子午线轮胎有限元分析技术及其应用_图文(精)

日相桥.薮重于午线轮舱有限元 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 技术殛其应用 121载重子午线轮胎有限元分析技术及其应用 闫相桥 (哈尔疾工业大学复合材科研究所。最龙江培尔癌150001 擒叠;建立一十轮胎结构有限元分析模型.考虐了轮腑变形的几何非线性、轮胎与地面和轮脂与轮辆的大变形非 线性接麓,轮胎材料的非均匀性、橡腔材料的不可压缩性和钉理非线性及糠艘基复台材辩的各向异性。此外,还探讨 了这种轮胎有限元分析模型在轮胎结构优选中的应用。 美t词;有限元模型}接触约束I结构优选I应变能密度{chd毗en∞n应力 随着计算机技术的发展,有限元分析技术在 复杂 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 结构中的应用愈来愈显示出巨大的作 用。轮胎结构的分析方法也从简化过甚的轮胎模 型分析,如梁模型、网络模型、薄膜模型及层合模 型等o~,向数值模拟发展o“]。 轮胎结构有限元分析是一项挑战性工作o], 主要困难包括:①轮胎大变形引起的几何非线性‘ ②轮胎是非均质结构,橡胶材料具有不可压缩性 和明显的物理非线性,橡胶基复台材料呈现明显 的各向异性,⑦轮胎与地面和轮胎与轮辋的大变 形非线性接触。轮胎结构有限元分析模型只有充 分考虑这些因素才能有效可靠。例如,如果不合 理地考虑橡胶材料的不可压缩性,则可能引起数 值计算困难或得到不现实的结果[31l如果采用不 完善的模拟轮胎与地面和轮胎与轮辋大变形非线 性接触的模型o。],则地面和轮辋对轮胎的单边 位移约束条件不能得到精确地满足“],而这对轮 胎的结构分析至关重要H】。 本研究建立了一个轮胎结构有限元静态分析 模型。在该模型中,考虑了轮胎变形的几何非线 性、轮胎与地面和轮胎与轮辋的大变形非线性接 触、轮胎材料的非均匀性、橡胶材料的不可压缩性 和物理非线性及橡胶基复合材料的各向异性。本 研究还探讨了轮胎有限元分析技术在轮胎结构优 选中的应用。 1轮胎静皱边值问置 1.1平衡方程 令暑为第l类Piola-Kirchhoff应力张量,吼 为定义在初始构形上的体力,则平衡方程为 Di坦+吼=0(1 1.2轮胎太变形的几何描述 为了描述轮胎的大变形,定义下列变换: z—o(X (2 式中,X为初始构形中质点坐标,z为现时构形中 质点坐标。于是Green-Lagrangian应变张量(E 和第2类Piola-Kirchhoff应力张量(s可分别表 示为 岛4专(羟鬻一颤 (3 S。一舅净jl “ 在这里,Green-Lagrangian应变张量又可以用位 移表示为 岛一号c羞+甏+爰整,㈣ 1.3材料模型 (1檬胶材科模型, 在这里,假定橡胶材料的力学非线性性能可 以用Mooney-Rivlin应变能密度函数描述: Ⅳ(J-,L=c1。(f-一3+co。(L一3(6 式中,J,和厶分别为应变第1和第2不变量。cl。 和G。为由实验确定的材料常数。对于橡胶材料 的不可压缩性用Lagrangian乘子法解决r“”。 (2帘线一橡胶复合材料模型 子午线轮胎中的带束层及胎体是主要的承载 部件,它们均是帘线一橡胶复合材料,其性能呈现 明显的各向异性。在用有限元分析技术对轮胎迸 第14届中置轮胎技术研讨会 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 集 行分析时,基于帘线一橡胶复合材料划分的单元通 常分为两类,一类是单元由单一帘线一橡胶复合材 料构成,另一类是单元由两层或两层以上的帘线一 橡胶复合材料构成。在这里,对于由单一帘线一橡 胶复合材料构成的单元,其材科性能用正交各向 异性材料模型模拟,相应的材料常数用Halpin-Tsai方程[1““由组分材料性能确定f而对于由两 层或两层以上的帘线一橡胶复合材料构成的单元, 其材料性能用Sun C T等口”提出的层合材料模 型来模拟。这里需指出的是,用由两层或两层以 上的帘线一橡胶复合材料构成的单元对斜交轮胎 进行有限元分析是非常必要的,这是因为斜交轮 胎的胎体通常由多层帘线一橡胶复合材料构成,若 用由单一帘线一橡胶复合材料构成的单元划分网 格,则由于单元和节点数目庞大而使计算难以进 行,而用由两层或两层以上的帘线一橡胶复合材料 构成的单元划分网格,则由于单元和节点数目相 对少得多,从而使计算量大大减小。 1.4位蒋边界条件 本研究采用文献E4]提出的可变约束法来处 理轮胎与地面、轮胎与轮辋之问的作用。