势能驻值原理和最小势能原理
势能驻值原理和最小势能原理是能量法中的一个重要原理，应用极广，它可导自虚位移原理。
虚位移原理：当弹性体（线性或非线性的）处于平衡状态时，对任意虚位移，外力虚功与内力虚功的总和应等于零，即
（1）
始终为负值，应等于负的应变能
，即
，则
（2）
或
（3）
式（2）与式（3）意义不同：式（2）表示内力虚功与外力虚功的和为零，是虚位移原理；式（3）表示虚应变能（虚内力势能）
与虚外力势能
之和为零。
虚位移是位移的微小增量，实际是位移的一阶变分，
也是一阶变分。因此，式（3）为
（4）
式中，
为总势能，它是应变能和外力势能之和；
、
、
均可从某一参考状态算起。例如杆的屈曲问题。
式（4）导自虚位移原理，适用于弹性体。其意义是当弹性体系处于平衡状态时，总势能一阶变分为零，或体系总势能为一驻值，这就叫势能驻值原理。
是弹性体系处于平衡状态的充要条件。但平衡是否稳定，还要进一步考察
的高阶变分。
势能是以位移场为变量的
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数，
是一个泛函，由上节可知
体系平衡时
，则
（5）
对于稳定的平衡，给定任何虚位移，
总为正。因为只有干扰力作正功才可能偏离原来平衡位置。因此，在稳定平衡状态，体系的总势能为最小，这就是最小势能原理。因此，由式（5）可知
当
时，
，
为极小，属稳定平衡；
当
时，
，属中性平衡；
当
时，
，
为极大，属不稳定平衡。
综上所述，可以概括求临界荷载的两种方法：
①中性平衡时的荷载即临界荷载，因此在中性平衡状态列出平衡条件
（可不必求二阶变分），这是势能驻值原理；
②从稳定平衡过渡到不稳定平衡的荷载，即由
（
）求临界荷载，这是最小势能原理。
①、②概念上不同，①较简单常用，但从数学上讲
只是平衡条件，它不表示从稳定平衡过渡到不稳定平衡的临界条件，因此，理论上方法②更严密。
例：两端简支的轴心压杆
以刚要屈曲的直杆为参考状态：
外力功
应变能
总势能
由
，得
利用分步积分和几何边界条件：
，
因而
得到：
由此得
(平衡条件) （6）
（力学条件） （7）
可见几何边界条件要预先给定，力学边界条件自然得出。式（6）就是欧拉方程，可由
从上节式（11）得到。
令
，则
，
，
代入
，得
利用势能驻值原理建立微分方程，有时比直接根据平衡条件建立简单。该原理是适用于弹性体系的普遍原理，并不是一个近似方法，但可在近似方法中应用它解决问题。
浙公网安备 33021202002483