第三章 流体的运动
习题解答
1. 应用连续性方程的条件是什么?
答:不可压缩的流体作定常流动。
2.在推导伯努利方程的过程中,用过哪些条件?伯努利方程的物理意义是什么?
答:在推导伯努利方程的过程中,用过条件是不可压缩、无内摩擦力的流体(即理想流体)作定常流动。方程的物理意义是理想流体作定常流动时,同一流管的不同截面处,单位体积流体的动能、势能与该处压强之和都是相等的。
3.两条木船朝同一方向并进时,会彼此靠拢甚至导致船体相撞。试解释产生这一现象的原因。
答:因为当两条木船朝同一方向并进时,两船之间水的流速增加,根据伯努利方程可知,它们间的压强会减小,每一条船受到外侧水的压力大,因此两船会彼此靠拢甚至导致船体相撞。
4.冷却器由19根Φ20×2mm(即管的外直径为20mm,壁厚为2mm)的列管组成,冷却水由Φ54×2mm的导管流入列管中,已知导管中水的流速为1.4m/s,求列管中水流的速度。
解:已知Φ120×2mm,d1=20-2×2=16mm,n1=19,Φ254×2mm,d2=54-2×2=50mm,v2=1.4m/s,根据连续性方程知:
S0v0= S1v1+S2v2 +……+Snvn,则
m/s
5.水管上端的截面积为4.0×10-4m2,水的流速为5.0 m/s,水管下端比上端低10m,下端的截面积为8.0×10-4m2。(a)求水在下端的流速;(b)如果水在上端的压强为1.5×105Pa,求下端的压强。
解:(a)已知S1=4.0×10-4m2,v1=5.0 m/s,h1=10m,S2=8.0×10-4m2,
=1.5×105Pa ,根据连续性方程:S1v1=S2v2 知:
( m/s)
(b) 根据伯努利方程知:
,h2=0,
=1.0×103 kg/m3
6.水平的自来水管粗处的直径是细处的两倍。如果水在粗处的流速和压强分别是1.00 m/s和1.96×105Pa,那么水在细处的流速和压强各是多少?
解:(a)已知d1=2 d2,v1=1.00m/s,
=1.96×105Pa,根据连续性方程知:S1v1=S2v2
(m/s)
(b) 根据伯努利方程知(水平管):
(Pa)
7.利用压缩空气,把水从一密封的筒内通过一根管以1.2 m/s的流速压出。当管的出口处高于筒内液面0.60m时,问筒内空气的压强比大气压高多少?
解:已知v1=1.2m/s,h1=0.60m,
=
,根据伯努利方程知:
由于S1<< S2,则v2=0,因此
(Pa)
8.汾丘里流速计主管的直径为0.25m,细颈处的直径为0.10m,如果水在主管的压强为5.5×104Pa,在细颈处的压强为4.1×104Pa,求水的流量是多少?
解:已知d1=0.25m,d2=0.10m,
=5.5×104Pa,
=4.1×104Pa,根据汾丘里流速计公式知:
9.一水平管道内直径从200mm均匀地缩小到100mm,现于管道中通以甲烷(密度ρ=0.645 kg/m3),并在管道的1、2两处分别装上压强计(如图3-1),压强计的工作液体是水。设1处U形管压强计中水面高度差h1=40mm,2处压强计中水面高度差h2=-98mm(负号表示开管液面低于闭管液面),求甲烷的体积流量Q。
解:已知d1=200mm=0.200m,d2=100mm=0.100m,
=0.645kg/m3,
=1.0×03kg/m3,h1=40mm=0.040m,h2=-98mm=-0.098m,根据汾丘里流速计公式知:
10.将皮托管插入河水中测量水速,测得其两管中水柱上升的高度各为0.5cm和5.4cm,求水速。
解:已知h1=5.4cm=0.054m,h2=0.5cm=0.005m,根据比托管流速计公式知:
(m/s)
11.如果图3-2所示的装置是一采气管,采集CO2气体,如果压强计的水柱差是2.0cm,采气管的横截面积为10cm2。求5分钟所采集的CO2的量是多少m3?已知CO2的密度为2kg/m3。
解:已知h=2.0cm=0.02m,S=10cm2,t=5min,
=2kg/m3,
=1.0×03kg/m3,根据比托管流速计公式知:
(m/s)
所以5min采集的CO2为:
(L)
12.水桶底部有一小孔,桶中水深h=0.3m。试求在下列情况下,从小孔流出的水相对于桶的速度:(a)桶是静止的;(b)桶匀速上升。
解:(a)已知h1=0.30m,
,S1>> S2,桶是静止时,根据伯努利方程知:
,由于S1>> S2,则v1=0,因此
(m/s)
(b)桶匀速上升时,v2=2.42 (m/s)
13.注射器的活塞截面积S1=1.2cm2,而注射器针孔的截面积S2=0.25mm2。当注射器水平放置时,用f=4.9N的力压迫活塞,使之移动l=4cm,问水从注射器中流出需要多少时间?
