1. 如图，平面VAD⊥平面ABCD，△VAD是等边三角形，ABCD是矩形，AB∶AD＝∶1，F是AB的中点．
（1）求VC与平面ABCD所成的角；
（2）求二面角V-FC-B的度数；
（3）当V到平面ABCD的距离是3时，求B到平面VFC的距离．
2.如图正方体ABCD-中，E、F、G分别是、AB、BC的中点．
（1）证明：⊥EG；
（2）证明：⊥平面AEG；
（3）求，．
3. 在直角梯形P1DCB中，P1D//CB，CD//P1D且P1D = 6，BC = 3，DC =，A是P1D的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使二面角P－CD－B成45°角，设E、F分别是线段AB、PD的中点．
（1）求证：AF//平面PEC；
P
（2）求平面PEC和平面PAD所成的二面角的大小；
（3）求点D到平面PEC的距离．
P1
P
4. 如图四棱锥中，
底面，正方形的边长为2
（1）求点到平面的距离；
（2）求直线与平面所成角的大小；
（3）求以与为半平面的二面角的正切值。
5. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为1的菱形。侧面PAD是正三角形，其所在侧面垂直底面ABCD，G是AD中点。
（1）求异面直线BG与PC所成的角；
（2）求点G到面PBC的距离；
（3）若E是BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并说明理由。
6. 如图，正三棱柱.
(1)求证：平面；
(2)求证：；
(3)若.
7. 如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，底面，。
（1）求证：；
（2）（文科）设棱的中点为，求异面直线与所成角的大小；
（理科）求面与面所成二面角的大小。
8. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，
∠ACB=90°，D、E分别为AC、AA1的中点.点F为
棱AB上的点.
(Ⅰ)当点F为AB的中点时.
(1)求证：EF⊥AC1；
(2)求点B1到平面DEF的距离.
(Ⅱ)若二面角A-DF-E的大小为的值.
9. 已知正四棱柱中，点E为的中点，F为的中点。
F
⑴求与DF所成角的大小；
⑵求证：面；
⑶求点到面BDE的距离。
10. 在三棱锥中,平面,是上一点,且
平面.
⑴求证: 平面; ⑵ 求二面角的大小;
⑶求异面直线与的距离.
11. 如图所示：四棱锥P-ABCD底面一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点.
（1）证明：EB∥平面PAD；
（2）若PA=AD，证明：BE⊥平面PDC；
（3）当PA=AD=DC时，求二面角E-BD-C的正切值.
12. 如图，已知正三棱柱—的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为．
（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；
（Ⅱ） 求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
13.
如图，已知M，N分别是棱长为1的正方体的棱和的中点，求：
（1）MN与所成的角；
（2）MN与间的距离。
14. 如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.
B
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角P—CD—B的大小；
（Ⅲ）求点C到平面PBD的距离.
15. 已知：四棱锥P-ABCD,,底面ABCD是直角梯形，，且AB∥CD,, 点F为线段PC的中点，
(1)求证： BF∥平面PAD；
(2) 求证：。
16. 在如图所示的几何体中，平面ABC，平面ABC，，，M是AB的中点。
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角；
17. 如图，在五棱锥中,
,.
(1)求证：;
(2)求点E到面SCD的距离；
B
(3)求二面角的大小.
18. 如图，已知是直角梯形，，，，平面．
(1) 证明：；
(2) 在上是否存在一点，使得∥平面？若存在，找出点，并证明：∥平面；若不存在，请说明理由；
（3）若，求二面角的余弦值．
P
19. 如图，四棱锥P—ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD
（I）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；
（II）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；
（III）求直线AB与平面PCD的距离．
20.
已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面
PAD⊥面ABCD（如图2）。
（1）证明：平面PAD⊥PCD；
（2）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC
把几何体分成的两部分；
（3）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线AM
是否平行面PCD.
