函数与导数经典例
题
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--高考压轴题(含答案)
函数与导数
321. 已知函数,其中( fxxtxtxtxR()4361,,,,,,,tR,
(?)当时,求曲线在点处的切线方程; t,1yfx,()(0,(0))f
(?)当时,求的单调区间; t,0fx()
(?)证明:对任意的在区间内均存在零点( tfx,,,(0,),()(0,1)
【解析】(19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、
函数的零点、解不等式等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想
方法
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,满分14分。
322, (?)解:当时,fxxxxffxxx()436,(0)0,()1266,,,,,,, t,1
, 所以曲线在点处的切线方程为 f(0)6.,,yfx,()(0,(0))fyx,,6.
t22, (?)解:fxxtxt()1266,,,,,令,解得 xtx,,,或.fx()0,2
因为t,0,以下分两种情况讨论:
t, (1)若变化时,的变化情况如下表: ttx,,,0,,则当fxfx(),()2
x ,,,t, tt,,,,,, ,,,,,t,,,,22,,,,
+ - + , fx()
fx()
tt,,,, 所以,的单调递增区间是的单调递减区间是。 ,,,,,,,,;()tfx,,tfx(),,,,,,22,,,,
tx, (2)若,当变化时,的变化情况如下表: tt,,,0,则fxfx(),()2
x ,,,tt t,,,,,, ,t,,,,,,,,22,,,,
+ - + , fx()
fx()
tt,,,, 所以,,,,,,,,,;()tfx,t,.的单调递增区间是的单调递减区间是 fx(),,,,,,22,,,,
tt,,,, (?)证明:由(?)可知,当时,在内的单调递减,在内单调t,00,,,,fx(),,,,22,,,,
递增,以下分两种情况讨论:
t (1)当时,在(0,1)内单调递减, ,,1,2即tfx()2
2 ftftt(0)10,(1)643644230.,,,,,,,,,,,,,,
所以对任意在区间(0,1)内均存在零点。 tfx,,,[2,),()
ttt,,,, (2)当时,在内单调递减,在内单调递增,若0,,101,02,,,,即tfx(),,,,222,,,,
177,,33 tfttt,,,,,,,,(0,1],10.,,244,,
2 fttttt(1)643643230.,,,,,,,,,,,,
t,, 所以内存在零点。 fx(),1在,,2,,
t77,,33 若 tfttt,,,,,,,,,(1,2),110.,,,,244,,
ft(0)10,,,
t,, 所以内存在零点。 fx()0,在,,2,,
所以,对任意在区间(0,1)内均存在零点。 tfx,(0,2),()
综上,对任意在区间(0,1)内均存在零点。 tfx,,,(0,),()
21hxx(),2. 已知函数,( fxx(),,3222(?)设函数F(x),18f(x),x[h(x)],求F(x)的单调区间与极值;
33a,R(?)设,解关于x的方程; lg[(1)]2lg()2lg(4)fxhaxhx,,,,,,24
1*n,N(?)设,证明:( fnhnhhhn()()[(1)(2)()],,,,,?6
本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识,考查数形结合、函数
与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力(
223解:(?), Fxfxxhxxxx()18()[()]129(0),,,,,,,
2,( ?,,,Fxx()312
令,得(舍去)( ,x,2x,,2?,Fx()0
当时(;当时,, ,,x,(0,2)Fx()0,x,,,(2,)Fx()0,故当时,为增函数;当时,为减函数( x,[0,2)Fx()x,,,[2,)Fx()
为的极大值点,且( x,2Fx()F(2)824925,,,,,
33(?)方法一:原方程可化为, log[(1)]log()log(4)fxhaxhx,,,,,,42224
xa,,ax,,log(1)loglog4logxaxx,,,,,,即为,且 ,422214,,,x4,x,
ax,2?当时,,则,即, 14,,a1,,xaxxa,,,,640x,,14,x
6204,,a,此时,?, 1,,xa,,,,,,,364(4)2040aaxa,,,,352此时方程仅有一解( xa,,,35
ax,2?当时,,由,得,, a,414,,xxxa,,,,640x,,1,,,,,,364(4)204aa4,x
若,则,方程有两解; 45,,a,,0xa,,,35若时,则,方程有一解; a,5,,0x,3
若a,1或a,5,原方程无解(
方法二:原方程可化为, log(1)log(4)log()xhxhax,,,,,422
x,,10,,,14,,x,40,,,x1,,, 即,,,xa,log(1)log4logxxax,,,,,,,222ax,,0,2,,2ax,,,,(3)5.,,(1)(4).xxax,,,,,
14,,a?当时,原方程有一解; xa,,,35
45,,a?当时,原方程有二解; xa,,,35
a,5x,3?当时,原方程有一解;
a,1a,5?当或时,原方程无解(
hhhnn(1)(2)()]12,,,,,,,??(?)由已知得,
1431n,( fnhnn()(),,,666
1*设数列n,N的前n项和为,且() Sfnhn,,{}aS()()nnn6
4341kk,,2100,,k从而有,当时,( aS,,1aSSkk,,,,,1kkk,11166221(43)(41)(1)kkkk,,,,1,,又 akkkkk,,,,,,[(43)(41)1]k6(43)(41)1kkkk,,,,6
11( ,,,06(43)(41)1kkkk,,,,
ak,a,,11aaan,,,,,,,??12k,2即对任意时,有,又因为,所以( k112n
则,故原不等式成立( Shhhn,,,,(1)(2)()?n
223. 设函数, f(x),alnx,x,axa,0
(?)求的单调区间; f(x)
2a(?)求所有实数,使对恒成立( e,1,f(x),ex,[1,e]
e 注:为自然对数的底数(
【解析】(21)本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识,同时考查抽象
概括、推理论证能力。满分15分。
22 (?)解:因为 fxaxxaxx()ln.0,,,,其中
2axaxa()(2),,, 所以 fxxa()2,,,,,xx
由于,所以的增区间为,减区间为 a,0fx()(0,)a(,)a,,
(?)证明:由题意得, facac(1)11,,,,,,即
由(?)知内单调递增, fxe()[1,]在
2efxexe,,,,1()[1,]对 要使恒成立,
fae(1)11,,,,,, 只要 ,222feaeaee(),,,,,
ae,. 解得
xeaf(x),4. 设,其中为正实数. 21,ax
4(?)当时,求的极值点; a,fx()3
aR(?)若为上的单调函数,求的取值范围. fx()
【解析】(18)(本小题满分13分)本题考查导数的运算,极值点的判断,导数符号与函数单调变
化之间的关系,求解二次不等式,考查运算能力,综合运用知识分析和解决问题的能力.
2,ax,ax1x,fx,e(). 解:对求导得 ? f(x)22,ax(1)
3142, (I)当a,,若 f(x),0,则4x,8x,3,0,解得x,,x,.12322
综合?,可知
x 113313 (,,,)(,)(,,)222222
, + 0 0 + ,f(x)
? 极大值 ? 极小值 ? f(x)
31 所以,是极小值点,是极大值点. x,x,1222
(II)若为R上的单调函数,则,在R上不变号,结合?与条件a>0,知f(x)f(x)
2 ax,2ax,1,0
2 在R上恒成立,因此,,4a,4a,4a(a,1),0,由此并结合,知 a,00,a,1.
5. 已知a,b为常数,且a?0,函数f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2(71828…是自然对数的底数)。
(I)求实数b的值;
(II)求函数f(x)的单调区间;
(III)当a=1时,是否同时存在实数m和M(m
0得x>1,由f'(x)<0得0
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