§2－2有理数与实数
第二章 三角函數的基本念 概 1 ? 1
?2,2 有理數與實數
甲 . 有理數與實數
1.有理數的定義,
a
a,b?Z,b?0凡是能寫成形如的數, 就稱有理數為. 其中.b
a
a(1)由於每一個整數都可以寫成, 所以每一個整數也都是有理數.1
(2)任意有限小數都可以化成分數, 所以每一個有限小數必有理數為.
(3)任意循環小數也都可以化成分數, 所以每一個循環小數, 也都是有理數.
aQQ={x|x=,a,b?Z,b?0}(4)全體有理數所成的集合以表示. 即. b
2.有理數的相等,
aca,b,c,d?Zb?0,d?0adbc=?=設, 且, .bd3.有理數的四則運算,
a,b,c,d?Zb?0,d?0設, 且
acadbc++=(1)加法,.bdbd
acadbc??=(2)減法,.bdbd
acac×=(3)乘法,.bdbd
acadad?=×=c?0(4)除法, ( )bdbcbcac
兩有理數與的和, 差, 積, 商仍是有理數.bd
4.整數的離散性,
a,b?Z,a?b|a?b|?1設, 則 .
( 即任意兩個相異的整數之差的絕對絕大於或等於1 )5. 有理數的稠密性,
第二章 三角函數的基本念 概 1 ? 2
任意兩個相異有理數之間至少有一個有理數.
r,s?Qt?Qr .
例 1.71
0.0645 把循環小數化最簡分數為. 1100
第二章 三角函數的基本念 概 1 ? 3
類題 .14
4.3?(0.27×11?0.06?0.3) 化為最簡分數. 9
例 2.
一個正的最簡分數的分子與分母之和為70, 將其化小數後為, 並且將小數點後27
第二位四捨五入得近似絕為0.6, 試求這最簡分數. 43
類題 .
一個正的最簡分數的分子與分母之和為20, 將其化小數後為, 並且將小數點後7
第三位四捨五入得近似絕為0.6, 試求這最簡分數. 13
例 3.77
? 在數線上標出代表及之點. 44
第二章 三角函數的基本念 概 1 ? 4
類題 . 55
? 在數線上標出代表及之點.33
例 4.
a,b,c?Za,b,c|a?2|+2|b?3|+3|c+6|=2 設, 若, 求之絕.
0, 3, –6 ; 4, 3, –6 ; 2, 2, –6 ; 2, 4, –6
類題 .
a,b?Z|a?1|+3|b+2|=4(a,b)= 設, 若, 求數對 .
–3, –2 ; 5, –2 ; 0, –3 ; 0,–1 ; 2, –3 ; 2, –1
例 5.
33 試利用三種的方法作出, 並找在數線上出代表之點.
第二章 三角函數的基本念 概 1 ? 5
類題 .
5(1)在數線上標出代表之點.
2?3(2)試用幾何尺規作圖在數線上描出之點.
例 6.
利用間接證法, 證明,
3(1)為無理數.
333+2 (2) 已知為無理數, 求證為無理數.
類題 .
2(1)證明為無理數.
32+52(2)已知為無理數, 證明為無理數.
例 7.
有下列命題,
a,ba+b(1)若均無理數為, 則亦無理數為.
aba+b(2)若為有理數, 為無理數, 則為無理數.
a,ba+b(3)若均有理數為, 則亦有理數為.
a+b,b+c,c+aa,b,c(4)若均有理數為, 則為有理數.
513aa?0aa(5)設為一時數, 若與均有理數為, 則為有理數.
第二章 三角函數的基本念 概 1 ? 6試判斷各命題之真偽? (1) 為偽, (2)(3)(4)(5)為真
類題 .
a,b,c 設為實數, 則下列述何者敘為真?
a+b,a?ba,b(A)若均有理數為, 則必有理數為.
a+baba?b(B)若為有理數, 為無理數, 則必無理數為.
abab(C)若為有理數, 為無理數, 則為無理數.a
a,bab(D)存在兩個無理數使為無理數, 為有理數.b
a,b,cab?0ca+bc?0(E)若均有理數為, , 而為無理數, 則.(A)(C) 為偽 (B)(D)(E)為真
例 8.
a,b,c,d?Qa=c,b=dxa+bx=c+dx (1) 設而是無理數, 若, 求證.
a,ba,b(2+3)a+(1?3)b=7?3 (2) 設為有理數, 若, 求之絕. 2, 3
類題 .
a=0,b=0a,b?Q,a+b2=0 (1) 設充要條件為 . 22aa=(a?1)+(a?2a?3)7=0 (2) 設為有理數, , 則 . –1
例 9.
第二章 三角函數的基本念 概 1 ? 7
1a+bb1172? 設之整數部分為, 純小數部分為, 求之絕. 3 ab?
類題 .211?ab14?410(1)設的整數部分為, 純小數部分為, 求之絕. 3a+bb+522x,y?Qx+yx+y16+252=x8?28+15(2)設且, 求之絕. 18
例 10.
ad (2)與的大小. ==23
類題 .
7?2>8?37?28?3(1)比較與的大小.
2131??,a,babab"(1)三一律,三者中恰有一式成立.
a0acbc 若且, 則.
2a?Ra?0(5)若, 則.
2. 絕對絕的幾何意義,
|a|aa (1) 在數線上, 實數與原點0之距離記做, 稱為的絕對絕.a,當a0時?:
即|a|=,
a,當a0?時<:
A,BA(a),B(b)ab (2) 設是數線上的兩個點, 其坐標分別是與, 即,
=|a?b|AB 則與兩點間的距離.
第二章 三角函數的基本念 概 1 ? 9
a,b?R 3. 絕對絕的性質, 設
|a|?0(1)
?|a|?a?|a|(2)
a|a||ab||a||b|,||=?=b?0(3), ( 其中 )b|b|
x?R,a>0|x|?a??a?x?a(4)設, 則 .
|x|?a?x?ax??a 或.
|a+b|?|a|+|b|(5)
a,a,a,,,a?R|a+a+,+a|?|a|+|a|+,+|a|(6)設, 則.123n12n12n
例 11.
xx?R 設, 試在數線上標示滿足下列各條件的所有的範圍?
|x?3|?2x?5x?1 (1) 或
31|2x+1|<2?0)?x?7x??1(2) 若的解為或, 求之絕. 33
例 13.
A,Bα,βα<βPAB 設數線上相異二點, 若點介於與之坐標分別為且之間且
+nmαβAP:PB=m:n,m,n?NP , 則點坐標為, 試證之.m+n
第二章 三角函數的基本念 概 1 ? 10
類題 .
AAABBB 設數線上有二相異點與, 若與的坐標分別為–2, 5, 今在與 11
AP:PB=3:2PP 之間取一點且, 求點坐標. 5
例 14.
412?|3x?1|?5??x??x1?x?2 求滿足不等式的範圍. 或33
類題 .
5?|2x?3|<9x?3
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