解:已知S1=1.2cm2,S2=0.25mm2,f=4.9N,l=4cm ,作用在活塞上的附加压强:
(pa),根据水平管的伯努利方程知:
由于
,
,S1>> S2,则v1≈0,因此
(m/s)
根据连续性方程知:S1v1=S2v2
(m/s)
(s)
14.用一截面为5.0cm2的虹吸管把截面积大的容器中的水吸出。虹吸管最高点在容器的水面上1.20m处,出水口在此水面下0.60m处。求在定常流动条件下,管内最高点的压强和虹吸管的流量。
解:(a)已知SD=5.0cm2=5.0×10-4m2,hB=1.20m,hD=-0.60m,SA>> SD,如图3-10所示,选取容器内液面A为高度参考点,对于A、D两处,
=1.013×105 Pa,应用伯努利方程,则有:
(m/s)
B、D两处(均匀管)应用伯努利方程得:
(pa)
(b)Q=SDvD= 5.0×10-4×3.43=1.72×10-3 (m3/s)
15.匀速地将水注入一容器中,注入的流量为Q=150 cm3/s,容器的底部有面积S=0.50cm2的小孔,使水不断流出。求达到稳定状态时,容器中水的高度。
解:已知Q=150 cm3/s=1.5×10-4m3/s,S2=0.5cm2=5.0×10-5m2,因为以一定流量为Q匀速地将水注入一容器中,开始水位较低,流出量较少,水位不断上升,流出量也不断增加,当流入量等于流出量时,水位就达到稳定,则:
和
(m)
16.如图3-3所示,两个很大的开口容器B和F,盛有相同的液体。由容器B底部接一水平管子BCD,水平管的较细部分C处连接到一竖直的E管,并使E管下端插入容器F的液体内。假设液流是理想流体作定常流动。如果管的C处的横截面积是D处的一半。并设管的D处比容器B内的液面低h,问E管中液体上升的高度H是多少?
解:已知截面积
,由连续性方程得
,考虑到A槽中的液面流速相对于出口处的流速很小,由伯努利方程求得
对C、D两点列伯努利方程:
因为,
,所以,
,即C处的压强小于
,又因为F槽液面的压强也为
,故E管中液柱上升的高度H应满足:
解得
17.使体积为25cm3的水,在均匀的水平管中从压强为1.3×105Pa的截面移到压强为1.1×105Pa的截面时,克服摩擦力做功是多少?
解:已知V=25 cm3=2.5×10-5m3,
=1.3×105Pa,
=1.1×105Pa,由实际流体运动规律知:
(Pa)(水平均匀管)
(J)
18.为什么跳伞员从高空降落时,最后达到一个稳恒的降落速度?
答:跳伞员从高空降落时,最后达到一个稳恒降落速度的原因主要是跳伞员的重力、受到浮力和空气阻力达到平衡,沉降速度恒定。
19.20℃的水,在半径为1.0cm的水平管内流动,如果管中心处的流速是10cm/s。求由于粘性使得管长为2.0m的两个端面间的压强差是多少?
