求解第一类二次棱元方程的快速迭代法

求解第一类二次棱元方程的快速迭代法 第3O卷第1期 2008年3月 湘潭大学自然科学学报 NaturalScienceJournalofXiangtanUniversity Vo1.30No.1 Mar.2008 求解第一类二次棱元方程的快速迭代法 谭林h,钟柳强,舒适 (1.南华大学数理学院,湖南衡阳421001;2.湘潭大学数学系,湖南湘潭411105) [摘要]针对正定Maxwell方程组的第一类N6d61ec二次棱有限元方程,通过建立 棱有限元空间的一种新的稳定性分 解,设计了求解棱元方程组的快速迭代算法,并且在理论上严格证明了该迭代算 法的收敛率不依赖于网格的规模.数值 实验验证了理论的正确性. 关键词:正定Maxwell方程组;第一类N6d~lec二次棱有限元}快速迭代法 中图分类号:O214.82文献标识码:A文章编号:1000—5900(2008)01—0033—06 FastIiterativeMethodforSolvingFirstFamilyQuadratic EdgeFiniteElementEquations TANLin.zHoNGLiu--qiang.SHUShi (1.DepartmentOfMath—Physics.NanhuaUniversity;Hengyang421001China; 2.DepartmentofMathematics.XiangtanUniversityIXiangtan411105China) [Abstract]Inthispaper,wedesignafastiterativemethodforafirstfamilyofN6d~lecquadrat icedgefi— niteelementequationsofthepositivedefiniteMaxwell?Sequations.thisisdonebyanewsta bledecomposi? tionoftheedgefiniteelementsspace.Bystricttheoreticalanalysis.weprovethattheconver gentrateofit— erativemethodiSindependentofmeshsize.Numericalexperimentsconfirmthetheoretica lresults. Keywords:Maxwell?Sequations;firstfamilyofN6d61ecquadraticedgefiniteelementeq uations;fastit— erativemethod 假设n为R.中的有界单连通区域,n是其边界r上的单位外法向量.引入如下旋度 和散度空间 H(curl;n)一{?(L(n)).:×U?(L(n)).), H0(curl;n)一{U?H(curl;n):nXU一0onr), H(div;Q)一{ll?(L(n)).:?U?(L(n))), H0(div;n)一{U?H(div;n):n?ll一0onr) 其相应的范数分别为 llUl1日(..n)一(1lUll3+ll×Ull3),llUllH(ln)一(1lUll3+ll?Ull3), 其中ll?ll. 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示(L(n)).或L(n)中的范数. 本文考虑如下变分问题:对于任意给定的,?(L(n)).,求U?H.(curl;Q),使得 n(1l,?,)=(,,?,)V?,?H0(curl;Q),(O.1) 其中 rr a(u,?,)=I(xU?×?,+Tu??,)dx,(,,?,)=If??,dx,(o.2)JnJn (?,?)表示(L(n)).中的内积,常数r>0. 变分问题(O.1)所对应的数学模型是电磁场问题中的基本模型之一,N6d61ec棱有限元 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 是 Maxwell方程组的一种基本离散化方法.由于该离散系统通常是大规模,且高度病态,因此对其进行快 速数值求解是计算电磁场的重要任务之一,近年来有大量相关的研究工作.最近,文E2-1设计了一种 “基于节点辅助子空间”的预条件子技术,它本质性地将棱有限元方程的计算问题转换为椭圆问题节 *收稿日期:2007—10—11 基金项目:国家自然科学基金项目(10771178,10676031).