等腰三角形

等腰三角形 初中几何 第二册 第三章 第四单元 等腰三角形 一、教法建议 【抛砖引玉】 本单元将研究等腰三角形.在教学时，应从 小学 小学生如何制作手抄报课件柳垭小学关于三违自查自纠报告小学英语获奖优质说课课件小学足球课教案全集小学语文新课程标准测试题 已有的知识引出等腰三角形两底角相等 性质，然后给出证明，由证明过程得出两个重要推论，为了使学生牢固地掌握等腰三角形 的性质，并能灵活地运用它们，应通过例，习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的练习，非常熟练地进行下面的推理：如 图，在?ABC中， (1)AB = AC,?B = ?C；(2) AB = AC，?1 = ?2, AD?BC，BD = DC；(3) AB = AC，BD = DC,AD?BC，?1 = ?2；(4)AB = AC，AD? BC, BD = DC，?1 = ?2.在例，习题教学中，鼓励学生自己试添辅助 线，从实践中取得经验，掌握添辅助线的规律.寻求最简捷的思路.在教 学等腰三角形的判定定理时，可让学生先叙述等腰三角形性质定理的逆 命题，然后引导学生探索其逆命题是否是真命题，使学生积极参与，从 实践中学习，对其判定理更加信服.再进一步得出推论.通过例、习题教 学，巩固等腰三角形判定定理及推论.例4，例5是等腰三角形性质和判定的综合应用，通 过这两个例题，使学生进一步理解性质与判定的区别，并能根据条件正确地选择性质定理 或判定定理，能综合运用这些定理证明问题.教学证明题，由于题目复杂程度提高，可以教 学生画思路图，从未知入手进行分析，然后再用相反的方向写出证明.本单元文字题较多，学生对已知，求证写不好，最常见的毛病是条件写得不全或不明确，教学中要注意帮他们 纠正.课堂上，例题的已知，求证最好先让学生写，然后进行证明.在证明过程中，他们自己会发现已知，求证中写得不对或不好的地方，这时再纠正，效果会更好些. 通过复习线段垂直平分线定义引入新课，进而研究它们性质.着重在教学中指出定理及逆定理的关系，并结合图形说明线段的垂直平分线可以看作一些点的集合，这些点都满足 “和线段两个端点的距离相等”，同时说明，这条线上包含了满足条件的所有点，这样就可 以为后面的学习打下一些基础. 轴对称和轴对称图形在教学中要结合实例把它们概念讲清楚，要求学生理解这些概念， 弄清它们的区别与联系，能识别轴对称图形，会画一些简单图形关于某直线的对称图形.为 调动学生学习积极性，加深对概念的理解，教学中多画图，课后也要求学生多练习点对称 图形，通过画（剪）的实践，增加趣味及美的感受. 【指点迷津】 等腰三角形的性质与判定.它们是证明线段相等和角相等的重要依据，是本单元也是本 章重点之一.要揭示等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理，题设与结论正好相反， 以进一步认识判定与区别，才能根据条件正确地选择性质定理或判定定理，才能综合运用 这些定理解决问题，使思路畅通，学过等腰三角形以后，推理的依据多了，题目的复杂程 度也增加了，证明思路不那么明显，简单，因此会给学生带来困难，证明题无处入手，为 此，要加强证明题前分析教学，帮助学生学会分析证明思路，找出证明途径，因为学过的 定理多了，从已知出发有多种途径可供选择，这时最好结合所要求证的结论一起考虑，这 1 就是通常说的“两头凑“的分析法.教会学生分析法，转化法，数形结合法，方程（组）法 等.使他（她）们多种思维方法都能掌握，寻觅思路的渠道便多了，证（解）几何题的难点 便会突破，上升一个档次. 二、学海导航 【思维基础】 回答下列问题 1.等腰三角形的两个底角 ，简称：等边对 . 2.等腰三角形的三线合一性：等腰三角形的顶角平分线，底边上的 ，底边上的 互相重合，只要知道等腰三角形三条中的一条就能得出另外两条. 3.等边三角形的各角相等且每一个角都等于 ，等腰直角三角形每一个锐 角都等于 . 4.如果一个三角形有两个角 ，那么这两个角所对的边也相等.简称：等角对 . 5.三个角都相等的三角形为等边三角形，有一个角为 的等腰三角形为等边三角形. 6.在直角三角形中，如果一个锐角等于30?