解:已知R=1.0 cm,vmax=10cm/s=0.10m/s,L=2.0m,t=20℃,查表知20℃时水的黏度系数为:
Pas,由泊肃叶定律的推导知:
当r=0,
m/s
(Pa)
20.图3-3为粘性流体沿水平管流动时,压强沿管路降低的情况。若图中h=23cm;h1=15cm;h2=10cm;h3=5cm;a=10cm。求液体在管路中流动的速度。
已知:h=23cm;h1=15cm;h2=10cm;h3=5cm;a=10cm
求:v=?
解:由实际流体运动规律知:1,2两处(水平均匀管)
(J/m3)
容器开口液面处与圆管出口处应用实际流体运动规律知:
得:
(m/s)
21.直径为0.01mm的水滴,在速度为2 cm/s的上升气流中,能否向地面落下?设空气的η=1.8×10-5Pas。
解:已知d=0.01mm=10-5m,v=2 cm/s=0.02 m/s,η=1.8×10-5Pas,水滴受力分析:重力、浮力、粘性阻力,由斯托克斯定律定律知:
(N)
(N)<
故水滴不会落下。
22.水从一截面为5cm2的水平管A,流入两根并联的水平支管B和C,它们的截面积分别为4cm2和3cm2。如果水在管A中的流速为100cm/s,在管C中的流速为50 cm/s。问:(a)水在管B中的流速是多大?(b)B、C两管中的压强差是多少?(c)哪根管中的压强最大?
解:(a)已知SA=5cm2,SB=4cm2,SC=3cm2,vA=100cm/s=1.00m/s,vC=50cm/s=0.50m/s,根据连续性方程知:SAvA= SBvB+SCvC
(m/s)
(b) 根据伯努利方程知:
A、B两处:
A、C两处:
因此,
(Pa)
(c)由以上两个方程可知:
则:
,即C管压强最大。
23.如图3-4所示,在水箱侧面的同一铅直线的上、下两处各开一小孔,若从这两个小孔的射流相交于一点,试证:h1H1=h2H2。
证明:根据小孔流速规律
知:
和
再根据平抛运动规律知:
x=vt和
联立以上关系式得:
由于 x1=x2
所以 h1H1=h2H2 证毕。
24.在一个顶部开启高度为0.1m的直立圆柱型水箱内装满水,水箱底部开有一小孔,已知小孔的横截面积是水箱的横截面积的1/400,(a)求通过水箱底部的小孔将水箱内的水流尽需要多少时间?(b)欲使水面距小孔的高度始终维持在0.1m,把相同数量的水从这个小孔流出又需要多少时间?并把此结果与(a)的结果进行比较。
解:(a)已知h1=0.1m,S2= S1/400,随着水的流出,水位不断下降,流速逐渐减小,根据小孔流速规律知在任意水位处水的流速为:
,该处厚度为dh 的一薄层从小孔流出时间为:
整个水箱的水流尽所需时间为
(s)
(b) 水面距小孔的高度始终维持在0.1m,则小孔速度始终不变为
则相同数量的水从这个小孔流出又需要时间为:
(s)
比较(a)、(b)知:
第四章 振动和波
习题解答
1.一振动的质点沿x轴作简谐振动,其振幅为5.0×10-2m,频率2.0Hz,在时间t=0时,经平衡位置处向x轴正方向运动,求运动方程。如该质点在t=0时,经平衡位置处向x轴负方向运动,求运动方程。
解:已知
,
。
通解方程式为
由t=0时x=0 有
速度表达式为
根据已给条件
有
,考虑
。
∴运动方程为
2.质量为5.0×10-3kg的振子作简谐振动,其运动方程为
式中,x中的单位是m,t的单位是s。试求:(a)角频率、频率、周期和振幅;(b)t=0时的位移、速度、加速度和所受的力;(c)t=0时的动能和势能。
解:(a)根据已给条件
,
。
(b) 将条件t=0带入方程
(c) 动能
势能
