正交有理函数与有理Radau求积公式

正交有理函数与有理Radau求积 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 正交有理函数与有理Radau求积公式 2006年3月 第23卷第1期 广西师范学院(自然科学版)Mar.2006 journalofGuangxiTeachersEducationUniversity(NaturalScienceEdition)Voi.23No.1 文章编号:1002—8743{2006}01,0008—04 正交有理函数与有理Radau求积公式 胡海良 (浙江师范大学数理学院,浙江金华321004) 摘要:在具有固定极点的有理函数空间上构造了一类新的正交有理函数,并讨论了基于这类正交有理函数 的有理Gauss-Radau求积公式. 关键词:有理Gauss-Radau求积公式;有理Szeg6求积公式;正交有理函数;固定极点 中图分类号:O174.4l文献标识码:A 1预备知识 记D={z?C:IzI<1},T={z?C:IzI=1},J=[一1,1]. 我们用C 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示复数域,表示实变量,z表示复变量,表示z的共轭复数. 给定实数列{}.CI,其中a.=0,由此定义另外两个实数列{}.和}.: =oo , = 华,愚=12一 . 0=0,2—I=2=,七=1,2,… 在上定义Blaschke因子 z.()=1,(),愚=1,2,… 以此定义Blaschke乘积 b()=Z.(x)z.()…Zn(x) 和有理函数空间 .=span{b0(),bl(),…,b()}. 若用P表示次数不超过咒次的实系数多项式的集合,且记不I】()旦(1一),则显然有= {:)? 类似地.在T上定义Blaschke乘积和有理函数空间 B(z)=(z).(z)…(),=span{Bo(z),B-(z),…,B(z)}, 其中(z)=1,(z)=,矗=1,2,…,显然,如果记叫(z)=直(1一z),那么={老: P(z)?P}. 特别地,由数列{}.所得的Blaschke乘积和有理函数空间分别记作豆(z)和,相应地,如果 我们记面(z)=直(1一z),那么后:(z)=B(),百:+t(z)=B+t(z)B(),={考':(z) ?P}. 收稿日期:2005—11—09 作者简介:胡海良(1979一),男,硕士生,主要研究方向:函数逼近论 第1期胡海良:正交有理函数与有理Radau求积公式?9? 另外,对任意函数,(z),我们定义下星共轭,(z)=f(1/E),对函数fE定义上星共轭,(z) B(z),(z),进而定义函数空间=span{Bo"(z),B.-(z),…,B(z)}以及巩. =+. 2正交有理函数 现在我们引进T和J上的正交有理函数. 设是相对固定的自然数,(z)是定义在,上的权函数,定义,上新的权函数(z)=鲁;(1 +z)盯(z)及[0,2rr]上的权函数()=~(cos0)Isin0I,相应地有内积 (,,g)J一,(z)g(x)/z(x)dx,(,,g)J.)g(ei~)()d- 利用内积(,,g)对的基{豆(z)}.正交化得到T上的正交有理函数族{(z)}.. 记z=丢(g+g1),z=e,0E[O,2].给定rET,我们称Q(z,r)=j5(z)十:(z)为拟正交 有理函数.关于其零点有 引理1[设rET,拟正交有理函数Q(z,r)的零点都在T上且都是单重零点. 下面我们记 (,(1)rz=——————————?_广———————一,1 则如下定理成立. 定理1如果存在自然数,使数列{}.c,满足条件a+=a,那么有,一(z)E一一-,且 _l_一.,其中的正交是指在内积(,,g)意义下的正交. 证明先证r(z)?,这只需要证明存在(z)EPn,使(z)=尝. 由于~2n+I(2)?-,不妨设?z+t(2)=,则 ,, B(2)+l(2)+B(2)j5(2川)-(zJ— Ynz—————百丁——一 坌!!-兰二兰三二:!兰:2:!兰2. 盟(卜)(z—a)(2一a+1一az)2HI曩(1一) 这里最后一步P()的存在性可由引理1得到,因此(z)?,而(z)告一t显然. 再证(z)上一,即对任意尼=0,1,2,…,一1有l( z)(z)出=o. 因为b(z)可表示成{B(z),B(t(z),…,B-(z),1,B(z),…,B.(z),B(z)}的线性组 合H,同时(z)=,_壁盯(z)=甚二}_-盯(z)= ((z)+1)(z)+1)), 所以只需要证明 fr(c.z)B(e/0)((e徊)+1)((e)+1)(0)d0:0,是=一(一1),…,一1令 Z-2n+I(2):B(2)(2),则上T2n+lE…+l,上r(2r』十l广E十ll引,且 B(e)((e)+1)E.,B(e)((e)+1)E.,k=一(一1),…,一1, 从而 ? l0? r(msz)(e)(J0 r2I[+l(e)+(e: J0 Ir2+1(e)(e)( 广西师范学院(自然科学版) (e)+1)((e静)+1)(o)do= (e)]B(e毋)((e甜)+1)(o)do 第23卷 r (e静)+1)(o)do+Ir(2十I)*(e)B(e)((e)+1)(o)do=0.J0 3有理Gauss—Radau求积公式 下面我们始终假设存在自然数,使数列{}oCI满足条件口+-:口. 由引理1可知,拟正交有理函数石:+(z)圭:+(z)+?+(z)的2+1个零点都在圆周T上, 且除一1外共轭成对出现.又(一1)=一1,因此正交有理函数(X)的个零点都在区间(一1,1) 内,并且都是单重零点.