那么它所对的直角边等于斜边 的 . 7.定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离 . 逆定理：和一条线段两个端点距离 的点，在这条线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线定义：线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离 的所有点的集合. 8.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这 条直线叫 ，两个图形关于直线对称也称轴对称. 9.定理1：关于某条直线对称的两个图形是 .定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么 是对应点连线的垂直平分线.定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在 上.逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线 ，那么这两个图形关于这条直线对称. 10.如果一个图形沿着一条直线折叠，那么直线两旁的部分能够互相 ，那么这两个图形叫轴对称图形，这条直线就是它的 . 【学法指要】 例1、如图，上午8时，一条船从A处出发以15海里／时的速度向正北航行，9时45分到达B处，从A处测得灯塔C在北偏西26?，从B处测得灯塔C在北偏西52?，求B 处到灯塔C的距离. 思路分析：观察图形可发现?NBC为?ABC的一个外角，可联 想三角形内角和定理推论2，进而知道： ?C = ?NBC－?A = 52?－26?=26? 则有?A = ?C = 26?, BC = AB 由此可知求B处到灯塔C的距离便转化求AB的距离.根据题 设，则有 2 45AB = 15×(1 + ) = 26.25（海里） 60 ?BC = 26.25（海里） 例2、如图，求作一点P，使PC = PD，并且使P点到?AOB的两边OA，OB的距离 相等. 思路分析：欲使PC = PD，即是点P和线段CD两 个端点距离相等，线段的垂直平分线的逆这理告诉我 们：“和一条线段的两个端距离相等的点，在这条线段 的垂直平分线上”.那么，只要作线段CD的垂直平分线 即可.同时点P又要到?AOB的两边OA，OB的距离相 等.“到角两边距离相等的点，在这个角平分线上.”点 P在?AOB平分线上，作出?AOB平分线与CD中垂 线的交点即P点.于是便找到作法： (1)作?AOB的平分OM； (2)连CD，作CD的中垂线EF与OM交于点P.则点P即为所求. 原题不变，下列图形你能求出点P吗？（请画出图形，保留作图痕迹，不写作法.） 注：仿例2的思路分析与作法即可，请同学们自己练习. 例3、已知P是等边三角形ABC的BC边上任一点，过P点分别作AB，AC的垂线PE 和PD，垂足为E，D.求证：?AED的周长与四边形EBCD的周长相等. 思路分析：欲证?AED周长 = 四边形EBCD周长，即证 AE + AD + DE = BC + CD + DE + BE，即证AE + AD = BC + CD + BE结合图形，题设知：AE = AB－BE，AD = AC－CD. 此时转化为可证：AB－BE + AC－CD = BC + CD + BE，又AB = BC = CA.上式又转化为：BC = 2BE + 2CD 在Rt?PBE和Rt?PDC中，?B =?C = 60? ??BPE =?DBC = 30?，?BE = 11 PB，CD = PC 22 11?上式又转化为：BC = 2?PB + 2?PC 22 即BC = PB + PC此式当然成立.思路畅通. 如上思路分析可作如下画图分析： ?AED周长 = 四边形BECD周长 3 , AE + AD + DE = BC + CD + DE + BE , AE + AD = BC + CD + BE , AB－BE + AC－CD = BC + CD + BE , AB = BC = CA , BC = 2BE + CD , , Rt?PBE中，B = 60?