导数及其应用教案

导数及其应用教案 精品文档 导数及其应用教案 一、基础知识梳理: 导数与函数的单调性的关系 设函数f?x?在区间?a,b?内可导，则f?x?在区间 ?a,b?上是增函数的充要条件是f’?x??0 在区间(((?a,b?恒成立，且f’?x?在(?a,b?的任意子区间内都不恒等于0. 注?如果函数y?f在区间I内恒有f’=0，则y?f为 __常数函数__________. ?f’?x??0是f递增的____充分_______条件， ?f’?x??0?(f递增(((;( 反之((f(递增(((?f’?0 极值 1、极值的定义:在x0附近所有的点(((((( ，都有f?f，则f是函数f的极大值， 同理: 在x0附近所有的点((((((，都有f?f，则f是函数f的极小值; 函数的极大值与极小值统称_极值;取得极值的___________x0_______叫做极值点。 2、极值的判别方法:当函数f在点x0处连续时， ?如果在x0附近的左侧_f??0，右侧f??0，那么 f是极大值; ?如果在x0附近的左侧f??0，右侧f??0_，那么 f是极小值. 1 / 43 精品文档 注?:对于可(导(函(数(f(,x0是极值点 的充要条件是 _______________________________ 对于可导函数((((f，(f’?x0??0是x0是极值点的______条件 ?极值是局部概念，极值点是区间内部的点而不会是端点; ?极值的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小. ?若f在某区间内有极值，那么f在某区间内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值; 二、基础训练: 1、函数f?x3?15x2?33x?6的单调减 区间为__________ 解析: f??3x2?30x?33?3， 由?0得单调减区间为。 注:求函数的单调增区间，只需解不等式f??0 不必考虑等号。、函数f?3?2的极值点是 ______极值是3、函数y,sin2x,x，x???,π2，π 2的最大值是________，最小值是________( 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 :π,π 24、若函数f? x2 ?a x?1 2 / 43 精品文档 在x?1处取极值，则a? 解析:f’,2x? 2 f’, 3?a 4 ,0 ? a,三、典型例题: 题型一:导数与函数的单调性 1、设函数f?xekx 求曲线y?f在点)处的切线方程; 求函数f的单调区间; 1 若函数f在区间内单调递增，求k的取值范 围. 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力( f’?x???1?kx?ekx,f’?0??1,f?0??0, 曲线y?f在点)处的切线方程为y?x. 由f’?x???1?kx?ekx?0，得x??1 k ?k?0?， 若k?0，则当x???? ??,? 3 / 43 精品文档 1?k??时，f’ ?x??0，函数f?x?单调递减，当x?????1k,??,? ?? 时，f’?x??0，函数f?x?单调 递增， 若k?0，则当x??1?? ???,?k??时，f’ ?x??0，函数f?x?单调递增，当x?????1?’ k,??,?? 时，f?x??0，函数f?x?单调 递减， 由知，若k?0，则当且仅当? 1 k ??1， 即k?1时，函数f?x???1,1?内单调递增， 若k?0，则当且仅当? 1 k ?1， 即k??1时，函数f?x???1,1?内单调递增， 综上可知，函数f?x???1,1?内单调递增时，k的取值范围是 ??1,0???0,1?. 4 / 43 精品文档 2、赢在高考第47页迁移训练第1题 略 3 、设平面向量ar ?2?12)，br?,??s?t? 求函数关系式s?f; 函数s?f在[1,??)上是单调函数，求k的取值范围。 2 解析 :由题意得 f??3x2?2x?a 又? 2,2,2 ?[f]max,f?,4ae. ?a2 ?当>2时，即0 a?[f]max,f,4e ,2a f?b?0 ，解得b?0，a??3或a?1 ?f??a??3?? . 解:ar ??12)，br?br]?0， ?sar2?tbr2?argbr?0 ， 5 / 43 精品文档 ??s?t?0?s?f?t3?kt f??3t2?k且f在?1，???上是单调函数， 则在[1,??)