[讲解]第二讲 matlab求微分方程、导数、积分

[讲解]第二讲 matlab求微分方程、导数、积分[讲解]第二讲 matlab求微分方程、导数、积分第二讲导数与微分方程一、实验内容 1、实际引例 (牛顿冷却模型)警察上午9点钟发现一被谋杀者，并测得尸体温度为32.4?，一小时以后，尸体的温度变为31.7?，尸体所在房间的温度是20?。如果人的正常体温为36.5?，并知道热物体冷却速度与自身温度与外界温度之差成正比，试推断谋杀时间。解 dT 设T为尸体温度，t为时间(十进制，如10.5代表10点30分),温度的变化率()dt比例常数为K 解题关键热物体冷却速度与自身温度与外界温度之差成正比。 ...

[讲解]第二讲 matlab求微分方程、导数、积分第二讲导数与微分方程一、实验内容 1、实际引例 (牛顿冷却模型)警察上午9点钟发现一被谋杀者，并测得尸体温度为32.4?，一小时以后，尸体的温度变为31.7?，尸体所在房间的温度是20?。如果人的正常体温为36.5?，并知道热物体冷却速度与自身温度与外界温度之差成正比，试推断谋杀时间。解 dT 设T为尸体温度，t为时间(十进制，如10.5代表 10点30分),温度的变化率()dt比例常数为K 解题关键热物体冷却速度与自身温度与外界温度之差成正比。 dT 即 =k*(T-20). dt 该方程就为微分方程，那么如何求解喃,以下为MATLAB求解过程: T=dsolve('DT=k*(T-20)','T(9)=32.4') %T(9)表示在9点时的温度为32.4? ans = (62*exp(k*t))/(5*exp(9*k)) + 20 由于10点室温为31.7?，带入后可求K,命令如下: 先输入 solve(''),然后把上面得到的表达式复制进去 (62*exp(k*t))/(5*exp(9*k)) + 20 k=solve('(62*exp(k*10))/(5*exp(9*k)) + 20=31.7') (带入t=10,T=31.7) k=-0.05810763080728074591965065204834 T=(62*exp(k*t))/(5*exp(9*k)) + 20 T=20.91915298056906312642973833139/exp(0.05810763080728074591965065204834*t)+20 T=vpa(T,6) (保留几位数) T =20.9192/exp(0.0581076*t) + 20.0 t=solve('20.9192/exp(0.0581076*t) + 20.0=36.5') ans = 4.0839239039506477826882582186434 0.083923*60=5.0354 即谋杀时间凌晨4点5分左右二、引例子所涉及的知识点 dT1、首先要列出微分方程，简单的来说出现了变化率()。 dt 2、如何求解微分方程。 dsolve(‘方程1’，‘方程2’…‘方程n’’初始条件’) dT 如求解=k*(T-20) dt dsolve('DT=k*(T-20)','T(9)=32.4') (9点时的温度为32.4?) 3、如何求解方程的未知数的值 solve(‘等式’) 2,x,2,0 如求解()的根 x solve(‘x^2-x-2=0’) Ans=-1，2 、如何让数据显示指定位数， 4 vpa(函数名，显示的位数) T=20.91915298056906312642973833139/exp(0.05810763080728074591965065204834*t)+20 vpa(T，6)，显示结果T=20.919/exp(0.058108*t) + 20.0 三、过手练习 1、理解以后自己从头来解决引例。最后画出该过程的函数图像。 (提示)画图时，请重新手打以下内容，切勿复制 (1)先要给t定义域，linspace(4,10,60); (2)写出T的函数关系式。 (3)plot 2、微分方程求解 du2(1) u(0)=1 ,1，udt ans=tan(pi/4+t) 四、导数、积分的求法。 1、导数先要定义要用的字母 syms x y a diff(y,’x’,n) 其中y为待求导运算的函数，‘x’为求导变量，n为求导阶次例1:求y=asinx对X求一阶导,二阶导，以及对A求一阶导。 syms x,a,y……………………定义变量 diff(a*sin(x),'x',1) Ans=a*cos(x)……………………对x求一阶导数 diff(a*sin(x),'x',2) ans=-a*sin(x)…………………对X求二阶导数 diff(a*sin(x),'a',1) ans=sin(x)……………………对a求导，把sinx当做常数 2、积分 int(y,’x’,’a’,’b’) 其中y为待求函数，‘x’为积分变量，’a’,’b’为积分区域，若区间为,,,，,[],用字母inf，即[-inf,+inf],详见练习(7) cosdx例2: , Syms x,a,y……………………定义变量 int(cos(x)) ans=cos(x) 过手练习 12323，，1,2xy,， (1) 求 y’ y” (2)y=xx (大家要习惯MATLAB表示法和熟悉写法的转化) 4 ,223 答案 ()3(1,2x) 171xx(3).dx (4). edx 43,,x，2x >> int('x^7/(x^4+2)') ans =1/4*x^4-1/2*log(x^4+2) ans = -exp(1/x)/x+exp(1/x) 2242xx，,6x,1(5).dx (6). dx,,31x，3x >>int('(x^2+x-6)/(x+3)','x',3,4) >> ans = 3/2 ans =3^(1/2)-1/3*pi ，,，,1x,exdxsin(7). (8). dx22,,01，xx(1) >> int('1/x^2/(x^2+1)','x',1,+inf) >>ans =-1/4*pi+1 ans =1/2 五、拓展部分(自己阅读，尝试用学过的知识解决)

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