国家973项目(2005CB321702).湖南省教育厅重点项目(07A068)资 助 作者简介:舒适(1962一).男.湖南双峰人,教授,博士生导师.E—mail;shushi@xtu.edu.cn 34湘潭大学自然科学学报 点有限元方程的计算问题.但是这些研究工作都是对第一类N6d61ec线性棱元方程展开的.由于二次棱 元比线性棱元具有更好的逼近性,因此它也是一种常用的棱元,故为第一类N6d61ec二次棱元方程设计 相应的快速算法也是一件非常有意义的工作. 受文[4]求解椭圆高阶有限元方程的思想启发,我们建立了第一类N6d61ec二次棱元空间的一种 新的稳定性分解,它把该空间的任何一个元素都可以分解为原空间的高频部分及其真子空间(第二类 N6d61ec线性棱元空间)部分.利用该分解式,我们为第一类N6d61ec定性:即对任意的?,,有 N v:一>:,v?V:一span{L),i一1(1)N, =l N >1lllltz?lllz(n)).(1.3) i=1 4.第一类Raviart—Thomas型二次有限元空间 一 {?H(div;n):lK?D2forallK?Th).(1.4) 其中Dz=(户).oP.. 当向量函数”具有一定的光滑性时,可定义两类插值算子?1和?::1(见[3]),其分别满足 ?::”?y:?和?::”?,.特别对于光滑向量函数,上述算子是可定义的.利用离散空间的 恰当链和交换图表性质,有 y;(curlO):={v;?y:一:curl一0)一gradS:,(1.5) carl?::1=?h:ldivcur1.(1.6) 下面的引~(.gXE1]yl理4.6)给出了算子1-17:llc.相关性质. 引理1.1插值算子?::1在函数集合{V?(H6()).,×V?W;|?)上有界,且满足 llh(一?::)lf,ll(La(n).)lllf,ll(n(n)).,Vlf,?(H6()).,×lf,,,?.),V?.?yi,.(1.10) 记方程(1.10)所对应的线性代数系统为: A;U2=F2.(1.11) 下面,我们将利用两水平的思想,为方程(1.11)设计并 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 相应的快速迭代算法. 2快速迭代算法和收敛性分析 令V一一,Vo一,下面给出求解(1.11)(或(1.10))的一种两水平算法: 算法2.1给定初值U.?V.假设UH?V已求得,其中Z三三=1,则通过如下步骤求 V. 得U? 1.前磨光:以UH为初值对(1.11)调用m次Gauss--Seidel磨光.其第i(i一1,…,m)步为:求 ?,f(一1,…,s,N),使得 e;.? n(,)一(,,)一n(1,),(2.1) ll;.一ll;旦1十e;.(2.2) 其中ll一ll”,ll”一UH,Vi:=span{Lf). 2.粗空间校正:U”.一ll十,其中?h.满足 口(e6,v})一(,,vi)一n(“,),Vv}?yi,.(2.3) 3.后磨光:类似于前磨光,以U”.为初值对(1.11)调用m.次Gauss—Seidel磨光,得到U. 上述算法的基本思想是先在连续Helmholtz分解可知,存在?(()).,P?H3(),使得 „,一-t-P,(2.6) 且满足 lIllH】((n)】s:三;ll×?,ll(Lz((n)】s,llPllHl((n)】s):{;ll?,llH(.ln).(2.7) 其中上述常数仅依赖于区域n. 对(2.6)式两边求curl,有 ×=X?,?W2一. 由引理1.1及交换图表性质(1.6)可知,?;:是可定义的,且满足 ×?;:=?;::×=XX(Id一?;:.)=0. 由上式及连续空间的恰n))3), 即 llll0hll×ll(Lz(n)).,(2.13) 利用(2.13)及逆估计,易证 llIl一ll×ll0+rllll0hllll0+ll×ll0llIl.(2.14) 由(2.12),三角不等式和(2.14),有 l1lllllI+llIIllll. 注意到?V,故存在?yi,使得 N (2.15) 一 ?.(2.16){一l 把(2.16)代入(2.12),证得(2.4). 由逆估计,(1.3)和(2.13),有 NN ?llViII一?(II×II+rIIII:)i=li—l N ?(一zIIII+rIIII5)i一1 llhIl..+rlI ll×+h.rll×Illl, 即有 N ?llll lII.