，BE = 11PB 同理CD = PC 22 , BC = PB + PC 按照思路分析图，便可写出证明过程，请同学们完成. 我们学会思路分析或画思路图的方法，今后再遇到较难的几何题我们便可执果索因， 一步一步分析，结合题设及图形提供的信息源，便可达到目的，或者画思路分析图，要什 么，找什么，结合题设和图形提供的条件，就能找到目的地.这两种探寻思路的方法，都应 学习，它们可相辅相成，帮你找到思路. 例4、如图，已知?ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE = BD， 连结CE，DE.求证：EC = ED. 思路分析：由?B = 60?，使我们想构造等边三角形，延长 BD至点F，使DF = BC，又AE = BD，AB = BC，则BE = BF， ?BEF为等边三角形, ?F= 60?，BE = EF，BC = DF，?EBC ??EFD. 故EC = ED. 由?B = 60?也可这样构造等边三角形.过D作DG?AC 交BE于点G，则?BDG为等边?, DG = BD , AE = DG AE = BD AG = CD , BC = GE AE = BD , GE =AC BC = AC 又AC?DG, ?EAC = ?DGE , ?ACE??EGD , EC = ED. 抓住60?这一信息，联想等腰三角形判定定理推论2，便萌生构造等边三角形，从而 打开新局面，找到思路.要想找到思路，必须善于捕捉信息，创造出有利因素，便可达到目 的. 【思维体操】 例1、在高2米，坡角为30?的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需 米.（精 确到0.1米） 4 思路分析：根据客观实际知：?ABC是直角三角形，且? C = 90?又?B = 30?，?AB = 2AC = 4（米） 1因有八个楼梯，每个楼梯斜面长为：4?8 = （米），我2 们把楼梯放大，即为下图，Rt?BDE为一个楼梯.（BD + DE） 之长即为一个楼梯应铺地毯的长. ?DE与BC边是平行的.??E = 30? 111又BE = （米）?DB = BE = （米） 224 322由勾股定理，得：DE = （米） BEBD,,4 31?DE + BD = ， 44 ?八个楼梯是一样的. 31?楼梯总长为：（，）×8 44 = 2 + 2? 2×1.732 +2 = 3.464 + 2 3 = 5.464 ?5.5（米） 故地毯总长约为5.5米. 将生活中的实际问题转化为直角三角形问题，应用等腰三角形判定定理推论3等知识，解决这一问题，解决生产，生活中的实际问题，必须将实际问题抽象，转化为 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 问题， 便容易找到思路. 例2、如图，?ABC是等腰三角形（AB = AC?BC） (1)求作点P，使?ABP，?BCP，?CAP都是等腰三角形（要写作法，并保留作图痕 迹）； (2)如果?ABC是正三角形，那么符合条件的点只有几个？ 思路分析：(1)由课本P例题启发我们，只要作AB，BC边的垂直平分线交于点即为87 所求P点.（例题已证PA = PB = PC）.另一方面，?ABC是等腰?，且AB = AC，所以BC 边的垂直平分线定过A点（等腰三角形的三线合一性）.以A 为圆心，AB为半径画圆与L交于P，P两点也符合要求.112 （如图及画图知：AP = AB = AP = AC）于是可找到作法： 12 (i)分别作BC，AB的垂直平分线L，L交于点P，则点12 P即为所求； (ii)引BC的垂直平分线必过A点，以点为圆心，AB为 半径画弧与L交于P，P二点，则P，P二点亦为所求. 11212 由(i)，(ii)知符合条件的点为P，P，P三点. 12 5 6 (2)由(1)思路分析，因AB = AC，AC = BC，BC = AB分别作AB，BC，CA垂直平分线L ，L，L.再分别以A，B，C为圆心，都以AB为半径画圆，三条垂直平分线和?，?，123AB ?分别交P，P，P三点，?，?，?又两两相交于P，P，P三点，L，L，L交C579ABC468123 于点P，又分别与三圆交于P，P，P三点.