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
：
1.取AD的中点G，连结VG，CG．
（1）∵ △ADV为正三角形，∴ VG⊥AD．
又平面VAD⊥平面ABCD．AD为交线，
∴ VG⊥平面ABCD，则∠VCG为CV与平面ABCD所成的角．
设AD＝a，则，．
在Rt△GDC中，
．
在Rt△VGC中，．
∴ ．
即VC与平面ABCD成30°．
（2）连结GF，则．
而 ．
在△GFC中，． ∴ GF⊥FC．
连结VF，由VG⊥平面ABCD知VF⊥FC，则∠VFG即为二面角V-FC-D的平面角．
在Rt△VFG中，．
∴ ∠VFG＝45°． 二面角V-FC-B的度数为135°．
（3）设B到平面VFC的距离为h，当V到平面ABCD的距离是3时，即VG＝3．
此时，，，．
∴ ，
．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ 即B到面VCF的距离为．
2.以D为原点，DA、DC、所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a，则D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），（0，0，a），E（a，a，），F（a，，0），G（，a，0）．
（1），，-a），，0，，
∵ ，
∴ ．
（2），a，），
∴ ．
∴ ．
∵ ，∴ 平面AEG．
（3）由，a，），＝（a，a，），
∴ ，．
3.
P1
①取PC中点M，连结FM、EM
//
∵ F、M分别为PD、PC中点
//
∴ FM＝CD
//
P
∵ E为AB中点，∴ AE＝CD
∴ FM＝AE， ∴FMEA为平行四边形
∴ AF//EM
∵ AF平面PEC，EM平面PEC
∴ AF//平面PEC
②延长DA，CE交于点N，连结PN
∵ AB⊥PA， AB⊥AD
∴ AB⊥平面PAD ∵AB//DC
…6’
∴ DC⊥平面PAD ∴DC⊥PD DC⊥AD
∴ ∠PDA为二面角P－CD－B的平面角
∴ ∠PDA＝45°
M
∵ PA＝AD＝３ ∠PDA＝45°
∵ PD＝ ∴PA⊥AD
又 PA⊥AB ∴PA⊥平面ABCD
//
∵ AE//CD 且E为AB中点
∴ AE＝CD ∴AE为△NDC的中位线
∴ AN＝AD＝PA ∴△PND为Rt△
又 NE＝EC＝ PE＝
∴ △PNC为Rt△
∴ PC⊥PN PD⊥PN
∴ ∠CPD为平面PEC和平面PAD所成二面角的平面角
又 PD＝ CD＝ PD⊥DC
∴ tan∠CPD＝＝＝
∴ ∠CPD＝30°
∴ 平面PEC和平面PAD所成二面角为30°
③连结ED
∵ PA⊥平面ABCD
∴ VP－CED＝S△CED·PA＝＝
VP－CED＝VD－PCE＝
设点D到平面PCE的距离为d．
S△PCE＝
VP－PCE＝S△DCE·d＝
∴ d＝
点D到平面PEC的距离为．
4. （1）过作
平面 平面平面
平面
又平面，又平面
为到平面的距离。
在中
由 得；
（2）由（1）知平面 为直线与平面所成的角
在中，
（3）过作，连，由（1）知平面，由三垂线定理的逆定理知 为二面角的平面角，
在中，在中，
5. （1）∵△PAD为正三角形，G为AD中点，
∴PG⊥AD
又PG面PAD，面PAD⊥面ABCD
面PAD∩面ABCD=AD
∴PG⊥面ABCD，又GB面ABCD
∴PG⊥GB
又∵∠DAB=60°，四边形ABCD为菱形，
∴BA=BD
∴BG⊥AD
以G为原点，GB所在直线为x轴，GD所在直线为y轴，GP所在直线为z轴，建立（如图所示）空间直角坐标系G—xyz，则G（0，0，0），，，
∴GB与PC所成角θ的余弦值为：
（2）设面PBC的一个法向量为
由和得
∴G到面PBC的距离
（3）设存在F点，使面DEF⊥面ABCD，且F分的比为
则
∵∠DAB=60°，∴BD=DC，又∵E为BC中点，∴BC⊥DE
由BC面ABCD，面DEF∩面ABCD=DE知
BC⊥面DEF
即
∴F为PC中点
6. (1)证明：
.
.
又
.
(2)证明：连结.
.
又因为E是AC的中点，.
而
.
(3)作.
.
设..
.
.
.
