，21aan,,，21nn，1nn，1 aaaaaaaaaa,,，,，，,，,，()()()()nnnnn,,,11232211 ,,，，,，，，，，，，，，[2(1)1][2(2)1](221)(211)1nn ,,，,，，，，,，2[(1)(2)21](1)1nnn (1)nn,,，,，2(1)1n2 ,,，，(1)(1)1nn 2,n 2所以数列an,的通项公式为。 {}ann 评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求aan,，，21aan,,，21nn，1nn，1出，即得数列的通项公式。 ()()()()aaaaaaaaa,，,，，,，,，{}annnn,,,11232211n 1 成才辅导班 求数列通项公式的方法 n例3 已知数列满足，求数列的通项公式。 aaa,，，，,2313，{}a{}a，11nnnn nn解:由得则 aa,，，，231aa,,，，231，1，1nnnn aaaaaaaaaa,,，,，，,，,，()()()()nnnnn,,,11232211 nn,,1221,，，，，，，，，，，，，，(231)(231)(231)(231)3 nn,,1221,，，，，，,，2(3333)(1)3n n,1 3(13),,，,，2(1)3n13, n,,，,，3313n n,，,31n n所以 an,，,31.n nn评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为，aa,，，，231aa,,，，231，1，1nnnn进而求出，即得数列的通aaaaaaaaaa,,，,，，,，,，()()()(){}annnnn,,,11232211n项公式。 n例4 已知数列满足aaa,，，，,32313，，求数列的通项公式。 {}a{}a，11nnnn aa21n，1nnn，13解:两边除以，得， aa,，，，3231,，，，1nnnnn，，113333 aa21nn，1则，故 ,,，nnn，，113333 aaaaaaaaaannnnnnn,,,,,11223211,,，,，,，，,，()()()()nnnnn,,,2232133333333aann,,11 212121213,，，，，，，，，，()()()() nnn,,122333333333 2(1)11111n,,，，，，，，，()1nnnn,,122333333 1n,1,(13)nann,2(1)2113n因此， ,，，,，,1nn,，33133223 211nn则 an,，，，，,33.n322 2 成才辅导班 求数列通项公式的方法 aa21nnn，1评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为，aa,，，，3231,,，，1nnnnn，，113333 aaaaaaaaaa,,nnnnnnn,,,,,11223211进而求出，即得数列()()()(),，,，,，，,，,,nnnnnnn,,,,,11223213333333333,,的通项公式，最后再求数列的通项公式。 {}an 三、累乘法 n例5 已知数列满足，求数列的通项公式。 anaa,，，,2(1)53，{}a{}a，11nnnn annn，1解:因为，所以，则,，2(1)5，故nanaa,，，,2(1)53，a,0，11nnnan aaaann,132,,,,,,aan1aaaann,,1221 nn,,1221[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]3,,，,，,,，，，，，nn nnn,,，,，，，1(1)(2)212[(1)32]53,,,,，，，nn nn(1),n,12325!,，，，n nn(1),n,12an,，，，325!.所以数列的通项公式为 {}ann annn，1,，2(1)5评注:本题解题的关键是把递推关系转化为n，进而求ana,，，2(1)5，1nnan aaaann,132,,,,,a出，即得数列的通项公式。 {}a1naaaann,,1221 例6已知数列满足，求的通项{}aaaaaanan,,，，，，,,123(1)(2)，{}an11231nn,n公式。 解:因为 ? aaaanan,，，，，,,23(1)(2)nn1231, 所以 ? aaaanana,，，，，,，23(1)nnn，,11231 用?式,?式得 aana,,.nnn，1 则 anan,，,(1)(2)nn，1 3 成才辅导班 求数列通项公式的方法 an，1故 ,，,1(2)nnan aaan!nn,13所以 ? ,,,,,,,,,，,aannaa[(1)43].n222aaa2nn,,122 由，，则，又知aaaanan,，，，，,,23(1)(2)取得naaa,,，22aa,nn1231,21221 n!，则，代入?得。 a,1a,1an,,,,,,,134512n2 n!所以，的通项公式为 {}aa,.nn2 an，1评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,，,1(2)，nnanan,，,(1)(2)nn，1an aaann,13进而求出,,,,a，从而可得当的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式，最后再求出数列的na,2时，{}a2nnaaann,,122 通项公式。 四、待定系数法 na 已知数列例7满足aaa,，，,2356，，求数列的通项公式。 {}a,,n，11nnn nn，1解:设axax，，,，，52(5) ? nn，1 nnnn，1将aa,，，235代入?式，得2355225axax，，，，,，，，等式两边消去，1nnnn nnn，1n35525,，,,,xx5，得，两边除以，得代入?式得2a352,1,，,,,xxx则n nn，1aa,,,52(5) ? nn，1 n，1a,51nnn，1a,,,,,56510a,,50{5}a,由及?式得，则，则数列是以,2nn1na,5n 1nn,1nn,1a,,51为首项，以2为公比的等比数列，则a,,52，故a,，25。 1nn nnn，1评注:本题解题的关键是把递推关系式aa,，，235aa,,,52(5)转化为，，1nnnn，1 nn{5}a,{5}a,从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列nn 4 成才辅导班 求数列通项公式的方法 的通项公式。 {}an n例8 已知数列满足，求数列的通项公式。 aaa,，，，,35241，{}a{}a，11nnnn nn，1解:设 ? axyaxy，，，,，，，23(2)nn，1 n将代入?式，得 aa,，，，3524，1nn nnn，1 352423(2)axyaxy，，，，，，,，，，nn nn整理得。 (52)24323，，，，,，，xyxy 523，,xxx,5,,令，则，代入?式得 ,,43，,yyy,2,, nn，1 ? aa，，，,，，，5223(522)nn，1 1由及?式， a，，，,，,,5221121301 n，1a，，，522nn，1得a，，，,5220，则， ,3nna，，，522n n1故数列{522}a，，，是以a，，，,，,52211213为首项，以3为公比的等比数列，n1 nn,1nn,1因此a，，，,，522133，则a,，,，,133522。 nn n评注:本题解题的关键是把递推关系式aa,，，，3524转化为，1nn nn，1naa，，，,，，，5223(522)，从而可知数列{522}a，，，是等比数列，进而求nnn，1 n出数列{522}a，，，的通项公式，最后再求数列的通项公式。 {}ann 2数列满足aanna,，，，,23451，，求数列的通项公式。 例9 已知{}a{}ann，nn11 22解:设axnynzaxnynz，，，，，,，，，(1)(1)2() ? nn，1 2aann,，，，2345将代入?式，得 nn，1 5 成才辅导班 求数列通项公式的方法 222，则 2345(1)(1)2()annxnynzaxnynz，，，，，，，，,，，，nn 22 2(3)(24)(5)2222axnxynxyzaxnynz，，，，，，，，，,，，，nn 22等式两边消去，得， 2a(3)(24)(5)222，，，，，，，，,，，xnxynxyzxnynzn 32，,xxx,3,, ,,解方程组，则，代入?式，得 y,10242xyy，，,,, ,,z,18xyzz，，，,52,, 22 ? annann，，，，，,，，，3(1)10(1)182(31018)nn，1 22由及?式，得 a，，，，，,，,,3110118131320ann，，，,310180n1 2ann，，，，，3(1)10(1)182n，1则，故数列为以{31018}ann，，，,2n2ann，，，31018n 2为首项，以2为公比的等比数列，因此a，，，，，,，,3110118131321 21n,n，42，则。 ann，，，,，31018322ann,,,,231018nn 2评注:本题解题的关键是把递推关系式aann,，，，2345转化为nn，1 22，从而可知数列annann，，，，，,，，，3(1)10(1)182(31018)nn，1 22是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再{31018}ann，，，{31018}ann，，，nn 求出数列的通项公式。 {}an 五、对数变换法 n5例10 已知数列满足aa,，，23，，求数列的通项公式。 {}aa,7{}a，n1nnn1 n5n5解:因为aaa,，，,237，，所以。在aa,，，23式两边取aa,,00，，，nn，1nn1nn11 常用对数得 ? lg5lglg3lg2aan,，，nn，1 设lg(1)5(lg)axnyaxny，，，,，， 11 ?nn，1 6 成才辅导班 求数列通项公式的方法 将?式代入11式，得，两边消去5lglg3lg2(1)5(lg)anxnyaxny，，，，，,，，?nn (lg3)lg255，，，，,，xnxyxny并整理，得，则 5lgan lg3,x,,lg35，,xx,,4，故 ,,lg3lg2xyy，，,lg25,,y,，,164, lg3lg3lg2lg3lg3lg2代入11式，得 12 anan，，，，,，，，lg(1)5(lg)??nn，141644164 lg3lg3lg2lg3lg3lg2由及12式， lg1lg710a，，，，,，，，，,?141644164 lg3lg3lg2得， an，，，,lg0n4164 lg3lg3lg2an，，，，lg(1)n，14164， 则,5lg3lg3lg2an，，，lgn4164 lg3lg3lg2lg3lg3lg2所以数列是以为首项，以5为公比的等an，，，{lg}lg7，，，n41644164 lg3lg3lg2lg3lg3lg2n,1比数列，则，因此an，，，,，，，lg(lg7)5n41644164 lg3lg3lg2lg3lg3lg2n,1an,，，，,,,lg(lg7)5n4164464 11111nn,16164444,，，，,,,(lg7lg3lg3lg2)5lg3lg3lg2 11111nn,116164444,,,,,,,[lg(7332)]5lg(332) 11111nn,116164444,,,,,,,lg(7332)5lg(332) n,1n,1n,15,5,n151,51n,4164,2),,,lg(733 n,1541,,51,nn51,n164,,,lg(732) n,1541nn,,51,n,15164则。 