由上作图可知，共有10个点符合条件.它们是：123 P，P，P，P，P，P，P，P，P，P. 123456789 本例在求作画图中容易失解，尤其由等腰三角形扩广到等边三角形，出现10个符合条件点，为此，必须抓住轴对称图形的性质，中垂线性质才能不重不漏把符合条件的点都求 出来.当我们把这道题完成后，应“宜将剩勇追穷寇，不可沽名学霸王”.应继续研究，分别以P，P，„„，P，为三角形一个顶点，以B，C为三角形两个顶点，你能分别写出这些110 三角形吗？（共30个）.你能找出多少个轴对称图形？你又能找出哪两个三角形分别关于直 线L，L，L成轴对称？这样穷追不放，追根朔源.将对垂直平分线性质，等腰三角形的判123 定，轴对称，轴对称图形概念将进步理解，达到入神造化地步.为进一步学习打下坚实基础. 例3、(1)已知：等腰三角形的一个内角为62?，则它的底角的度数为（ ） (A)62?或59? (B)63?或58? (C)62? (D)59? (2)已知：等腰三角形的一腰上的高线等于腰长的一半，则它的底角为（ ） (A)15?或75? (B)30?或60? (C)15? (D)75? 思路分析：(1)等腰三角形的一个内角为62?，这个内角是等腰三角形的底角呢，还是 顶角呢？当题设告知不清楚时，应分类讨论，来不得半点的含糊，不然要失解.对本例要分两种情况： (i)当这个内角为顶角，且为62?时，这个等腰三角形的底角为： （180?－62?）?2 = 59? 7 (ii)当这个内角为底角，且为62?时，这个等腰三角形的另一个底角亦为62?. 由(i)，(ii)知，这个等腰三角形底角的底数为62?或59?，故应选(A) (2)等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，同学们知道，三角形高线可在形内，可 在形外，对本例，高线在三角形内，还是在形外？是不了解的，应分两种情况求解. (i)当等腰三角形的高线在形内时，如左图. 1 ?BD?AC于D，BD = AB 2 ??A = 30?，?AB = AC，??B = ?C ??B = ?C = （180?－?A）?2 =75? (ii)当等腰三角形的高线在外时，如左图. 1?BD?AC于D，BD = AB 2 ??DAB = 30?，??BAC = 150? ??ABC = ?C = （180?－150?） ?2 = 15? 由(i)，(ii)知等腰三角形的底角为75? 或15?，就选(A) 对于等腰三角形问题容易出现二解，三解，甚至多解的可能，从例1，例3已向同学们 作出示范与警示.今后在遇到具体问题时，一定要缜密考虑，全面考察，分类求解，才能解 答完整.在解题时，千万不能想当然，这是解数字题的一大忌韪. 三、智能显示 【心中有数】 本单元应掌握等腰三角形的性质和判定，掌握等边三角形的性质和判定，并能灵活地 运用它们进行论证和计算.对等腰三角形和等边三角形之间关系，它们的性质和判定定理之 间关系应了解；线段垂直平分线的性质定理及其逆定理应熟练掌握，能够利用它们进行论 证.理解轴对称，轴对称图形的概念，了解轴对称的性质，会画已知图形关于某直线的轴对 称图形.通过例习题的学习，学会分析问题的方法，会画图分析找思路，并能把学得的书本 知识应用于实践，服务于社会. 【动脑动手】 1.已知：?ABC的AB = AC，D是?ABC内一点E和D在 AC的两旁，并且AD = AE，?AED = ?ACB.求证：BD = CE 2.已知：?ABC的AB = AC，AD是BC边上的中线，AB的 垂直平分线交AD于O，?B的平分线交AD于I.求证：(1) OA = OB = OC；(2) I到BC，CA，AB的距离相等. 3.求证：如果把等腰三角形的底边向两方向分别延长相等线 段，那么延长线段的两个外端与等腰三角形的顶点距离相等. 揭示思路： 1.证明：??ABC和?ADE中，AB = AC，??ABC = ?ACB. AD = AE，??ADE = ?AED.??AED = ?ACB.??ABC = ?ADE ??BAC = ?DAE. ??BAC－?DAC = ?BAD ?DAE－?DAC = ?CAE 8 ??BAD = ?CAE ?AB = AC，AD =AE ??BAD??CAE ?BD = CE 2.