现在以Yn(z)的零点及一1作为节点组,构造一个有理Gauss-Radau求积公式. 若令s:={舅::(z)?P:},={面甓:Z2np2n(z)?P},则有 定理2设{}是正交有理函数(X)的零点,X.=一1,则求积公式 fhF(x)a(x)dx?奎~kF(x)(2)I??)(2)J0k—=—O 对F(z)Es:精确成立,其中=』.(z)(z),(z)=云{鼍,0,1,…,. 证明设F(z)=舅?S2n~,Lk(s)=笔?,其中:(z)?P:,(z)?. 由Lk(X)=0,志?i,L()=1,k,i=0,1,2,…,可得 P2()(X)?F(xk)q() 其中r()?,"一l(X)?P一1. 然后利用定理1得到 JIE()(z)dz= 不(X)一 z)巍, ?一o. 即有I,F(x)a(x)dx=?F(x)I.L(x)a(x)dx. 有理Radau求积公式与有理Szeg~求积公式之间也存在经典Radau求积公式与 Szeg6求积公式之 间类似的关系口】. 定理3设正交有理函数r(z)和拟正交有理函数百+.(z)的零点分别为{},{.,通过 适当排列使zo=一1,=+,Xk=丛,k=1,2,…,,则积分公式 ,(e)dO,~2Af(_1)+骞,If()+,(驯(3) 对fE成立等价于积分公式 = ,z , L , Z ,F ?? 一 ,Z ,F .fl ,Z ,E 4 F 2? 十 一 2 ? Z d z Z F ????? 立 成 h S ? F 对 第l期胡海良:I-1:交有理函数与有理Radau求积公式 证明记e甜,eE[o,2),z=J()=(z+z-1). 先证若公式(3)对,?成立,则公式(4)X,-JFES:成立. 若公式(3)对,?成立,因为对任意FES2有F.J?,所以 2(_1)十砉2()={2A(F(十[(F()十(F(钏}= F.e坩)叫(e)de 厶J0 再证若公式(4)对FES2,成立,则公式(3)对fE ,惫=01,,2成立- = 厂_lF(小(z 成立.为此,我们只需要证明公式(3)对f() 又面:()面:()=Cdr(z),C=fl:/~(2a),所以^一I 2A 面;(一1) ]1J=一 Cdr . = ille甜面2(e)面2.(e) 这里最后一个等号成立是因为cU()和面:(e曲):.(e)都是周期为2的偶函数. (0)d0, 注若存在自然数,使数列{}.(二二J『满足条件+.=口,取,上的权函数(z)=Jp~,-1,1 一z)(z),则有与上述几个定理类似的结果,在此不再重复. 参考文献 [1]BultheelA,VeraPGonz61ez,HendriksenE,Nj~tand0.Orthogonalrationalfunctions-vo1.5ofCambridgeMonographs onAppliedandComputationalMathematics[M].CambridgeUniversityPress.1999. [2]DeunJVan.Orthogonalrationalfunctions:asymptoticbehavioursandcomputationalaspects[D].KULeuven,Bdgie, 2004. [3]BulthedA,DaruisL,VeraPGonz61ez.Aconnectionbetweenquadratureformulasonthecircleandtheinterval[一l,1] [J].JComputApplMath,2001,132(1):1-14. [4]guchtPVall,BultheelA.Arelationbetweenorthogonalrationalfunctionsontheunitcircleandtheinterval[一l,1][J]. CommAnalThContinuedFractions,2000.8:170.182. [5]BuhheelA,VeraPGonzdlez,HendriksenE,Nj缸 tadO.Aszeg6theoryforrationalfunctions[R].TechnicalReport TWl3l,DepartmentofComputerScience.KULeuven,1990. [6]BultheelA.VeraPGonz61ez,HendriksenE.Ni~stad0.OrthogonalrationalfunctionsandinterpolatoryproductrulesOn theUnitcircle'I'Recurrenceandinterpolation[J].Analysis,1998,18:167—183. OrthogonalRationalFunctionsandRationalRadauQuadratureFormulas HUHai—liang (CollegeofMathematicsandPhysics,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China) Abstmet:Inthispaper,weconstructflnewtypeof0ltl】 0rationalfunctions.Moreover,therational Gau~Radauquadratureformulasbasedontheze】? 8oforthogonalrationalfun~onsareconsidered. Keywords:rationalRadauquadrature;rationalSzeg6quadrature;orthogonalrationalfuncti ons;pre— scribedpoles. [责任编辑:班秀和] 立 一c写lj ? 十