鉴于轮 胎与地面、轮胎与轮辋之间的作用对轮胎结构分 析的重要性及可变约束法的新颖性和有效性,对 这种方法介绍如下。 轮胎受到来自轮辋和地面(均可视为刚体的 双重限位作用,称刚性物体的表面为约束表面。 此种约束的特点为:①单边位移约束,即约束表面 是不可渗透的;②约束表面只提供挤压和剪切约 束力,不能提供拉力。 若记约束表面的方程为 02=9(xl,缸 (7 则第1个约束条件可表示为 z2≥p(z1,..775 z曼rc (8 式中,rc为可能接触面。事实上,式(8给出了检 查接触约束合理性的位移条件,即不满足式(8的 位移场是不合理的。例如,在轮胎与地面接触的 情况下(见图1,接触表面方程(7为 ≈一一(R—U (9 此时,第1个约束条件为 z2≥一(R—U (10 U 田l变形和未变群结构示意 若令n(z为轮胎在可能接触面上j处的单 在每一步迭代结束后对所有的约柬节点及可能的 位外向法矢,用口表示该点处的应力向量,则有 约束节点(尚未被约束进行一次校核。 口=∑n (11 (1约束节点的力校核 其法向和切向分量分别为 如图2所示,6为约束表面的外向法矢,而r “=一?矗 (12 m=1d一(o-6b (13 式中,b为接触面的单位法向矢量(指向接触刚体 的外侧为正。这样,第2个约束条件为 z2>p(z1,士3—÷d。=0卫￡n (14a 惫=9(x1,卫s—-’可。≥0z￡只 (t4b 由于在求解过程中接触区域是变化的,必须 是约束节点的约束反力。若rn;,?6>O,即表明 接触面上存在压力,该点的约束是合理的,在下一 步迭代计算中仍将该点约束住;否则约束是不合 理的,在下一步计算中将该点解除约束,作为自由 节点再进行计算。 (2自由节点的位移校核 按照上面关于单边位移约束的定义,不应该 一 L 上 闫相桥.载重子午线轮胎有限元分析技术及其应用 田2约束节点反力示意 有节点渗透到接触刚体内。但在计算过程中。某 些临近约束表面的自由节点有可能渗入到剐性约 束面内,此时就有必要对约束条件修正。如图3所示,某一自由节点的位置在计算中越过了刚性 约束面而发生了渗透, 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 该节点应被约束住,在 下一步迭代计算中将它作为约束节点进行计算。 圈3约束增量示意 由此可见,在求解过程中约束条件是随时变 更的,约束记录也随时增删,称这种允许改变的约 束为可变约束[“。既然约束是可变的,那么如何 变、变多少又是如何确定的呢?为此文献提出了 约束增量的概念,其基本原则如下。 (1任何一个驻定不动的约束节点的约束增 量为零。 (2当一个自由节点渗人到约束面内时,从该 点指向约束面最近的点(垂足矢量即为约束增量 (Au。I 血。=不一, (15 式中,z,为指向垂足的矢径,J为该节点原来位置 的矢径。 (3一个约束节点是否滑移取决于约束反力 的切向分量与法向分量之比。现将约束节点的约 束反力分解为法向分量和切向分量(见图2; r=^+r。 (16 则约束节点滑移量的大小可确定如下t △‰=0rt l≤I^I卢 (17 △‰=一rt∥ f rt f>f九}_‘‘(18 式中,P为摩擦因数,产7是一个正数,其大小对计 算结果没有影响啪。为了保证约束节点滑移之后 仍位于约束面内,如图4所示,需由j+△珥点向 约束面作垂足交瞳面于c点,则c点成为该约束 点的新驻定位置。 ∥, ,研万形∥每 ~矿’ ∥ ∥?i 田5约束节点孰盛示意 2虚功方程 令c为右Cauchy-Green形变张量,^为La— grangaian乘予,A和舶分别为轮胎内表面压力 第14届中国轮胎技术研讨会论文集 和体力,则虚功方程为 r r s;8E吖+l(detC一1dAdV— J%Jvo r r I P08udA 4-I qo跏dy (20 J^o J% 式中,第l项是结构的变形虚功,第2项是用La-grangaian乘子处理材料的不可压缩性能[”】,方 程右边第1项和第2项分别为表面压力和体力的 虚功。 3轮胎有限元分析模型的有效性 本工作利用上述模型开发出轮胎结构有限元 分析软件。在该软件中,采用了两种三维等参单 元,即八节点六面体单元和六节点五面体单元。 对9.00R20子午线轮胎进行分析。图6示 出轮胎的截面几何形状和材料分布情况。为了验 证本模型,决定改变有限元网格的大小。一般情 况下,用粗细不一的有限元网格分析同一问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ,若 结果一致,刚说明分析模型有效可靠。