(1)?AB = AC，AD是BC边的中线 ?AD?BC.AD为?A平分线. ?AD为BC边中垂线 又O为AB，BC两边中垂线的交点. ?OA = OB，OB = OC ?OA = OB = OC (2)由(1)证知：AD为?BAC平分线. 又I在AD上，IE?AB，IF?AC ?IE = IF 又I在?B的平分线上 IE?AB，ID?BC. ?IE = ID ?IE = ID = IF 3.已知：如图，?ABC中，AB = AC，CE，BD分别是BC，CB的延长线，且CE = BD. 求证：AD = AE 证明：?AB = AC ??ABC = ?ACB ??ABD = ?ACE ?CE = BD ??ADB??AEC ?AD = AE 【创新园地】 题：已知：如图，点C为线段AB上一点，?ACM，?CBN是等边三角形. 求证：AN = BM 扩散一：原题设不变，求证：CE = CF； 扩散二：原题设不变，求证：EF?AB； 扩散三：已知：如图，?ABD，?AEC都是等边三角形.求证：BE = DC； 扩散四：已知：如图，?ABC和?ADE都是等腰直角三角形，?BAC=?DAE = 90 ?.求证：BD = CE； 9 扩散五：已知：如图，?ABD和?ACE中?BAD = ?CAE，AB = AD，AC = AE. 求证：CD = BE； 扩散六：已知：如图，四边形ABDE，ACFG都是正方形.求证：BG = CE. 揭示思路： 题：??ACE，?CBN都是等边?. ??ACM = ?MCN = ?BCN = 60?, ?ACN = ?BCE = 120? AC = CM，CN = CB ??ACN??MCB ?AN = BM 扩散一： 由原题证?ACN??MCB ??CNE = ?CBF，又?ECN = ?FCB = 60?，NC = BC ??CNE??CBF ?CE = CF 注：亦可证?ACE??MCF, CE = CF 扩散二： 用扩散一证得CE = CF，又?ECF = 60? ??CEF为等边? ??EFC = 60?，又?BCF = 60? ??EFC = ?BCF ?EF?AB 扩散三： ??ABD，?AEC都是等边三角形 ??DAB = ?EAC = 60? ??DAB + ?BAC = ?EAC + ?BAC 10 ??DAC = ?EAB 又AD = AB，AE = AC ??DAC??EAB ?BE = DC 扩散四： ??ABC，?ADE均为等腰直角三角形 且?BAC = ?EAD = 90?，AB = AC，AE =AD ??BAC + ?CAD = ?EAD + ?CAD ??BAD = ?EAC ??BAD??EAC ?BD = CE 扩散五： ??BAD = ?CAE ??BAD + ?BAC = ?CAE + ?BAC ??DAC = ?EAB ?AB = AD，AC = AE ??DAC??EAB ?CD = BE 扩散六： 证法可仿扩散四. 四、同 步 题 库 一、填空题 1.一个等腰三角形可以是 三角形， 三角形， 角三角形. 2.一个等腰三角形底边上的 、 和顶角的 互相重合. 3.如图1-4-15，已知AB=AC，?1=?2，BD=5cm.那么BC . 图1-4-15 图1-4-16 4.如图1-4-16，已知?ABC中，?BAC=90?，AD是高，?C=30?，BD=3cm，那么BC= . 5.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 . 6.三角形一个角的平分线垂直于对边，那么，这个三角形是 . 7.等边三角形两条中线相交所成的钝角的度数为 . 8.已知等腰三角形一个角为75?，那么，其余两个角的度数是 . 9.一个等腰三角形的周长是35cm，腰长是底边的2倍.那么腰长是 ，底边 11 长是 . 10.如图1-4-17，已知AB=AC，?ABC与?ACB的平分线交于F点，过F点作DE?BC， 那么图中的等腰三角形有 个，它们是 . 图1-4-17 11.如图1-4-18，已知?ABC中，?ACB=90?，?B=30?