a,，，732n n5aa,，，23评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，nn1 7 成才辅导班 求数列通项公式的方法 lg3lg3lg2lg3lg3lg2，从而可知数列anan，，，，,，，，lg(1)5(lg)nn，141644164 lg3lg3lg2lg3lg3lg2是等比数列，进而求出数列的通项an，，，an，，，{lg}{lg}nn41644164公式，最后再求出数列的通项公式。 {}an 六、迭代法 n3(1)2n，aaa,,，5例11 已知数列满足，求数列的通项公式。 {}a{}ann，11nn nnnn,,,1213(1)2n，323(1)232nnn,,,,aa,aaa,,[]解:因为，所以 nn，1nnn,,12 2(2)(1)nn,，,3(1)2nn,,,,an,2nnn,,，,32(2)(1)3(2)23(1)2nnn,,,,,,[]an,33(3)(2)(1)nnn,，,，,3(2)(1)2nnn,,,,an,3 , nnnn,，，，,，,，,112(3)(2)(1)323(2)(1)2,,,,,,,nnn,a1nn(1),n,123!2,,n,a1 nn(1),n,123!2,,na,5又，所以数列的通项公式为。 a,5{}an1n n3(1)2n，aa,评注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式nn，1 lgannn，1,，两边取常用对数得，即3(1)2n，再由累乘法可推知lg3(1)2lgana,，，，，1nnlgan nn(1),nn(1),n,13!2,,nn,1lglglgaaalga23!2,,nnn,1322a,5，从而。 ,,,,,,,lglglg5aann1lglglglgaaaann,,1221 七、数学归纳法 8(1)8n，aaa,，,，例12 已知数列满足，求数列的通项公式。 {}a{}ann，11nn22(21)(23)9nn，， 8(1)n，8aa,，解:由及，得 a,nn，1122(21)(23)nn，，9 8 成才辅导班 求数列通项公式的方法 8(11)88224，，aa,，,，,2122(211)(213)992525，，，，， 8(21)248348，， aa,，,，,3222(221)(223)25254949，，，，， 8(31)488480，，aa,，,，,4322(231)(233)49498181，，，，， 2(21)1n，,a,由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。 n2(21)n， 2(211)18，，,a,,(1)当时，，所以等式成立。 n,112(211)9，， 2(21)1k，,a,(2)假设当时等式成立，即，则当时， nk,nk,，1k2(21)k， 8(1)k，aa,， kk，122(21)(23)kk，， 2(21)18(1)kk，,，,，222(21)(21)(23)kkk，，， 22[(21)1](23)8(1)kkk，,，，，,22(21)(23)kk，， 222(21)(23)(23)8(1)kkkk，，,，，，,22(21)(23)kk，， 222(21)(23)(21)kkk，，,，,22(21)(23)kk，， 2(23)1k，,,2(23)k， 2[2(1)1]1k，，,,2[2(1)1]k，， 由此可知，当nk,，1时等式也成立。 *nN,根据(1)，(2)可知，等式对任何都成立。 评注:本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项 公式，最后再用数学归纳法加以证明。 八、换元法 9 成才辅导班 求数列通项公式的方法 1例13 已知数列满足，求数列的通项公式。 {}a{}aaaaa,，，，,，(14124)1nnnn，11n16 12ba,，124解:令，则 ab,,(1)nnnn24 112故，代入得 ab,,aaa,，，，(1)(14124)nn，，nnn，1112416 11122 bbb,,，,，(1)[14(1)]nnn，1241624 22即 4(3)bb,，nn，1 ba,，,1240ba,，,1240因为，故 nnnn，，11 13则，即， 23bb,，bb,，nn，1nn，122 1可化为， bb,,,3(3)nn，12 1ba,,，,,，，,,31243124132所以是以为首项，以为公比的等比数{3}b,11n2 1111nn,,12n,2n,2列，因此，则，即，得 b,,,b,，，,，a32()()()3124()3nnn2222 2111nn。 a,，，()()n3423 124，a评注:本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化bnn 13形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，bb,，{3}b,{3}b,nn，1nn22 最后再求出数列的通项公式。 {}an 10