3.一轻弹簧受29.43N的作用力时,伸长为9.0×10-2m,今在弹簧下端悬一重量P=24.5N的重物,求此这重物的振动周期。
解:由胡克定律
带入相关数值
4.续上题,若在开始时将重物从平衡位置拉下6.0×10-2m,然后放开任其自由振动,求振动的振幅、初相位、运动方程和振动能量。
5.经验证明,当车辆沿竖直方向振动时,如果振动的加速度不超过1.0m/s2,乘客就不会有不舒服的感觉。若车辆竖直的振动频率为1.5Hz,求车辆振动振幅的最大允许值。
解:由加速度
有
6.质量为m、长圆管半径为r的比重计,浮在密度为ρ的液体中,如果沿竖直方向推动比重计一下,则比重计将上下振动.在不考虑阻力作用的情况下,试证其振动周期为
证:设坐标x向下为正。以比重计在水中的平衡位置为坐标零点,比重计被向下压入水中偏离平衡位置的位移为x,比重计排开水的体积为
,其所受浮力为
其中负号表示力的方向与位移相反。由牛顿第二定律
有
整理有
令
,方程化为振动方程
则
证毕
7.当重力加速度g改变dg时,单摆的周期T的变化dT是多少?找出dT/T与dg/g之间的关系式。
解:单摆周期与加速度关系为
两边取微分,则当重力加速度g改变dg时,单摆的周期T的变化dT是
dT/T与dg/g之间的关系式
8.两个同方向、同周期的简谐振动的运动方程为x1=4cos(3πt+π/3)和x2=3cos(3πt-π/6),试求它们的合振动的运动方程。
解:由同方向、同周期的简谐振动合成振幅表达式有
合振动方程为:
9.设某质点的位移可用两个简谐振动的叠加来表示,其运动方程为x=Asinωt+Bsin2ωt。(a)写出该质点的速度和加速度表示式;(b)这一运动是否为简谐振动?
解:(a)
(b)不是简谐振动
10.已知平面波源的振动方程为y=6.0×10-2cos
t(m),并以2.0m/s的速度把振动传播出去,求:(a)离波源5m处振动的运动方程;(b)这点与波源的相位差。
解:(a)
由已给方程可直接得到:
将x=5m代入波动表达式
(b)相位差
11.一平面简谐波,沿直径为0.14m的圆形管中的空气传播,波的平均强度为8.5×10-3Js-1m-2 ,频率为256Hz,波速为340ms-1,问波的平均能量密度和最大能量密度各是多少?每两个相邻同相面间的空气中有多少能量?
解:已知D=0.14m,平均强度I=8.5×10-3Js-1m-2,ν=256Hz,u=840m/s。
(a)平均能量密度和最大能量密度
(b)两个相邻相面间的空气能量E
12.为了保持波源的振动不变,需要消耗4.0W的功率,如果波源发出的是球面波,求距波源0.5m和1.00m处的能流密度(设介质不吸收能量)。
解:平均能流密度等于单位单位面积上的功率,因此5m处的能流密度为
同理有:1m处为0.318Wm-2
13.设平面横波1沿BP方向传播,它在B点振动的运动方程为y1=2.0×10-3cos2πt,平面横波2沿CP方向传播,它在C点振动的运动方程为y2=2.0×10-3cos(2πt+π),两式中y的单位是m,t的单位是s。P处与B相距0.40m,与C相距0.50m,波速为0.20m/s,求:(a)两波传到P处时的相位差;(b)在P处合振动的振幅。
解:(a)求两波在P点相位差:
1点在P点引起的振动为:
2点在P点引起的振动为:
相位相同,相位差
。
(b)合振动振幅:由于相位相同,合成波的振幅为两波振幅相加
14.平面波斜入射到两种介质(各向同性)的界面,进入到介质2时将发生折射,设该波在介质1和介质2的波速比为5:3,试用惠更斯原理作图画出折射后波的传播方向。
解:注意两波在不同介质中的波速不一样。图4-1以波在介质1中波速快为例作图。
15.已知飞机马达的声强级为120dB,求它的声强。
