[分部积分公式]定积分的分部积分公式

[分部积分公式]定积分的分部积分公式 [分部积分公式]定积分的分部积分公式 篇一 : 定积分的分部积分公式 第四节 定积分的分部积分公式 一、定积分的分部积分公式 bbudv?uv??vdu ?aaab 例7(4(1 用分部积分公式求下列定积分: ? ?2 0xcosxdx;?edx;?021x12?lnxdx. ;34解 ? ??20x2cosxdx ??2x2dsinx 0 ? 2??xsinx2?2?2xsinxdx 00 ??2 4??2?2xdcosx 0 ??2?? ?2xcosx2?2?2cosxdx 040 ??2 4??2sinx2 ?2; ??2 4 1?10exdx ??dex 0 ?ex11x??ed 00 ?6e?1?5?exdx 01 1?6e?1?5e 0x ?e?4; ?1 ??? 1 1 21?2? 1?x2? ??? arcsin?x1?212?? 121?2arcsinx ?? 6??? x612 ?1 2 ?1; ?243ln2xdx 44?xlnx??xdxln2x 33 4?1??4ln24?3ln23?2??xlnx??dx 3x?? ?4ln24?3ln23?2?lnxdx 34 4?4ln24?3ln23?2?xlnx?x? 3 ?4ln24?3ln23?8ln4?6ln3?2. ? 例7(4(2 试求定积分 解 ??20sinnxdx. 令?2 0sinnxdx?In ?? 则I0??2sin0xdx??2dx???? sinxdx??cosx2?1 ，I1??2 0020? 而In??2 0sinnxdx ? ??2 0sinn?1xsinxdx ? ???2 0sinn?1xdcosx ?? ??sinn?1xcosx2??2cosxdsinn?1 00x ?? ?0?n?1??2 0sinn?2xcos2xdx ? ??n?1??2 0sinn?2x?sin2x?1?dx ?? ??n?1??2sinn 0xdx??n?1??20sinn?2xdx ??n?1?In??n?1?In?2 即In??n?1?In??n?1?In?2 整理，得递推公式In?n?1 nIn?2 那么I? 0?2， I1?1 I11?222?2I0?2?2， I3?3I1?3?1 I331?4424?4I2?4?2?2， I5?5I3?5?3?1 ?? ?? 总之I?1 n?n n?n?3 n?2??31? 4?2?2， In?1n?34 nn?2??5?2 n??3?1 . 0 ? 例7(4(3 求定积分 解 套上面公式，得 ??20sin5xdx. ?2 0sin5xdx?I5?428??1?. 5315 二、分段函数的定积分 当定积分的被积函数为分段函数时，需利用积分的区间分割性 质 ?b abfdx??c afdx??cfdx 从分段函数的分段点处分为若干个定积分进行计算. 例7(4(4 设函数f?x??? 解 由积分的区间分割性质得?x?1,x???1,0?1?， 求f?x?dx. 2??1x?1,x?0,1?????f?x?dx??f?x?dx??f?x?dx ?1?10 1101显然f?x?在x???1,0?与x??0,1?均连续，通过N-L公式均 可计算出其积分 即?1 ?1 0f?x?dx??f?x?dx??f?x?dx ?1100??x?1?dx???x2?1?dx ??10 ?1?0?1?1??x2?x???x3?x? ?2??1?3?0 ?11. 6 但当被积函数在积分区间上不连续呢,比如出现第一类间断 点，这时如何积分, ?x2?12,x?1?例7(4(5 求?g?x?dx， 其中g?x???x?1. 0?1,x?1? 解 可见g?x?在?0,1?连续，不满足N-L公式要求在?0,1?上连续 的条件， 这时可在?0,1?内取一点?，g?x?在?0,??上连续 则?g?x?dx??0??0??x2???2x2?1dx???x?1?dx???x???? 0x?1?2?02 由lim??10 1????2?3g?x?dx?lim????? ??1?2?2235，同理可得 ?g?x?dx? 122得?0g?x?dx? 2 0那么 ? g?x?dx?4 图7(4(1. 可见，一个第一类间断点不影响定积分的存在性. ????sinx,x???,?????2???例7(4(6 设函数f?x???，求?f?x?dx. ???x,x????,??????2?? 解 由积分的区间分割性质，有 ????f?x?dx?? ???2??f?x?dx????2?f?x?dx ? 2????sinxdx???xdx ?2? 1??cosx2?x2? 2???2 3??2?1. 8 若被积函数带有绝对值符号，要先把绝对值符号去掉即化为分段函数再求积分. ??? 例7(4(7 求下列定积分: 解 ?2?x?? 5?502?; ?x2. ?21?2?x,x????,2?? x?2,x?2,??????25 02??2???dx??dx 0 2151?? 