上有f??0或f??0 由 f??0?3t2?k?0?k?3t2?k?min?k?3 由 f??0?3t2 ?k?0?k?3t2 。 因为在t?[1,??)上3t2 是增函数，所以不存在k，使k?3t2 在 [1,??)上恒成立。故k的取值范围是k?3。 4、已知函数 f?x3?x2?ax?b ( 若函数f的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 ?3，求a,b的值; 若函数f在区间上不单调((( ，求a的取值范围( 函数f在区间不单调，等价于 导函数f?在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数，即函数f?在上存在零点，根据零点存在定理，有 6 / 43 精品文档 f?f??0， 即: [3?2?a][3?2?a]?0 整理得:2?0，解得?5?a??1 题型二:导数与函数的极值、最值 1(已知函数f,x2e, ax，求函数在[1,2]上的最大值( 分析:通过求导先判断单调性再求最值(在求最值时，对a的情况要进行讨论( 解:f,x2e ,ax ， ?f′,2xe ,ax，x2?e ,ax ,e ,ax ( 令f′>0，即e ,ax >0，得0 a . ?f在，?2 ?a???上是减函数， 在??0，2 a上是增函数( ?当0 a2时，f在上是减函数， 7 / 43 精品文档 ?[f], max,f,ea. ?当1?2 a?2，即1?a?2时，f在??1，2a上是增函数，在?2?a2? ?上是减函数， 2 综上所述，当0 ， 当1?a?2时，f的最大值为4a, 2e, 2， 当a>2时，f的最大值为e, a. 评析:求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数的单调性，一般情况下是先利用导数求出单调区间，分清单调区间与已知区间的关系，有时也需要分类讨论，分类时要不重不漏( 2、设函数f?x2 ?bln，其中b?0; 若b??12，求f在[1,3]的最小值; 如果f在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围; 解:由题意知，f的定义域为， 8 / 43 精品文档 b??12时，由f/ ?2x?12x?1?2x2?2x?12 x?1 ?0，得 x?2， 当x?[1,2)时，f/ ?0，当x??0， 所以当x?[1,2)时，f单调递减;当x?单调递增， 所以fmin?f?4?12ln3 所以当x,0时，f取得最小值，所以b,,29. 又f,,16a,29，f,,7a,29，f>f( 所以当x,2时，f取得最大值，即,16a,29,3，a,,2. ? 当x?1时，f?0(?函数f在区间上是增函数( 综上所述a,2，b,3或a,,2，b,,29. 评析:本题综合运用了求极值、最值的方法确定系数a、b，函数f的极大值是f?0，极小值是f??4( 注意对a的讨论和最大值、最小值的确定( 4、已知三次函数f?x3?ax2?bx?c在x?1和x??1时取极值，且f??4( 求函数y?f的表达式; 求函数y?f的单调区间和极值; 若函数g?f?4m?m?0?在区间?m?3,n? 9 / 43 精品文档 上的值域为?4,16，试求m、n应满足的条件( ?? 解: f??3x2?2ax?b， 由题意得，1,?1是3x2 ?2ax?b?0的两个根，解得， a?0,b??3 ( 再由f??4可得c??2(?f?x3 ?3x?2( 2 f? ?3x?3?3， 当x??1时，f??0;当x??1时，f? ?0; 当?1?x?1时，f??0;当x?1时，f? ?0; 3 函数g的图象是由f的图象向右平移m个单位，向上平移4m个单位得到的， 所以，函数f在区间[?3,n?m]上的值域为[?4?4m,16?4m] ( 而f??20，??4?4m??20，即m?4( 于是，函数f在区间[?3,n?4]上的值域为 10 / 43 精品文档 [?20,0]( 令f?0得x??1或x?2(由f的单调性知， ?1?n?4?2，即3?n?6( 综上所述，m,n应满足的条件是:m?4且3?n?4?6( 题型三:利用导数研究方程的根 1、设函数f?x3 ? 92 x2 ?6x?a(对于任意实数x，f??m恒成立，求m的最大值; 若方程f?0有且仅有一个实根，求a的取值范围( 解: f’?3x2 ?9x?6?3, 因为 x?,f’?m, 即x2?9x??0恒成立, 所以 ??81?12?0, 得m??34 ，即m的最大值为 ?34 因为 当x?1时, f’?0;当1?x?2时, f’?0;当x?2时, f’?0; 所以 当x?1时,f取极大值 f?5 2 ?a; 当x?2时,f取极小值 f?2?a; 11 / 43 精品文档 故当f?0 或f?0时, 方程f?0仅有一个实根. 