解:已知声强级为120dB,由声强级定义可知
16.两种声音的声强级相差1dB,求它们的强度之比。
解:设两种声音的声强级分别为A和A+1,
导出
消去I0,有
17.频率为50000Hz的超声波在空气中传播,设空气微粒振动的振幅为0.10×10-6m,求其振动的最大加速度和最大速度。
解:
18.装于海底的超声波探测器发出一束频率为30000Hz的超声波,被迎面驶来的潜水艇反射回来。反射波与原来的波合成后,得到频率为241Hz的拍。求潜水艇的速率。设超声波在海水中的传播速度为1500m/s。
解:本题中的潜水艇接收探测器的超声波然后再反射,所以潜水艇首先是接收者,其次是发射者,这是一个双向多普乐效应问题。设超声波波速为u,潜水艇速度为ν,运用双向多普乐公式,再根据拍频的定义有:
解出
19.对遥远星系发来的光谱分析表明,有一些在
实验室
17025实验室iso17025实验室认可实验室检查项目微生物实验室标识重点实验室计划
已确认的谱线显著地移向了长波端,这种现象叫做谱线红移。谱线红移可以解释为由于光源的退行速度所引起的多普勒频移。例如,钾光谱中易辨认的一对吸收线K线和H线,在地面实验室中是出现在395nm附近;在来自牧夫星座一个星云的光中,却在波长447nm处观测到了这两条谱线。试问该星云正以多大的速度离开地球?
解:多普乐效应可以应用在光学问题上,但应考虑相对论效应,应用光学多普乐公式
对于本题
代入公式解出u=0.123c。
第五章 分子物理学
习题解答
1.压强为1.32×107Pa的氧气瓶,容积是32×10-3m3。为避免混入其他气体,规定瓶内氧气压强降到1.013×106Pa时就应充气.设每天需用0.4m3、1.013×105Pa的氧,一瓶氧气能用几天?
解:用可以使用的气体总量除以每天的使用量即可得到使用的天数。设气体总量为PV,可以用到的最小数值为P*V*,设每天的使用量为Δ(PV)。则可以使用的天数n为:
一瓶氧气可以使用大约9.6天。
2.一空气泡,从3.04×105Pa的湖底升到1.013×105Pa的湖面。湖底温度为7℃,湖面温度为27℃。气泡到达湖面时的体积是它在湖底时的多少倍?
解:设气体在湖底时的状态参量为p1V1T1,在湖面时的状态参量为p2V2T2,设气体为理想气体,满足理想气体方程,考虑到气体总量不变,应有
所以
气体到达湖面时体积扩大为湖底的3.22倍。
3.两个盛有压强分别为p1和p2的同种气体的容器,容积分别为V1和V2,用一带有开关的玻璃管连接。打开开关使两容器连通,并设过程中温度不变,求容器中的压强。
解:设气体的摩尔质量为μ,质量分别为M1和M2,由理想气体方程有
相通合并后气体压强相同,总质量为M1+M2,总体积为V1+V2,应用理想气体方程有
4.在推导理想气体动理论基本方程时,什么地方用到了平衡态的条件?什么地方用到了理想气体的假设?什么地方用到了统计平均的概念?
简答:考虑分子速度无宏观定向运动、运动分组时用到了平衡态的条件,讨论容器体积、分子的平均冲量时用到了理想气体假设(分子自身线度忽略、分子除碰撞瞬间外无相互作用力),对所有分子的集体作用进行叠加时用到了统计平均的概念。
5.将理想气体压缩,使其压强增加1.013×104Pa,温度保持在27℃,问单位体积内的分子数增加多少?
解:由理想气体压强公式
有
6.一容器贮有压强为1.33Pa,温度为27℃的气体,(a)气体分子平均平动动能是多大? (b)1cm3中分子的总平动动能是多少?
解:气体分子的平均平动动能为
平均总动能为
7.大瓶容积为小瓶容积的两倍,大瓶中理想气体的压强为小瓶中同种理想气体的一半,它们的内能是否相等?为什么?