，那么 1AB，如 ,2 果D是AB的中点，那么 是等腰三角形， 是等边三角形. 12.如图1-4-19，已知?ABC的边AB、BC的垂直平分线DE、MN交于O点，那么有OA= = ，如果OH?AC，H为垂足，那么直线OH是AC的 . 13.如图1-4-20，已知AB=BC=CD=CE，?CAE=25?，那么?CEN= ，?MCE= . 图1-4-18 图1-4-19 图1-4-20 14.已知等腰三角形顶角是底角的10倍，腰长为10cm，那么这个三角形腰上的高为 . 15.在线段、角、等腰三角形、直角三角形中，轴对称图形是 . 二、选择题 1. 如图1-4-21，已知?ABC=?C=72?，BD是?ABC的平分线，那么图 中等腰三角形有 （ ）. （A）1个 （B）2个 12 （C）3个 （D）4个 图1-4-21 图1-4-22 2. 如图1-4-22，已知?ABC中，?B=?ACB，CD?AB于D，那么下列两 角关系正确的是 （ ）. （A）?A=?B （B）?A=?ACD （C）?A=?DCB （D）?A=2?BCD 3.等腰三角形的两边长分别为8cm和6cm，那么它的周长为（ ）. （A）20cm （B）22cm （C）20cm或22cm （D）都不对 4.如图1-4-23，已知AB=AC，DE分别为AB、AC的中点，BE、CD交于G，AG的延长线交BC于F，那么图中全等三角形对数有（ ）. （A）4对 （B）5对 （C）6对 （D）7对 5.如图1-4-24，AC=BC，?1=?2，那么AM是等腰三角形?ABC的（ ）. （A）顶角平分线 （B）底角平分线 （C）一腰的中线 （D）底边上的中线 6.如图1-4-25，已知在?ABC中，AB=AC，?B=50?，AD、AE分别是BA、CA的延长线， ?D=20?，那么?DEA是（ ）. （A）等腰三角形 （B）等边三角形 （C）等腰直角三角形 （D）以上结论都不对 图1-4-23 图1-4-24 图1-4-25 7.如图1-4-26，已知在?ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，?ABD的周长是13cm， 那么?ABC的周长是（ ）. 13 （A）11.5cm (B)13cm (C)16cm (D)19cm 图1-4-26 8.下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）. （A）等边三角形 （B）等腰直角三角形 （C）线段 （D）三角形的内角平分线 9.等腰三角形一底角的余角等于（ ）. （A）顶角 （B）顶角的2倍 （C）底边高与一腰所成的角 （D）一腰上的高与另一腰所成的角 10.如果三角形的三边a、b、c满足（a-b）(b-c)(c-a)=0，那么这个三角形是（ ）. （A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等边三角形 （D）锐角三角形 11.一个等腰三角形，但不是等边三角形，它的角平分线、高、中线总数共有（ ）. （A）9条 （B）7条 （C）6条 （D）5条 12.等腰三角形中，有一个角是50?，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）. （A）25? （B）40? （C）25?或40? （D）以上都不对 13.等腰三角形一边长为 2343，7，周长为，那么，这个等腰三角形腰长为（ ）. （A）3.5，323 （B） （C）3.52 （D）以上都不对 14.已知等腰三角形的一个外角等于70?，那么底角的度数是（ ）. （A）110? （B）55? （C）35? （D）以上都不对 15.满足下列条件的图形是轴对称图形的是（ ）. （A）全等的两个图形 （B）能互相重合的两个图形 （C）沿一条直线对折，能互相重合的两图形 （D）绕某点旋转180?后，能互相重合的两图形. 三、计算、证明题 1. 如图1-4-27，已知在?ABC中，AB=AC，?A=40?，?ABC的平分线 BD交AC于D. 求：?ADB和?CDB的度数. 14 图1-4-27 2. 