解得 a?2或a? 52 .、已知a是实数，函数f?x??2ax2?2x?3?a，如果函数 y?f?x?在区间??1,1?上有零点，求a的取值范围. 解:若a?0 , f?2x?,显然在??1,1?上没有零点, 所以 a?0. 令 ??4?8a?3?a??8a2 ?24a?4?0, 解得 a? ?当 a??32 时, y?f?x?恰有一个零点在??1,1?上; ?当f??1??f?1???a?1??a?5??0，即1?a?5 y?f?x?在??1,1?上也恰有一个零点. ?当y?f?x?在??1,1?上有两个零点时, 则 ??a?0? a?0???8a2?24a?4?0???8a2?24a?4?0???1??1??1?2a?1 或??1??2a?1 ??f?1??0?? 12 / 43 精品文档 ? f?1??0?f??1??0? f??1??0解得a?5或a? 综上所求实数a的取值范围是 a?1 或 a? .(已知平面向量ar ? ?1? br???1??2,2 ? 若存在不同时为零的实数k和t，使rx?ar?br ry??kar?tbr,rx?r y， 试求函数关系式k=f ; 据的结论，讨论关于t的方程f,k=0的解的情况解:?xr?yr ?xrgyr ?0 即[ar?br]g ?0整理后得-kar2+[t-k]argbr+br2=0 rrr?agb?0，a2=4，br2=1，?上式化为-4k+t=0k=14 t 讨论方程14t-k=0的解的情况，可以看作曲线 f= 14 t与直线y=k的交点个数. 4 f??sec2 13 / 43 精品文档 x?2?cosx?cos2x x? f??0? ? ? tanx?x?x?sinx 原式? sinxx?2?令 f?sinx/x x? cosx?0 x?tanx?0 ? f??cosx? x2 ? x? f??0 ? f? 2 x 2? ? sinx? 2? 令1?11 x?t，由x>0，?t>1，x?t?1 原不等式等价于1?1 t ?lnt?t?1 令f=t-1-lnt， ?f??1?1 t 当t?时，有f??0，?函数f在 14 / 43 精品文档 t?递增 ?f>f 即t-1 另令g?lnt?1?1t?1 t，则有g??t 2?0 ?g在上递增，?g>g=0 ?lnt?1?1 t 综上得 1x?11x?1?lnx?x 由令x=1,2,„„并相加得 12?13?????1n?ln21?ln32?L?lnnn?1?1?12?L?1n?1 即得 12?13?????1n?ln?1?12?L?1 n?1 2、设a?0，f =x,1,lnx，2a ln x. 令F,xf,，讨论F在内的单 调性并求极值; 求证:当x>1时，恒有x>ln2x,2a ln x，1. 解:根据求导法则有f??1?2lnx?2ax x ，x?0， 15 / 43 精品文档 故F?xf??x?2lnx?2a，x?0，于是 F??1? 2x?x?2x x?0， 故知F?2?2ln2?2a( 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 :由a?0知，F的极小值F?2?2ln2?2a?0( 于是由上表知，对一切x?，恒有F?xf??0( 从而当x?0时，恒有f??0，故f在内单调增加( 所以当x?1时，f?f?0，即x?1?ln2x?2alnx?0(故当x?1时，恒有x?ln2x?2alnx?1( 3、已知函数f?xlnx. 求f的最小值; 若对所有x?1都有f?ax?1，求实数a的取值范围. 解:f的定义域为， f的导数 5 f??1?lnx. ??0，解得x?1 令fe ;令f??0， 解得0?x?1e.从而f在???01?e??单调递减，在??1?e，+?? ? ? 单调递增.所以，当x?11 16 / 43 精品文档 e时，f取得最小值?e . 解法一:令g?f?，则g??f??a?1?a?lnx， 错误～未找到引用源。 若a?1，当x?1时，g??1?a?lnx?1?a?0， 故g在上为增函数，所以，x?1时，g?g?1?a?0，即f?ax?1. 错误～未找到引用源。 若a?1，方程g??0的根为 x0?ea?1，此时，若x?，则g??0，故g在该 区间为减函数.所以x?时，g?g?1?a?0， 即f?ax?1，与题设f?ax?1相矛盾. 综上，满足条 件的a的取值范围是?ax?1在[1， ??)