图7~9示 出大小不一的有限元网格,在一个截面内分别有 167,182和313个节点。图10示出整体有限元 网格。考虑到轮胎结构及受力的对称性,仅分析 其1/4。另外,在对轮胎进行充气加载分析时,由 于本模型是三维的,也分析其1/4,尽管此时问题 本身是轴对称的。表1示出用不同有限元网格计 算的最大截面宽度、接地总反力及接地面积随下 沉量的变化。由表l可以看出,不论是充气加载 还是下沉量加载,用不同的有限元网格计算的最 大截面宽度是非常一致的。另外还可看出在下沉 量加载的情况下,用不同的有限元网格计算的接 地总反力及接地面积也是非常一致的。因此可以 说,本有限元分析软件是非常有效可靠的。 4轮胎结构优选 毫无疑问,有限元分析对轮胎结构优化和质 量评估非常重要。然而,这里的难点是如何将二 者有机地结合起来。 带束层结构对于子午线轮胎是非常重要的。 日本大津轮胎公司提出的轮胎优化理论就涉及到 带束层结构。有关带束层结构的专利时常出现。 关于带束层结构,应该从几何和材料两方面来考 虑。从几何上讲,包括带束层宽度、厚度及铺设角 度{从材料上讲,主要是带束层帘线,包括钢丝帘 线和芳纶帘线等。 载重子午线轮胎带束层端点附近常发生脱层 田6轮胎截面几何形状置材料分布 (167节点l 田B在一个麓面内的有甩元罔格1152节点】 飞 赘 。 ∥ 黔 一 飞 泓 鼹 纛、 盔 圈 ? 矽 闰相桥.载重子午线轮胎有限元分析技术及其应用 围9在一个截面内的有甩元网格C313节点 围10整体有甩元网格 表1用不周有膜元固捂计算的最大截面宽度、接地 息反力厦接地面积随下沉量的变化 项s篡可二笋鲁 破坏,这对轮胎的耐久性影响很大。本研究探讨 了载重子午线轮胎带束层宽度的优选问题。在这 里处理问题的方法值得探讨。一方面,根据圣维 南原理,当研究带柬层宽度优选时,可以仅关注带 束层宽度对带束层端点附近应力分析参数的影 响。另一方面,经验表明,轮胎结构中存在所谓的 双端点问题,即胎体反包端点与带束层端点相互 制约的问题,一个端点问题解决了,另一个端点又 出现问题。同时,Pottinger口1研究了轮胎一轮辋约 束对轮胎一地面接触力的影响。因此,在研究带束 层宽度优选时,不仅关注带束层端点附近的应力 分析参数,而且对轮胎关键区域的应力分析参数 都进行研究。这些区域是胎体反包端点附近、带 束层端点附近、胎肩区域及胎圈附近的胎体,将这 些区域应力分析参数综合分析作出判断。 在这里,不可回避的问题是应力分析参数的 选取。一般情况下,有限元分析提供的场量为应 力场、应变场及位移场。对于由橡胶及橡胶基复 合材料构成的轮胎,选取应力分析参数时一定要 考虑结构材料的破坏形式。考虑到轮胎结构破坏 通常是带束层端点脱层、胎体反包端点脱层或开 裂和胎肩脱层,都可以看作是橡胶材料与橡胶基 复合材料的界面破坏,选取的应力分析参数为应 变能密度(能量参数和Christensen应力n4(应 力参数。在对胎圈附近的胎体进行分析时,关注 的是胎体中的张应力。 本研究所分析轮胎在一个截面内的有限元网 格见图11(在一个截面内的节点数为386、单元数 为355,其材料分布赊由于带束层宽度不同引起 的带束层部分有差别之外,其余全部相同。图12示出具有不同带束层宽度的带束层材料分布及带 柬层端部层间单元。对应于386中网格的层间单 元是1’和27;386窄网格的带束层宽度比386中 网格窄一点,其层间单元是1和z;386宽网格的 带束层宽度比386中网格宽一点,其层问单元是 1”和2”。 4.1带柬层端部层闻单元的应力 表2和3分别示出充气情况和标准负荷情况 下带束层端部层问单元的应力分析参数。由表2可以看出,在充气情况下,带束层端部层间单元的 应变能密度和Christensen应力均随着带束层宽 度的增大而骤减[1”。这明确揭示出,如果仅考虑 充气情况带束层端部单元的应力分析参数选取带 第14届中国轮胎技术研讨会论文集 田11在一个截面内的有限元同格《3撕节点 束层宽度,则386窄网格对应的带束层宽度应首 先舍弃。 由表2还可以看出,在标准负荷情况下,带束 层端部第1带束层与第2带束层之间的单元(1, 1 7和1”的最大应变能密度和应变能密度幅值均 随着带束层宽度的增大而增大,其最大Chris— tensen应力和Christensen应力幅值亦然。然而, 带束层端部第2带束层与第3带束层之问的单元 (2,2’和2”的应力分析参数则呈现相反的规律。 4.2胎体反包端点附近单元的应力分析参数 轮胎胎体反包端点附近的单元见图13。