如图1-4-28，已知AD?BC，垂足为D，?BDE和?ADC都是等腰直 角三角形，CE=5cm， 求AB的长. 图1-4-28 3. 如图1-4-29，已知CE平分?ACB，CE?DB.?DAB=?DBA，AC=18cm， ?CDB的周长是 28cm. 求DB的长. 4. 如图1-4-30，已知在?ABC中，AB=AC，?BAD=30?，AD=AE. 求：?EDC的度数. 图1-4-29 图1-4-30 5. 如图1-4-31，已知?ABC是等边三角形，在AC、BC上各取一点D、 E，使AD=CE，AE， BD相交于O. 求?BOE的度数. 6. 如图1-4-32，已知在?ABC中，AB=AC，?BAC=120?,DE垂直平分 AC，DE=2cm. 求BC的长. 7. 如图1-4-33，已知在?ABC中，AB=AC，?1=?2. 求证：AD?BC. 15 图1-4-31 图1-4-32 图1-4-33 8. 如图1-4-34，已知?ABC是等边三角形，AD是?BAC的平分线，? ADE是等边三角 形. 求证：BD=BE. 9.如图1-4-35，已知在?ABC和?DBC中，?1=?2，?3=?4，E是BC上一点. 求证：?5=?6. 10.如图1-4-36，已知AB=AC，?ABD=?ACD. 图1-4-34 图1-4-35 图1-4-36 求证：AD垂直平分BC. 11.如图1-4-37，已知在三角形ABC中，AB=AC，以AB，AC向上作等边三角形?ABD和 ?ACE. 求证：DE?BC. 图1-4-37 图1-4-38 12.如图1-4-38,已知在?ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，BD=CE,DE 交BC于F. 16 求证：DF=EF. 参 考 答 案 同步题库 一、 填空题 1. 锐角 钝角 直角 2.高 中线 平分线 3.10cm 4.12cm 5.如 果一个三角形有 两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 6.等腰三角形 7.120? 8.30?和75?或 52.5?和52.5? 9.14cm、7cm 10.5、?ABC、?ADE、?DBF、?EFC、?FBC 11.AC、? DBC、?ADC 12.OB、OC、垂直平分线 13.105?、100? 14.5cm 15.线段、角、等腰三 角形 二、 选择题 1.C 2.D 3.C 4.D 5.B 6.A 7.D 8.D 9.C 10.A 11.B 12.C 13.A 14.C 15.C 三、 计算、证明题 1.105?，75? 2.5cm，证?ABD??CEB得AB=CE. 3.8cm 证?CED??CEB得CD=CB，由已知可得BC=10cm. 4.? ?B=?C，?ADE=?AED ? ?BAC=180?-2?C，?DAC=180?-2?AED ? 180?-2?C=180?-2?AED+30? 即?AED-?C=15? 得：?EDC=?AED-?C=15?. 5.证?ADB??CEA得?ABD=?CAE 又? ?BAE+?CAE=60? ? ?BAE+?ABD=60? 即?BOE=?BAE+?ABD=60?. 17 6.【解】连结AD，? ?B=?C=30? 又? AD=CD ? ?C=?DAC=30? ? CD=4cm.在?BAD中，?BAD=90? ? BD=8cm ? BC=BD+CD=12cm. 7.证?ABD??ACD，得AD是?BAC的平分线即可. 8.证?ABD??ABE可得. 9.证?ABC??DBC，得BA=BD，CA=CD ?BC是AD的垂直平分线. 由EA=ED 得?5=?6. 10.【证明】? AB=AC ? ?ABC=?ACB，?DBC=?DCB 得DB=DC 点A、D都在BC的垂直平分线上 ? AD垂直平分BC. 11.【证明】?ADF??AEG 得AF=AG ? ?AFG=?AGF ? ?BAC+2?AFG=180? ?BAC+2?ABC=180? ? ?AFG=?ABC 即得DE?BC. 12.【略证】过E点作BA的平行线EG交BC的延长线于G.先证?EGC是等腰三角形得 CE=EG 再证?BFD??GFE 得DF=EF. 18