上恒成立，即不等式a?lnx? 1 x 对于x?[1 ，??)恒成立 . 令g?lnx?1 x ，则g??1x?11?1?x2?x??1?x??. 当x?1 时，因为g??1?x??1?1? x?? ?0， 17 / 43 精品文档 故g是上的增函数，所以 g的最小值是g?1，所以a的取值范围是? 若函数f的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围 若f??0， 导数及其应用 导数概念及其几何意义 ?了解导数概念的实际背景。?理解导数的几何意义。 导数的运算 ?能根据导数定义，求函数y?c，y?x，y?x2，y? 1x 的导数。 ?能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。 ?常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式: ′=0;′=nxn-1，n?N+ ???cosx;???sinx ; ??e;??alna;?? x x x x 18 / 43 精品文档 1x ;?? 1x log a e ?常用的导数运算法则: ?法则1 ?u?v??u??v? ? ??uu?v?uv?? ??0)?法则?uv??u?v?uv? ?法则??2 v?v? ? 导数在研究函数中的应用 ?了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。 ?了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值;会求闭区间上函数的最大值、最小值。 生活中的优化问题:会利用导数解决某些实际问题。 1(导数的概念 函数y=f,如果自变量x在x0处有增量?x，那么函数y相应地有增量?y=f,f， 比值 19 / 43 精品文档 ?y?x 叫做函数y=f在x0到x0+?x之间的平均变化率，即 ?y?x ?y?x = f?f ?x 。 如果当?x?0时， 有极限，我们就说函数y=f在点x0处可导，并把这个极限叫做f在点 ?y?x x0处的导数，记作f’或y’|x?x。即f’=lim ?x?0 =lim f?f ?x ?y?x 。 ?x?0 说明:函数f在点x0处可导，是指?x?0时， 点x0处不可导，或说无导数。 20 / 43 精品文档 ?y?x 有极限。如果不存在极限，就说函数在 ?x是自变量x在x0处的改变量，?x?0时，而?y是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f在点x0处的导数的步骤: 求函数的增量?y=f,f; 求平均变化率取极限，得导数f’=lim2(导数的几何意义 函数y=f在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f在点p)处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f在点p)处的切线的斜率是f’。相应地，切线方程为 y,y0=f。(导数的应用 一般地，设函数y?f在某个区间可导，如果f’?0，则f为增函数;如果f’?0，则f为减函数;如果在某区间内恒有f’?0，则f为常数; 曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正; 一般地，在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。?求函数?在内的极值; ?求函数?在区间端点的值?、?; ?将函数? 的各极值与?、?比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 1.曲线y?x?2x?4在点处的切线的倾斜角为 21 / 43 精品文档 A(30? B(45? C(60? D(120? 3 / ?y?x = f?f ?x ; ?y?x ?x?0 。 2 2.设曲线y?ax在点处的切线与直线2x?y?6?0平行， 则a? A(1 B( 12 C(? 12 D(?1 22 / 43 精品文档 x 3.设a?R，若函数y?e?ax，x?R，有大于零的极值点，则 A、a??1 B、a??1C、a?? 1e D、a?? 1e 4.设f?xlnx，若f’?2，则x0? A. eB. e C. 2 ln22 D. ln2 2 5.设P为曲线C:且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为0，y?x?2x?3上的点，?4? ?? ??? 