表4和5分别示出充气情况和标准负荷情况下胎体反 包端点附近单元的应力分析参数。由表4可以看 出,在充气情况下,胎体反包端点附近单元的应变 能密度和Christensen应力均随着带束层宽度的 增大而减小?但相对而言,由386中网格对应的带 圈12带束层材料分布及带束层翊部层问单元示意 束层宽度增大到宽网格时,其胎体反包端点附近 准负荷情况胎体反包端点附近单元的最大应变能 单元的应力分析参数减幅小得多。这明确揭示 密度和最大Christensen应力考虑选取带秉层宽 出,如果仅考虑充气情况胎体反包端点附近单元 度,则386窄网格对应的带束层宽度应首先舍弃。 的应力分析参数选取带束层宽度,则386窄网格 值得注意的是(见表5,一方面相应于386对应的带束层宽度应首先舍弃。 窄网格的胎体反包端点附近单元的应变能密度幅 由表5可以看出,在标准负荷情况下?最大应 值和Christensen应力幅值与其它两种情况相比 变能密度和最大Christensen应力均随着带束层 小得多,而另一方面相应于386窄网格的胎体反 宽度的增大而减小,但相对而言,由386中网格对 包端点附近单元的最大应变能密度和最大Ch。i。一 应的带束层宽度增大到宽网格时,胎体反包端点tensen应力与其它两种情况相比则大得多。前者 附近单元的最大应变能密度和最大Christensen 对于抵抗材料的破坏(尤其是疲劳破坏是有利 应力减幅,J、得多。这明确揭示出,如果仅考虑标 的,而后者对于抵抗材料的破坏则是不利的。这 目相桥.载重子午线轮胎有限元分析技术及其应用 襄2充气情况下带柬层端部层问单元的应力分析参数 裹4充气情况胎体反包螭点附近单元的应力分析参敦 单 元 应变能密度/(J?m—oChristensen应力/MPa 单 元 应变能密度/(J?m一3Christensen应力/MPa 裹3标准负荷情况下带柬层翊部层闻 单元的应力分析参数 单 元 能密度/度幅值/Chrlsteaasen应力幅值/ (J?nl—o (J?iil 3应力/MPa MPa 386窄同格 11.7196×1061.6878×1051.24781.1535 21.7637×10s 1.7541×10s 1.31871.2642 386中同格 l’ 386宽冈格 1“ 1-9058×1051,8964×1051.34851.2998 1J 7202×10s 1.7153×1051.27811,2279 2.0507×1052.0468X1051.44181.3829 15710×1051-5680X1051.24361.1924 圈13胎圈夏胎体反包端点附近胎体单元示意 是一个很复杂的问题,在这里不进行讨论。 4.3胎圈附近胎体张应力 轮胎胎圈附近胎体单元亦见图13。表6示 出充气情况下船圈附近胎体单元张应力的变化规 律,表7示出标准负荷情况下胎圈附近胎体单元 最大张应力和胎体张应力幅值的变化规律。由表 6可以看出,在充气情况下,胎体张应力受带束层 宽度的影响很小,其均值随带束层宽度的增大而 表5标准负荷情况下胎体反包端点附近单元 的应力分析参数 单 元 能密度/度幅值/Christensen应力幅值/盟:璺二12塑:璺二:2堡垄』婴! 丛璺 386窄同格 A 4.2986×1041.4952×10‘I.11370.,3271 B 1.0055×1053.3440×1043,12080,5206 386中罔格 A Z.7425×10.2.0391×1040.71730.377l B 7.1624×1045.2185×1042.58141.5960 386宽网格 A 2.7317×10‘2.0415×1矿0.71590.3662呈 !:!翌!兰!!:!:!!!!兰!!!:!!!! !:!!!! 稍微增大。由表7可以看出,在标准负荷情况下, 胎圈附近胎体单元的最大张应力受带束层宽度的 影响随与胎圈距离的减小而显著增大I胎圈附近 胎体单元的最大张应力随带束层宽度的增大而增 大,但相对而言,386中网格对应的带束层宽度增 大到宽网格时,胎圈附近胎体单元的最大张应力 增幅小得多,最大胎体张应力的均值、张应力幅值 及张应力幅值的均值亦然。 此外,由表7可以看出,386窄网格对应的胎 圈附近胎体单元与其它两种情况相比,其最大胎 体张应力最小,而胎圈附近大多数胎体单元的张 应力幅值较大。这明确揭示出,如果仅考虑胎圈 附近胎体单元的张应力选取带束层宽度,则386窄网格对应的带束层宽度应首先舍弃。 4.4胎肩应力分析参数 胎肩附近的单元如图14所示。表8和9分 别示出充气情况和标准负荷情况下胎肩附近单元 的应力分析参数。