0222 ?2??9 213; 2 2??x3,x????,0?? ?xx??3 x,x?0,?????? ??x2???x3dx??x3dx ?2?20101 01411??x4?x 4?240 ?4??1 417. 4 思考题7.4 ?? 5?55 0?01(例7(4(3?205sinxdx与例7(3(7?2cosxdx的结果一样，即?2sinxdx??2cosxdx 0 ? 这是巧合吗,换句话说?2 0cosnxdx也可套用上面公式吗, 2(一个第一类间断点不影响定积分的存在性，两个呢,三个呢,无数多个呢, 练习题 用券下载整式乘法计算练习题幼小衔接专项练习题下载拼音练习题下载凑十法练习题下载幼升小练习题下载免费 7.4 1(求下列定积分: x2xecosxdx( ?lnxdx;?xarctanxdx;?3;?20014sinx31?? ?1?1?x2,x????,0? 2?2(求?f?x?dx，其中f?x??? . 1,x??0,1??1?1?x,x??1,????e 练习题7.4答案 x2xecosxdx(1(求下列定积 分:?lnxdx;?xarctanxdx;?3; ?20014sinx31?? 解 ?3 1lnxdx 33?xlnx??xdlnx 11 1?3ln3??xdx 1x3 3?3ln3?x 1 ?3ln3?2; ?1 0xarctanxdx ?112arctanxdx 2?0 111x212?xarctanx??dx 200221?x 11x2?1?1???dx 20821?x? ??11? 082 ??4?1 2; ? x ?3 sin2x 4 ? ???3xdcotx 4 ????xcotx?3?cotxdx 4? ?34 ? ??? 4?lnsinx3 ? 4 ??1 4?9?2ln6?ln2; ? ?2 0excosxdx ? ??20cosxdex ???excosx2??2exsinxdx 00 ?? ??1?exsinx2? 0?20excosxdx ????1?e2??2 0excosxdx ??移项，得2?2x 0ecosxdx??1?e2 ? 则?20excosxdx?1?2( ??11?x2,x????,0? 2(求?2? ?1f?x?dx，其中f?x???1,x??0,1???1 ?ex,x??1,??? . 解 ?f?x?dx ?12 ??f?x?dx??f?x?dx??f?x?dx ?1 001201??1211?1dx??0?1ex ?11?x2 ?arctanx ?02?1?e?x ?11? 4?1?11?. e2e 篇二 : 定积分的分部积分公式 第四节 定积分的分部积分公式 一、定积分的分部积分公式 bbudv?uv??vdu ?aaab 例7(4(1 用分部积分公式求下列定积分: ? ?2 0xcosxdx;?edx;?021x12?lnxdx. ;34解 ? ??20x2cosxdx ??2x2dsinx 0 ? 2??xsinx2?2?2xsinxdx 00 ??2 4??2?2xdcosx 0 ??2?? ?2xcosx2?2?2cosxdx 040 ??2 4??2sinx2 ?2; ??2 4 1?10exdx ??dex 0 ?ex11x??ed 00 ?6e?1?5?exdx 01 1?6e?1?5e 0x ?e?4; ?1 ??? 1 1 21?2? 1?x2? ??? arcsin?x1?212?? 121?2arcsinx ?? 6??? x612 ?1 2 ?1; ?243ln2xdx 44?xlnx??xdxln2x 33 4?1??4ln24?3ln23?2??xlnx??dx 3x?? ?4ln24?3ln23?2?lnxdx 34 4?4ln24?3ln23?2?xlnx?x? 3 ?4ln24?3ln23?8ln4?6ln3?2. ? 例7(4(2 试求定积分 解 ??20sinnxdx. 令?2 0sinnxdx?In ?? 则I0??2sin0xdx??2dx???? sinxdx??cosx2?1 ，I1??2 0020? 而In??2 0sinnxdx ? ??2 0sinn?1xsinxdx ? ???2 0sinn?1xdcosx ?? ??sinn?1xcosx2??2cosxdsinn?1 00x ?? ?0?n?1??2 0sinn?2xcos2xdx ? ??n?1??2 0sinn?2x?sin2x?1?dx ?? ??n?1??2sinn 0xdx??n?1??20sinn?2xdx ??n?1?In??n?1?In?2 即In??n?1?In??n?1?In?2 整理，得递推公式In?n?1 nIn?2 那么I? 0?2， I1?1 I11?222?2I0?2?2， I3?3I1?3?1 I331?4424?4I2?4?2?2， I5?5I3?5?3?1 ?? ?? 总之I?1 n?n n?n?3 n?2??31? 4?2?2， In?1n?34 nn?2??5?2 n??3?1 . 0 ? 例7(4(3 求定积分 解 套上面公式，得 ??20sin5xdx. ?2 0sin5xdx?I5?428??1?. 5315 二、分段函数的定积分 当定积分的被积函数为分段函数时，需利用积分的区间分割性质 ?b abfdx??c afdx??cfdx 从分段函数的分段点处分为若干个定积分进行计算. 例7(4(4 设函数f?x??? 解 由积分的区间分割性质得?x?1,x???1,0?1?， 求f?x?dx. 2??1x?1,x?0,1?????f?x?dx??f?x?dx??f?x?dx ?1?10 1101显然f?x?在x???1,0?与x??0,1?均连续，通过N-L公式均可计算出其积分 即?1 ?1 0f?x?dx??f?x?dx??f?x?dx ?1100??x?1?dx???x2?1?dx ??10 ?1?0?1?1??x2?x???x3?x? ?2??1?3?0 ?11. 6 但当被积函数在积分区间上不连续呢,比如出现第一类间断 点，这时如何积分, ?x2?12,x?1?例7(4(5 求?g?x?dx， 其中g?x???x?1. 0?1,x?1? 解 可见g?x?在?0,1?连续，不满足N-L公式要求在?0,1?上连续的条件， 这时可在?0,1?内取一点?，g?x?在?0,??上连续 则?g?x?dx??0??0??x2???2x2?1dx???x?1?dx???x???? 0x?1?2?02 由lim??10 1????2?3g?x?dx?lim????? ??1?2?2235，同理可得 ?g?x?dx? 122得?0g?x?dx? 2 0那么 ? g?x?dx?4 图7(4(1. 可见，一个第一类间断点不影响定积分的存在性. ????sinx,x???,?????2???例7(4(6 设函数f?x???，求?f?x?dx. ???x,x????,??????2?? 解 由积分的区间分割性质，有 ????f?x?dx?? ???2??f?x?dx????2?f?x?dx ? 2????sinxdx???xdx ?2? 1??cosx2?x2? 2???2 3??2?1. 8 若被积函数带有绝对值符号，要先把绝对值符号去掉即化为分段函数再求积分. ??? 例7(4(7 求下列定积分: 解 ?2?x?? 5?502?; ?x2. ?21?2?x,x????,2?? x?2,x?2,??????25 02??2???dx??dx 0 2151?? 0222 ?2??9 213; 2 2??x3,x????,0?? ?xx??3 x,x?0,?????? ??x2???x3dx??x3dx ?2?20101 01411??x4?x 4?240 ?4??1 417. 4 思考题7.4 ?? 5?55 0?01(例7(4(3?205sinxdx与例7(3(7?2cosxdx的结果一样，即?2sinxdx??2cosxdx 0 ? 这是巧合吗,换句话说?2 0cosnxdx也可套用上面公式吗, 2(一个第一类间断点不影响定积分的存在性，两个呢,三个呢,无数多个呢, 练习题7.4 1(求下列定积分: x2xecosxdx( ?lnxdx;?xarctanxdx;?3;?20014sinx31?? ?1?1?x2,x????,0? 2?2(求?f?x?dx，其中f?x??? . 1,x??0,1??1?1?x,x??1,????e 练习题7.4答案 x2xecosxdx(1(求下列定积 分:?lnxdx;?xarctanxdx;?3; ?20014sinx31?? 解 ?3 1lnxdx 33?xlnx??xdlnx 11 1?3ln3??xdx 1x3 3?3ln3?x 1 ?3ln3?2; ?1 0xarctanxdx ?112arctanxdx 2?0 111x212?xarctanx??dx 200221?x 11x2?1?1???dx 20821?x? ??11? 082 ??4?1 2; ? x ?3 sin2x 4 ? ???3xdcotx 4 ????xcotx?3?cotxdx 4? ?34 ? ??? 4?lnsinx3 ? 4 ??1 4?9?2ln6?ln2; ? ?2 0excosxdx ? ??20cosxdex ???excosx2??2exsinxdx 00 ?? ??1?exsinx2? 0?20excosxdx ????1?e2??2 0excosxdx ??移项，得2?2x 0ecosxdx??1?e2 ? 则?20excosxdx?1?2( ??11?x2,x????,0? 2(求?2? ?1f?x?dx，其中f?x???1,x??0,1???1 ?ex,x??1,??? . 解 ?f?x?dx ?12 ??f?x?dx??f?x?dx??f?x?dx ?1 001201??1211?1dx??0?1ex ?11?x2 ?arctanx ?02?1?e?x ?11? 4?1?11?. e2e