则点P横坐标的取值范围为A(?1，?? ? x ? 1? ?2? 23 / 43 精品文档 0? C(?0，1? B(??1， D( ?1? 1? ?2，?? 6.函数f?e的单调递增区间是 A. B.C. D. D f???e??e x 2 x ???e x ,令f??0,解得x?2,故选D 7.若函数f? x?ax?1 在x?1处取极值，则a? f’, 2x? 2 2 f’, 3?a4 24 / 43 精品文档 ,0 ? a,3 8.曲线y?xe?2x?1在点处的切线方程为。y?3 x?1 y’?e?xe?2，斜率k,e0?0?2,3，所以，y,1,3x，即y?3x ?1.江苏卷8)直线y? 12 x?b是曲线y?lnx?x?0?的一条切线，则实数b,(ln2,1 x x x 10、 已知二次函数y?g的导函数的图像与直线y?2x平行,且y?g在x=,1处取得最小值m,1.设函数f? gx 若曲线y?f上的点P到点Q的距离的最小值为2,求m的值 k如何取值时,函数y?f?kx存在零点,并求出零点. 设g?x??ax?bx?c，则g??x??2ax?b;又g??x?的图像与直线y?2x平行 2 ?2a?2,a?1,又g?x?在x??1取极小值， ? 25 / 43 精品文档 b2 ??1 ，b?2 ?g??1??a?b?c?1?2?c?m?1， c?m;f?x?? 2 g?x?x ?x? mx ?2，设P?xo,yo? 则PQ 2 ?x??y0?2? 2 2 ?m?2 ?x0??x0?? x0?? ?2x? 2 m 22 x0 ?2?2 26 / 43 精品文档 ?2?4m?? 2 ; 由y?f?x??kx??1?k?x? mx ?2?0， 得 ?1?k?x?2x?m?0?*? 2 当k?1时，方程?*?有一解x?? m2 ，函数y?f?x??kx有一零点x?? m2 ; 1m 当k?1时，方程?*?有二解???4?4m?1?k??0，若m?0， k?1? 函数y?f?x?? kx有两个零点x? 2 1?kk?1 ， ? ;若m?0， k?1? 27 / 43 精品文档 1m ，函数y?f?x?? kx有两个零点x? 2 1?k? k?1 ; 当k?1时，方程?*?有一解???4?4m?1?k??0,k?1?零点x? 1k?1 1m , 函数y?f?x??kx有一 11.已知函数f?x3?x2?ax?b ( 若函数f的图象过原点，且在原点处的切线斜率是?3，求a,b的值; 若函数f在区间上不单调，求a的取值范围( ((( 2解析:由题意得f??3x?2x?a又? ?f?b?0 ?f???a??3 ， 解得b?0，a??3或a?1 函数f在区间不单调，等价于导函数f?在既能取到大于0的实数，又能取到 28 / 43 精品文档 小于0的实数 即函数f?在上存在零点，根据零点存在定理，有 f?f??0， 即:[3?2?a][3?2?a]?0 2 整理得:?0，解得?5?a??1 12.设函数f?x?3ax?b.若曲线y?f在点 )处与直线y?8相切，求a,b的值;求函数f的单调区间与极值点. 3 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力(f ‘ ?x??3x2?3a ,?曲线y?f在点)处与直线y?8相切， ‘ ???a?4,?f?2??0?3?4?a??0 ?????? ?f b?24.8?6a?b?8f2?8??????? ‘ ?x??3?x2?a??a?0?, 当a?0时，f ‘ ?x??0，函数 29 / 43 精品文档 ‘ f在???,???上单调递增，此时函数f没有极值点. 当a?0时，由f ?x??0? x ?，当x???,时，f ?’ ?x??0，函数 f单调递增， 当x?时，f ?’ ?x??0，函数 f 单调递减，当x? ??时，f ? ‘ ?x??0，函数 f 单 调递增，?此时x?是f 的极大值点，x?是f的极小值点. 30 / 43 精品文档 3 13.已知函数f?x?3ax?1,a?0???求f的单调区间; ????若 f在x??1处取得极值，直线y=my与y?f的图象有三个不同的交点，求m的取值范围 解析:f’?3x2?3a?3, 当a?0时，对x?R，有f’?0, ‘ 当a?0时，f的单调增区间为,当a?0时，由f?0解得x? 或x? ; 由f?0解得?x?单调减区间为的单调增区间为;f 的 ‘2 因为f在x??1处取得极大值，所以f?3??3a?0,?a?1. 所以f?x?3x?1,f?3x?3, 由f?0解得x1??1,x2?1。 