由表8可以看出,在充气情况 下,胎肩附近单元的应变能密度均值和Chris— tensen应力均值均随着带束层宽度的增大而增 大。如果仅考虑充气情况胎肩附近单元的应变能 第14届中国轮胎技术研讨会论文集 采6充气情况下眙圈附近胎体单元的张应力 密度和Christensen应力选取带柬层宽度,则386窄网格对应的带束层宽度应首先选取。 由表9可以看出,在标准负荷情况下,胎肩附 近单元的最大应变能密度的均值、应变能密度幅 值的均值、最大Christensen应力的均值及Chris— tensen应力幅值的均值均随着带束层宽度的增大 而减小,这就明确揭示出,如果仅考虑胎肩附近单 元的应力分析参数选取带束层宽度,则386窄网 格对应的带束层宽度应首先舍弃。 根据充气情况和标准负荷情况下胎肩附近单 元的应力分析参数来选取带束层宽度,得到两种 相反的结果。根据标准负荷情况下胎肩附近单元 的应力分析参数选取带束层宽度是正确的,因为 轮胎在标准负荷情况下的受力比其在充气情况下 的受力更逼近实际受力情况。 4.5轮胎带束层宽度对带束层张力 图15~17示出386窄、中、宽网格带束层张 力在不同截面沿带束层宽度的变化。 应引起注意的是,386宽网格带束层张力在 端部出现压缩(见图17。这样的带束层宽度是 裹7标准负荷情况下胎圈附近胎体单元的张应力 单 元 386窄网格 386中网藉 386竟两格 最大张应力/MPa张应力幅值/MPa最大张虚力/MPa张应力幅值/MPa最大张应力/MPa张应力幅值/MPa 同相桥.载重子午线轮胎有限元分析技术及其应用 129 圈14轮胎艚扁附近单元示意 表9标准负荷情况下胎肩附近单元的应力分析参散 最大应变 应变镌密 最大 Christensen 单 元 能密度/度幅值/Christensen应力幅值/ (J?m一3 (J?m一3应力/MPa MPa 386窄舟格 s12.4098×10‘2.3492×1040.49570.4458 S23.6476X10‘3.6171×10‘0.46600.4160 S33.4400×10‘3.4066×10'0.46670.4168 Sl 3.4974×10‘3.4580×10‘0.47320.4231 S53.7776X10‘3.7453×1040.47530.4355 S63,83I 5X10‘3.8051×10‘0,4749o.4405 S73.9052×10‘3.8806×1040.47090.4459 S83.3310×10‘3.31D 8×10‘0.47470.4515 均值 3.4800x10‘3.4466×10‘0.47470.4344 386中同梏 S1 S2 S4 S5 S6 s7 鹦 均值 386宽同格 S1 S2 s3 Sl s5 s6 甜 鹞 均值 2.1293×10' 3.3549×104 2.8455×10’ 3.3756×l矿 3.6230×10‘ 3.8560×104 4.07l 3×lO‘ 3.6152×10‘ 3.3589×10‘ 1.9275×10‘ 1.9578×104 2。2193×104 3.0174×104 3.0102×10‘ 3.6800X104 3.8606×10‘ 3.43Z 9X10‘ 2.8882×lo‘ 1.9615×104 3.2859×IO' 2.7973×10‘ 3.3265×104 3.5837×104 3.8248×104 4.0457×104 3.5945×10‘ 3.3022×10‘ 1.7649×10t 1.8637×10‘ 2.1555X104 2.9643×10‘ 2.9601X10‘ 3.6358×10‘ 3.82l l×104 3.4046×10‘ 2.8213×104 0.4491 0.4674 0.4384 0.4592 0.4596 0.4622 0.4620 0.4728 0.4588 0.4244 0.4092 0.4338 0.4734 0.4507 0.4542 0.4504 0.4609 0.4446 0,3863 0.3987 0.3813 0.4058 0.4186 0.4271 0.4376 0.4505 0.4133 O.3633 0.3378 0.369l 0.4192 0.4088 0.4155 0.4222 0.4354 0。3964 不适宜的。 通过对带柬层端点、胎体反包端点、胎肩附近 单元的应力分析参数及胎圈附近胎体张应力和带 束层张力的综合分析,认为386中网格对应的带 束层宽度比其它两种带束层宽度更合适。 