答:理想气体内能为
,将理想气体方程
代入,有
pV乘积相等,同种气体自由度相等,所以内能相等。
8.一容积V=11.2×10-3m3的真空系统在室温(23℃)下已被抽到p1=1.33×10-3Pa。为了提高系统的真空度,将它放在T =573K的烘箱内烘烤,使器壁释放吸附的气体分子。如果烘烤后压强增为p2=1.33Pa,问器壁原来吸附了多少个分子?
解:由理想气体压强公式
9.温度为27℃时,1g氢气、氦气和水蒸汽的内能各为多少?
解:氢气、氦气和水蒸汽分别为双原子、单原子和三原子分子,其自由度分别为5、3、6。根据内能定义
有
10.计算在T=300K时,氢、氧和水银蒸汽的最概然速率、平均速率和方均根速率。
解:最概然速率
,平均速率
,方均根速率
。
代入相关数据:
11.某些恒星的温度达到`108K的数量级,在这温度下原子已不存在,只有质子存在。试求:(a)质子的平均平动动能是多少电子伏特?(b)质子的方均根速率有多大?
解:质子可以看作质点,自由度为3。单个质子的平均平动能为
12.真空管中气体的压强一般约为1.33×10-3Pa。设气体分子直径d = 3.0×10-10m。求在27℃时,单位体积中的分子数及分子的平均自由程。
解:由理想气体压强公式有
13.一矩形框被可移动的横杆分成两部分,横杆与框的一对边平行,长度为10cm。这两部分分别蒙以表面张力系数为40×10-3和70×10-3N/m的液膜,求横杆所受的力。
解:表面张力与表面张力系数关系为
,考虑液膜为双面有
,则横杆所受力为
14.油与水之间的表面张力系数为18×10-3N/m,现将1g的油在水中分裂成直径为2×10-4cm的小滴,问所作的功是多少(假设温度不变,已知油的密度为0.9g/cm3)?
解:一个小油滴表面能为
分裂过程中质量不变,一个大油滴可以分裂成的小油滴个数
所需能量为
。
由于一个大油滴的表面能远小于分裂后的表面能,忽略大油滴的表面能,故破碎一个大油滴所需能量为
。
15.在水中浸入同样粗细的玻璃毛细管,一个是直的,另一个是顶端弯曲的。水在直管中上升的高度比弯管的最高点还要高,那么弯管中是否会有水不断流出?为什么?
答:水与玻璃浸润产生弯曲液面,此弯曲液面产生的附加压强使毛细管中液面上升。当水上升到毛细管管口时,弯曲液面的曲率发生改变,附加压强变小,所以水不会继续上升或向管口处继续流动。
第六章 静电场
习题解答
1.真空中在x-y平面上,两个电量均为10-8C的正电荷分别位于坐标 (0.1, 0) 及(-0.1, 0)上,坐标的单位为m。求: (a) 坐标原点处的场强; (b) 点 (0, 0.1) 处的场强。
解:设
,
为两点电荷产生的场强,其合场强为
=
+
(a) 在原点处,
与
的大小相等,方向相反,即:
E=
+
=0
故合场强为零。
(b) 此时
=
=
=
=
故合场强的大小:
E=2
cos
=
方向为沿Y轴正方向。
2. 设匀强电场的大小为3×105 V/m,方向竖直向下。在该匀强电场中有一个水滴,其上附有10个电子,每个电子带电量为e =-1.6×10-19C。如果该水滴在电场中恰好平衡,求该水滴的重量。
解:设水滴重量为G,则由力的平衡得
G=qE=
3.真空中在x-y平面上有一个由三个电量均为+q的点电荷所组成的点电荷系,这三个点电荷分别固定于坐标为(a, 0) 、(-a, 0)及(0, a)上。(a) 求y轴上坐标为(0, y)点的场强 (y>a);(b) 若y>>a时,点电荷系在(0, y)点产生的场强等于一个位于坐标原点的等效电荷在该处产生的场强,求该等效电荷的电量。
解:(a) 根据电荷分布的对称性,在点(o,y)处(y>a)的合场强的大小为
E=
方向沿y方向。
(b) 当y>>a时
E=
故等效电量为3q。
4.空中均匀带电直线长为2a,其电荷线密度为
,求在带电直线的垂直平分线上且与带电直线相距为a的点的场强。
解:由对称性可得
令