由中f的单调性可知，f在x??1处取得极大值f?1，在x?1处取得极小值f??3。 因为直线y?m与函数y?f的图象有三个不同的交点，又f??19??3，f?17?1， 结合f的单调性可知，m的取值范围是。 3214.(已知函数f?x?ax?x?1，a?R(讨论函数f的 3’2’ 31 / 43 精品文档 单调区间;设函数f在区间?? ? ?23 ，? 1? ?内是减函数，求a的取值范围(? 3222 解:f?x?ax?x?1 求导:f??3x?2ax?1，当a?3时，??0， f??0 f在R上递增，当a?3，f?? 0求得两根为x? 2 3 ?，即f在??? ?3?? ? 递增，? ?33??? ???递增 递减，? ??3??? 2 ?7?332 32 / 43 精品文档 ，且a?解得:a? 41?33? 课题:变化率问题 教学目标: 1(理解平均变化率的概念;(了解平均变化率的几何意义; 3(会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点:平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率; 教学难点:平均变化率的概念( 教学过程: 一、情景导入 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度( 二、知识探究 探究一:气球膨胀率 33 / 43 精品文档 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V与半径r之间的函数关系是V? 43?r ? 如果将半径r表示为体积V的函数,那么r?3V? ? 当V从0增加到1时,气球半径增加了r?r?0.62 气球的平均膨胀率为 r?r ?0.62 1?0 ? 当V从1增加到2时,气球半径增加了r?r?0.16 气球的平均膨胀率为 r?r ?0.16 2?1 r?r V2?V1 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了( 思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 34 / 43 精品文档 探究二:高台跳水: 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间t存在函数关系h= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述 其运动状态? 思考计算:0?t?0.5和1?t?2的平均速度 h?h 在0?t?0.5这段时间里，v??4.05; 0.5?0h?h 在1?t?2这段时间里，v???8.2 2?165 探究:计算运动员在0?t?这段时间里的平均速度，并思考以下问题: 49 ?运动员在这段时间内使静止的吗, ?你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗, 探究过程:如图是函数h= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知， h?h，所以v?49 h?h 65这段时间里的?0，虽然运动员在0?t? 35 / 43 精品文档 6549?049 平均速度为0，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态。 探究:平均变化率 1、平均变化率概念:上述问题中的变化率可用式子 f?f 表示, x2?x1 称为函数f从x1到x2的平均变化率 2(若设?x?x2?x1, ?y?f?f ?f) 则平均变化率为 ?yf?ff?f ? ? x2?x1?x?x ?yf?f 表示什么? ? 直线AB的斜率 思考:观察函数f的图象:平均变化率 3、函数f从x0到x0，?x的平均变化率怎么表示, 三、典例分析 f-f Vx 例1(已知函数f=?x?x的图象上的一点A及临近一 36 / 43 精品文档 点B, 则 2 ?y ?( ?x 2 解:?2??y???， ?y?2??2???3??x ?x?x 例2、求y?x在x?x0附近的平均变化率。 2 ?y2?x0 ?解:?y??x0，所以 ?x?x 2 2 2 x0?2x0?x??x2?x0??2x0??x ?x 所以y?x在x?x0附近的平均变化率为2x0??x 例3、求函数y,5x2，6在区间[2，2，?x]内的平均变化率 例4、某盏路灯距离地面高8m，一个身 高1.7m的人从路灯的正底下出发，以1.4m/s的速 37 / 43 精品文档 度匀速沿某直线离开路灯，求人影长度的平均变化率. 