(2.17)f—l 结合(2.15)和(2.17),证得(2.5). 定义如下能量内积投影算子P:V—y(一0,1,…,N),对于任意的?V,满足 a(Pv2o一,)一口(:,,),V?y一,(2.18) ,Li)=n(“,Li).(2.19) 口(P:, 下面证明算法2.1满足如下误差传递方程 U—U=[(J—PN)…(J—P1)]z(J—P0)[(J—P?)…(J—P1)](1l—UH),(2.20) 其中P.和的定义分别见(2.18)和(2.19). 首先证明 U—ll1一[(J—PN)…(J—P1)]1(1l—UH).(2.21) 事实上,只需要证明 U—ll;.一(J—P)(1l—ll1),(2.22) 然后用递归方法,及注意到ll”一UH,即可证得(2.21). 第1期谭林等求解第一类二次棱元方程的快速迭代法 由(2.2),有 故证明(2.22)等价于证明 u一.一u—u2l一., .=U—l l, 由(2.3)和利用定义,有 a(el.,)一a(u—Hl,)一a(P(H一掣1),L). 注意到.,J,,(H一旦-)?,利用的定义和口(?,?)在空间中的正定性,证得(2.24). 其次,类似地,可证明 u—u一(J—Po)(H—H1), U—U一[(J—PN)…(J—P1)],,l2(H—U,). 最后,由(2.21)(2.25)和(2.26),证得(2.20). 由(2.20)可知,算法2.1收敛的一个充分条件是 :一ll[(J—P)…(J—P.)3m2(J—P.)[(J—P)…(J—P.)]ll<1. (2.23) (2.24) (2.25) (2.26) 注意到投影算子P(f一0,1,…,N)均满足llJ—PllA1,故只需要证明 一 PN)…(J—P1)(J—P.)llA<1, ll(J— 即有:一1,.一0,由文[51中的xu—Ludmil恒等式,可知算法2.1的迭代收敛率满足 一, 其中 一Affil ,Eo,1],真解”一(“.,U.,U.)为 f”1一xyz(z一1)(一1)(z一1), “2一sin(zrz)sin(zr)sin(zrz), 【一(1一)(1一ex--)(1一e,Y)(1一Pr)(1一)(1一P). ”一(“.,U.,U.)为 例2取是一半径为1的球体,真解 f”1一z.+.+z.一1, {“2一z.+.+z.一1, lM3一z.+Y.+.一1. 在数值实验中,关于算法2.1的迭代控制精度取为e一10一,而在每个迭代步中,取m.一z一5,求 解粗化方程2.3时,我们使用了文E63中的PCG算法,其中控制精度取为tol一10,. 以下表格依次记录了不同r值和网格规模下,算法3.1的迭代次数,其中例1采用结构网格,相 应的数值实验结果见表1;例2采用非结构网格,相应的数值实验结果见表2. 表1立方体上的迭代算法3.1的迭代次数 [1] [2] [3] [4] [5] [6] 参考文献 HIPTMAIRR.Finiteelementsincomputationalelectromagnetism[J].ActaNumerical,2 002:11.237—339. HIPTMAIRR,.XUJ.NodalauxiliaryspaceprecondmoninginH(cur1)andH(div)spaces EJ].SIAMJ.NumerAna1.2007,45: 2483—2509. MONKP.Finiteelementmethodsformaxwell?ec5equations.numericalmathematicsandscientificcomputation[M].Oxford:Ox— fordUniversityPress,2003. LINTan.PreconditioningforalgebraicdiscretizationsystemsoftWOclassoftypicaldifferentialequations[D].Xiangtan:Xiangtan University,2006. XUJinchao,ZIKATANOVLudmil.Themethodofalternat|ngpr0jectionsandthemethodofsubspacecorrectionsinHilbertspace 597. [J].JAmerMathSoc,2002,15;573— 钟柳强,谭林,王俊仙,舒适.一种求解第二类N6d~lec棱有限元方程的快速算法[J], 计算数学.已接收. 责任编辑:龙顺潮