7. （1）如图建立空间直角坐标系，则；
连结，则在直角三角形中，，
，，。
（2）（文科），
设与的夹角为，异面直线与所成角为，
，
异面直线与所成角的大小为。
（理科）平面的一个法向量，
设平面的一个法向量，，
，令，则，
设与的夹角为，则，
由图形得，面与面所成二面角的大小为。
8. 解：(1)(1)DF∥BC,BC⊥AC,∴DF⊥AC
∵平面ACC1A1⊥平面ABC，∴DF⊥平面ACC1A1
∴DF⊥AC1
∵ACC1A1是正方形 ∴AC1⊥DE
∴AC1⊥面DEF∴AC1⊥EF，即EF⊥AC1
(2)∵B1C1∥BC，BC∥DF，∴B1C1……∥平面DEF
点在B1到平面DEF的距离等于点C1到平面DEF的距离
∴DF⊥平面ACC1A1∴平面DEF⊥平面ACC1A1
∵AC1⊥DE∴AC1⊥平面DEF
设AC1∩DE=O，则C1O就是点C1到平面DEF的距离
由题设计算，得C1O=
(3)当点F为AB的中点即=1时，DF∥BC,∴DF⊥AC,∵AA1⊥面ABC，∴ED⊥DF，∠EDA即为二面角A-DF-E的平面角，由AE=AD，因此∠EDA=
9. （1）取中点，连，则取的中点N，连，是所成的角。
.
过N作
所成的角为
（2）连BE，则为等腰三角形，
平面
（3）可知面设到面BDE的距离为，则
10. (1)4个字的160人,5个字的40人. (2)
2
3
4
5
(3) 305
18.解:(1) ∵平面,平面,∴
∵平面平面∴
又∴平面
(2)由(1)可求得,以点为坐标原点,为轴,为轴,过点与平行的直线为轴建立空间直角坐标系,则.
取的中点,连,则,从而,平面,,
所以,平面的法向量为.
设平面的法向量为,
则 即令,得
所以∴所求二面角的大小为.
(3)设向量与都垂直,则由得
令,得.
所以异面直线与的距离
11. （1）取PD中点Q，连EQ、AQ，则∵QE∥CD，CD∥AB，∴QE∥AB，
又
∥AQ
又∥平面PAD…3分
（2）PA⊥底面ABCD ∴CD⊥PA，又CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD ∴AQ⊥CD若PA=AD，
∴Q为PD中点，∴AQ⊥PD ∴AQ⊥平面PCD
∵BE∥AQ，∴BE⊥平面PCD…………………7分
（3）连结AC，取AC的中点G，连EG，EG∥PA，
∵PA⊥平面ABCD，∴EC⊥平面ABCD，过G作GH⊥BD，连EH，则EH⊥BD，
∴∠EHG是二面角E—BD—C的平面角.
设AB=1，则PA=AD=DC=2AB=2. ∴
又 ∽△ABG，
∴BG∥AD，∠GBH=∠ADB，∴△ABD∽△HBG.
.
12. （Ⅰ）设正三棱柱—的侧棱长为．取中点，连．
是正三角形，．
又底面侧面，且交线为．
侧面．
连，则直线与侧面所成的角为．
在中，，解得．
此正三棱柱的侧棱长为．
注：也可用向量法求侧棱长．
（Ⅱ）解法1：过作于，连，
侧面．
为二面角的平面角．
在中，，又
， ．
又
在中，．
故二面角的大小为．
解法2：（向量法，见后）
（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，平面,平面平面，且交线为，过作于，则平面．
在中，．
为中点，点到平面的距离为．
解法2：（思路）取中点，连和，由，易得平面平面，且交线为．过点作于，则的长为点到平面的距离．
解法3：（思路）等体积变换:由可求．
解法4：（向量法，见后）
题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：
（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系．
则．
设为平面的法向量．
由 得．
取
又平面的一个法向量
．
结合图形可知，二面角的大小为．
（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，
点到平面的距离＝．
13. (1)以D为原点,,DA,DC,DD1分别为X、Y、Z轴建立如图的空间坐标系。则。
由于M、N是的中点，
从而。
则
故与所成的角为。
（2）设与都垂直的方向向量为。
则 即 即
取，则。
所以与间的距离为
14. 方法一：
C
证：（Ⅰ）在Rt△BAD中，AD=2，BD=，
∴AB=2，ABCD为正方形，
因此BD⊥AC.
∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，
∴BD⊥PA .
又∵PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC.
解：（Ⅱ）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD，
∴CD⊥PD，知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角.
又∵PA=AD，
∴∠PDA=450 .