解:略 四(课堂练习 1(质点运动规律为s?t?3，则在时间中相应的平均速度为(.物体按照s=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.5? 3?t 3.过曲线y=f=x3上两点P和Q 作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率. 五(回顾 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 1(平均变化率的概念 2(函数在某点处附近的平均变化率 六(布置作业 课后记: 2 2 22 课题:导数的概念 教学目标: 1(了解瞬时速度、瞬时变化率的概念; 2(理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵;(会求函数在某点的导数 教学重点:瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念; 教学难点:导数的概念( 教学过程: 一、复习引入 38 / 43 精品文档 1、函数平均变化率: ?yf?ff?f ?? ?xx2?x1?x 2、函数平均变化率的几何意义:表示曲线上两点连线的斜率 3、在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映运动员在这段时间里运动状态.因为运动员从高台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。 二、知识探究 1、引例:计算运动员在0?t? 65 这段时间里的平均速度，并思考以下问题:9 ?运动员在这段时间内使静止的吗, ?你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗, 探究过程:如图是函数h= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知， h?h，所以v?49 h?h?0，5?049 虽然运动员在0?t? 65 这段时间里的平均速度为0，但实际情49 39 / 43 精品文档 况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态(、(瞬时速度:我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢,比如，t?2时的瞬时速度是 多少,考察t?2 附近的情况: ?、思考:当?t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势, ?、结论:当?t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时， 平均速度v都趋近于一个确定的值?13.1( ?、从物理的角度看，时间?t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度， 因此，运动员在t?2时的瞬时速度是?13.1m/s ?、为了表述方便，我们用lim h?h ??13.1表示“当t?2，?t趋近于0时， ?t?0?t 平均速度v趋近于定值?13.1” ?、小结:局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度 40 / 43 精品文档 的近似值过渡到瞬时速度的精确值。 3、导数的概念:函数y=f在x=x0处的瞬时变化率是:lim ?x?0 f?f?y ?lim ?x?0?x?x ‘ ‘ 我们称它为函数y?f在x?x0出的导数，记作f或y|x?x0， 即 f??lim ?x?0 f?f ?x f?f x?x0 说明:导数即为函数y=f在x=x0处的瞬时变化率 ?x?x?x0，当?x?0时，x?x0，所以f??lim4、一般地，求函数f在x,x0处的导数有哪几个基本步骤, 第一步，求函数值增量:?y,f,f; 第二步，求平均变化率: ?x?0 41 / 43 精品文档 f-fVy= VxVx =lim第三步，取极限，求导数:f, 5、常见结论:lim Vy Vx?0Vx f-f Vx =-f, m f, n f-fx-x0 x?x0 =f, lim Vx?0 lim f-f Vx Vx?0 =2f, lim f-f nVx Vx?0 = 42 / 43 精品文档 三、典例分析 2 例1(求函数y=3x在x=1处的导数.分析:先求Δy=f-f=6Δx+ 43 / 43