,则可得:
E=
=
5. 真空中一个半径为R的均匀带电圆环,所带电荷为q。试计算在圆环轴线上且与环心相距为x处的场强。
解:圆环电荷线密度为
,则
,
为单位向量,与轴线夹角为
,
且
,由对称性得合场强方向在轴线方向上,且当q为正时,场强由圆心指向该点,反之相反。
大小为
6. 上题中设均匀带电圆环的半径为5.0cm,所带电荷为5.0×10-9C,计算轴线上离环心的距离为5.0cm处的场强。
解:利用上题公式:
E=
=
,方向沿轴线,由圆心指向该点。
7. 真空中长度为l的一段均匀带电直线,电荷线密度为
。求该直线的延长线上,且与该段直线较近一端的距离为d处的场强。
解:长度元
上的电荷
,它在该点产生的场强为:
于是:
E=
=
=
8. 真空中两条无限长均匀带电平行直线相距10cm,其电荷线密度均为
=1.0×10-7C/m。求在与两条无限长带电直线垂直的平面上且与两带电直线的距离都是10cm处的场强。
解:两无线长带电直线在该点产生的场强的大小为:
=
=
,方向夹角为
,
则 E=2
=2
=
方向为在两线所在平面垂直方向上,并由平面指向该点。
9. 真空中两个均匀带电同心球面,内球面半径为0.2m,所带电量为-3.34×10-7C,外球面半径为0.4m,所带电量为5.56×10-7C。设r是从待求场强的点到球心的距离,求:(a) r=0.1m; (b) r=0.3m; (c) r=0.5m处的场强。
解:根据高斯定理:
(a) r=0.1m,
=0 故E=0
(b) r=0.8m,
=q/
故
=-
方向沿半径指向球心。
(c) r=0.5m,
故
=
方向沿半径指向球外。
10. 真空中两个无限长同轴圆柱面,内圆柱面半径为R1,每单位长度带的电荷为+
,外圆柱面半径为R2,每单位长度带的电荷为-
。求空间各处的场强。
解:取半径为r,长为l的同轴圆柱面为高斯面,根据高斯定理
(a)
故 E=0
(b)
故 E=
(c)
故E=0
11. 真空中两个均匀带电的同心球面,内球面半径为R1,外球面半径为R2,外球面的电荷面密度为
,且外球面外各处的场强为零。试求: (a) 内球面上的电荷面密度; (b) 两球面间离球心为r处的场强; (c) 半径为R1的内球面内的场强。
解:取半径为r的同心球面为高斯面,根据高斯定理:
(a)
故
(b)
(c)
故 E=0
12. 设真空中有一半径为R的均匀带电球体,所带总电荷为q,求该球体内、外的场强。
解:均匀带电球体的电荷密度为
,设所求点距球心为r,则由对称性知,与球体同心,半径为r的球面高斯面上的各点的场强大小相等,方向沿着半径。故
(a)当
,由高斯定理
则
,加上方向得
,
为沿半径由球心指向球外的单位向量。
(b) 当
,由高斯定理
则
,加上方向得
,
为沿半径由球心指向球外的单位向量。
13. 真空中分别带有+10C和+40C的两个点电荷,相距为40m。求场强为零的点的位置及该点处的电势。
解:(a)设
和
为两电荷各个单独存在时产生的场强,合场强为零。
要求:
=0,即
,则场强为零的点,必在连接两点电荷的直线上,设该点距+10C的电荷为x,故有:
但
即:
取x<40 x=13.3 m
(b)根据电势叠加原理:
14. 真空中两等值异号点电荷相距2m,q1=8.0×10-6C,q2=-8.0×10-6C。求在两点电荷连线上电势为零的点的位置及该点处的场强。
解:设所求点到两点电荷的距离为
与
,则
且
故
即为连线中点
该点场强的大小为:
,方向为从
指向
。
15. 如图6-4所示,已知r=8cm,a=12cm,q1=q2=
×10-8C,电荷q0=10-9C,求:(a) q0从A移到B时电场力所作的功; (b) q0从C移到D时电场力所作的功。
解:(a)
(b)
16. 真空中长为l的均匀带电直线段,其电荷为+q。求其延长线上且距最近端为d的点的电势。能否通过场强与电势的梯度关系求出该点处的场强?