囤15带束层张力在不同截面沿带柬层宽度的变化 {386窄嗣格.最大值为2.9450kN 田16带柬层张力在不同截面沿带束层宽度的变化 (386中田格。最大值为2.9410kN 圈17带柬层张力在不同截面沿带束层宽度的变化 1386宽网格.最大值为2.9407kN 5结语 本研究建立了轮胎有限元分析模型。在该模 型中,考虑了轮胎变形的几何非线性、轮胎与地面 和轮胎与轮辋的大变形非线性接触、轮胎材料的 非均匀性、橡胶材料的不可压缩性和物理非线性 及橡胶基复合材料的各向异性。数值计算结果表 明,该模型计算有效。此外,还探讨了这种轮胎有 限元分析模型在轮胎结构优选中的应用。 130第14届中国轮胎技木研讨会论文集 参考文献: [1]Noor A K,Tanner九Advances aIld trends in the develop— ment of computational model lor tires[J].Computers aad Stnlctll船1988,20:517-533. [2]Chrk S K Mechanics 0f pnuematic TiresEM].Washingtont Washington D C Department of Transpnrmtlon。1981. E3]Tseng N T.Pelle R G,Chang J P.Finite element simulation of tire-tim interface[J].Tire Scieace and Technology。1989. 17(41305-325. E4]Wu B G,Du X W.Finite element formulation of radial tires with variable constraint conditions[J].Computers and Strue— lures。1995,95(5t871—975. [5]Rother H,Idelharger H,Jacobi W.On the finite element solu? tion of the three dimensional tire contact problem[J].Nucl. Engng Deh,1984,78:363—375. [6]Sarhar K,Kwom Y D,Prevosek D e A New approach for the thermo-meehanical anniysi8of tires by the finite element Method[J3.Tire Science and Technology,1987,15(3{291— 275. [7]Pottinger M G.The three-dimensionni contact Imteh stress field Of solid and pneumatic tiresEJ].The Science and Tech-nology.1992,20(1t3_. [8]Domsehsit AtRother H,Winkelmann T.Refined methods for tire computation[J].Tin Science and Technology.1989.17 (1t291-304. [9]gienkiewicz Q C.The finite element method[M].Londont McGraw-Hill.1977. [10]Halpin J C,Kardos J L The Halpin-Tsai equations}a re— view[J].Polymer Engineering and Science,1976,16(5I 344-352. DI]Sun C T,Li S J.Three-dimensional effective elastic COIl-slants for thick laminates[J].Journni of Composite Materi-sis.1988,22:629—639. [12]Christenson R￣L The numbers of elastic properties and fail— urc parameters for composites[J].Transactions of the ASME.Journal of Engineering Materials and Technology, 1998。120(1:1lo-113.