（Ⅲ）∵PA=AB=AD=2
∴PB=PD=BD=
设C到面PBD的距离为d，由，
有，
x
即，
得
方法二：
证：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系，
则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.
在Rt△BAD中，AD=2，BD=，
∴AB=2.
∴B（2，0，0）、C（2，2，0），
∴
∵
即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC.
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得.
设平面PCD的法向量为，则，
即，∴
故平面PCD的法向量可取为
∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量.
设二面角P—CD—B的大小为，依题意可得，
∴ = 450 .
（Ⅲ）由（Ⅰ）得
设平面PBD的法向量为，则，
即，∴x=y=z
故平面PBD的法向量可取为.
∵，
∴C到面PBD的距离为
15. (1)证明：取PD的中点E,连结EF、AE，
因为点F为PC的中点，所以EF∥CD，且，
而AB∥CD,，所以EF∥AB且EF=AB
所以四边形EFBA是平行四边形，所以BF∥AE
因为
所以BF∥平面PAD （6分）
（2）由题意知，
又，，
所以
由（1）知BF∥AE
所以
16. 方法一：
（I）证明：因为，是的中点，
所以．
又平面，
所以．
（II）解：过点作平面，垂足是，
连结交延长交于点，连结，．
是直线和平面所成的角．
因为平面，
所以，
又因为平面，
所以，
则平面，因此．
设，，在直角梯形中，
，是的中点，所以，，，
得是直角三角形，其中，所以．
在中，，
所以，故与平面所成的角是．
方法二：
如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，，．，．
（I）证明：因为，，
所以，故．
（II）解：设向量与平面垂直，则，
即．
因为，，
所以，，
即，，
直线与平面所成的角是与夹角的余角，
所以，
因此直线与平面所成的角是．
17. (1)：据题意，BC,ED的延长线相交，设交点为F，则、都为正三角形，且C,D为中点，从而，∴据三垂线定理，知.
解（2）：∵,又,
∴
.
设点E到面SCD的距离为，则，故点E到面SCD的距离
F
（3）连AC，分别过B作,则即为二面角的平面角. 利用面积法，在中易得在中易得∴,∴二面角为.
18. （1）由已知易得，．
∵ ， ∴ ，即．
又 ∵ 平面，平面，∴ ．
∵ ，∴ 平面．又∵ 平面， ∴ ．
(2) 存在．取的中点为,连结,则∥平面．证明如下：
取的中点为,连结． ∵，， ∴，且，
∴四边形是平行四边形，即．
∵ 平面，∴ 平面.
∵分别是的中点，∴ ．
∵ 平面，∴ 平面．∵ ，∴平面平面．
∵ 平面，∴平面．
（3）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则有，，，，，，，
由题意知，平面，所以是平面的法向量．
设是平面的法向量，
则，即．
所以可设．所以．
结合图象可知，二面角的余弦值为．
19. 法一、（I）证明：在矩形ABCD中，BC⊥AB
又∵面PAB⊥底面ABCD侧面PAB∩底面ABCD=AB
∴BC⊥侧面PAB 又∵BC侧面PBC
∴侧面PAB⊥侧面PBC
（II）解：取AB中点E，连结PE、CE
又∵△PAB是等边三角形 ∴PE⊥AB
又∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD
∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角
在Rt△PEC中，∠PCE=45°为所求
（Ⅲ）解：在矩形ABCD中，AB//CD
∵CD侧面PCD，AB侧面PCD，∴AB//侧面PCD
取CD中点F，连EF、PF，则EF⊥AB
又∵PE⊥AB ∴AB⊥平面PEF 又∵AB//CD
∴CD⊥平面PEF ∴平面PCD⊥平面PEF
作EG⊥PF，垂足为G，则EC⊥平面PCD
在Rt△PEF中，EG=为所求.
法二、（坐标法 略）
20. （I）证明：依题意知：
（II）由（I）知平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD.
在PB上取一点M，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，
设MN=h
则
要使
即M为PB的中点.
（III）以A为原点，AD、AB、AP所在直线为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系
则A（0，0，0），B（0，2，0），
C（1，1，0），D（1，0，0），
P（0，0，1），M（0，1，）
由（I）知平面，则
的法向量。
又为等腰
因为
所以AM与平面PCD不平行.
浙公网安备 33021202002483