解:线电荷密度
该点电势:
17. 真空中一个半径为R,均匀带电的半个圆弧,带有正电荷q。(a) 求圆心处的场强; (b) 求圆心处的电势。
解:(a)
由对称性可知,两对称点的合场强
则E的大小为:
=
方向为垂直于半圆直径向下。
(b)圆心处电势,小段圆弧
在圆心处的电势为:
故由电势叠加原理,
=
18. 真空中一个半径为R的均匀带电圆盘,电荷面密度为
。求(a)在圆盘的轴线上距盘心O为x处的电势;(b) 根据场强与电势的梯度关系求出该点处的场强。
解:(a)设从左到右各表面面密度为
,则
,
又由于导体内部场强为零,故
由此可解得
(b)两板间电势差为
19. 如图6-5所示,真空中两块面积很大(可视为无限大)的导体平板A、B平行放置,间距为d,每板的厚度为a,板面积为S。现给A板带电QA,B板带电QB。(a) 分别求出两板表面上的电荷面密度; (b) 求两板之间的电势差。
(a) 当
球体内部场强为零,故E=0
当R
R+d 此时场强为
,
为沿半径由球心指向球外的单位向量。
(b)当
当
当
(c)分别带入数据,则
当
当
当
(d)在r=R处,若无电介质,场强为
电介质极化电荷产生的场强为
,则
,
在r=R+d处,同理得
20. 如图6-6所示,一个导体球带电q =1.00×10-8C,半径为R =10.0cm,球外有一层相对电容率为
=5.00的均匀电介质球壳,其厚度d =10.0cm,电介质球壳外面为真空。 (a) 求离球心O为r处的电位移和电场强度; (b) 求离球心O为r处的电势; (c) 分别取r =5.0cm、15.0cm、25.0cm,算出相应的场强E和电势U的量值; (d) 求出电介质表面上的极化电荷面密度。
解:设极板上电荷为q,则电荷面密度为
,第一层电解质中的场强为
,第二层电解质中的场强为
,则两极板的电势差为
21. 平行板电容器的极板面积为S,两板间的距离为d,极板间充有两层均匀电介质。第一层电介质厚度为d1,相对电容率为
,第二层电介质的相对电容率为
,充满其余空间。设S = 200cm2,d = 5.00mm,d1 = 2.00mm,
= 5.00,
= 2.00,求(a)该电容器的电容;(b) 如果将380V的电压加在该电容器的两个极板上,那么第一层电介质内的场强是多少?
解:(a)此时电量不变,
S为极板,插入电解质后,场强
(b)此时电压不变,插入电解质后,电容
于是电量
此时场强
,故场强不变。
22. 三个电容器其电容分别为C1=4F,C2=1F,C3=0.2F。C1和C2串联后再与C3并联。求(a)总电容C;(b)如果在C3的两极间接上10V的电压,求电容器C3中储存的电场能量。
解:未插入金属板时的电场能:
插入金属板后,因电量不变,则金属板间的场强不变,则两极板间的电势差为:
,
则此时
电场能
23. 有一平行板电容器,极板面积为S,极板间的距离为d,极板间的介质为空气。现将一厚度为d/3的金属板插入该电容器的两极板间并保持与极板平行,求(a)此时该电容器的电容;(b) 设该电容器所带电量q始终保持不变,求插入金属板前后电场能量的变化。
解:该点场强为
故电场能体密度为
24. 一个无限长均匀带电直线的电荷线密度为
=1.67×10-7C/m,被相对电容率
=5.00的无限大均匀电介质所包围,若a点到带电直线的垂直距离为2m,求该点处的电场能量密度。
解:距球心为r
处的场强为
该处的电场能体密度
则在半径为r厚度为
的同心薄球壳中的电场能为: