函数周期性教案

函数周期性 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 一，函数周期性 1，函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。 当自变量增大任意实数时（自变量有意义），函数值有规律的重复出现 假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期 ,2. 最小正周期的概念： 对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。 对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。） 在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。 3.周期函数性质： （1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。 （2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。 （3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。 （4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。 （5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 （Q是有理数集） （6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且 是无理数，则f(X)不存在最小正周期。 （7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。 4.重要推论 1，若有f(x)的2个对称轴x=a,x=b.则T=2|a-b| 2，若有f(X）的2个对称中心（a,0）(b,0)则T=2|a-b| 3,若有f(x)的1个对称轴x=a,和1个对称中心(b,0)，则T=4|a-b| 二，周期函数的性质及 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 型。 利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法.此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题.以下给出几个命题： 命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）函数y=f(x)满足f(x+a)=，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （3）函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.     命题2：若a、b()是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.     (1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期. (2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期. 命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期.   我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似. 设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数. 条件B: f(x)关于x=a对称 条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期. 结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明: ①已知A、B→ C （2001年全国高考第22题第二问） ∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x) 又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a) ∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期 ②已知A、C→B ∵定义在R上的函数f(x)是一个偶函数∴f(-x)=f(x) 又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a) ∴f(-x)=f(x+2a) ∴ f(x)关于x=a对称 ③已知C、B→A ∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a) 又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a) ∴f(-x)=f(x) ∴f(x)是R上的偶函数 由命题3(2)，我们还可以得到结论:f(x)是周期为T的奇函数，则f()=0 基于上述命题阐述，可以发现，抽象函数具有某些关系.根据上述命题，我们易得函数周期，从而解决问题，以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用. 1.求函数值 例1：f(x) 是R上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007) 的值 解：方法一 ∵f(x)=－f(x+4) ∴f(x+8) =－f(x+4) =f(x) ∴8是f(x)的一个周期 ∴f(2007)= f(251×8-1)=f(-1)=－f(1)=－1 方法二∵f(x)=－f(x+4)，f(x)是奇函数 ∴f(-x)=f(x+4) ∴f(x)关于x=2对称 又∵f(x)是奇函数 ∴8是f(x)的一个周期，以下与方法一相同. 例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 解：由条件知f(x)1，故 类比命题1可知，函数f(x)的周期为8，故f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=2 2. 求函数解析式 例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)=－2x+1，则当时求f(x)的解析式 解：当时∴f(－x)=2x+1 ∵f(x)是偶函数∴f(－x)=f(x) ∴f(x)=2x+1 当时∴f(－4+x)=2(－4+x)+1=2x－7 又函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为4 故f(-4+x)=f(x) ∴当时求f(x)=2x－7 3.判断函数的奇偶性 例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=，f(999+x)=f(999－x)， 试判断函数f(x)的奇偶性. 解：由f(x+999)=，类比命题1可知，函数f(x)的周期为1998即f(x+1998)=f(x)；由f(999+x)=f(999－x)知f(x)关于x=999对称，即f(－x)=f(1998+x) 故f(x)=f(－x) f(x)是偶函数 4.判断函数的单调性 例5：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)是减函数，求证当时f(x)为增函数 解：设则 ∵ f(x)在[-2，0]上是减函数∴ 又函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为4 故f(x+4)=f(x)  ∴  ∵ f(-x)=f(x)  ∴ 故当时f(x)为增函数 例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a的值. 解：∵ f(x)=-f(6-x) ∴f(x)关于（3，0）对称 ∵ f(x)= f(2-x) ∴ f(x)关于x=1对称 ∴根据命题2（4）得8是f(x)的一个周期 ∴f(2000)= f(0) 又∵f(a) =-f(2000) ∴f(a)=-f(0) 又∵f(x) =-f(6-x) ∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6)∵a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调∴a =6 5.确定方程根的个数 例7：已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0， 求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？     解：依题意f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题2（2）可知f(x)的一个周期是10         故f(x+10)=f(x) ∴f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0         即在区间(0，10]上，方程f(x)=0至少两个根         又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根，         因此方程f(x)=0在区间[－1000，1000]上至少有1+2=401个根. 练习 1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（  ）    (A)是偶函数，也是周期函数        (B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数        (D)是奇函数，但不是周期函数     2..求证:若为奇函数，则方程=0若有根一定为奇数个。     3.设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。 （A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。 4..设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时， f (x) = －x，则f (8.6 ) = _________  （第八届希望杯高二 第一试题） 5. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时， f (x) = x，则f (7.5 ) = （  ）   (A)  0.5        (B)    －0.5        (C) 1.5            (D) －1.5