第3章 动量守恒定律和能量守恒定律 问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
与习题解答
问题：3-1、3-3、3-7、3-10、3-14、3-19
3-1
如图所示，设地球在太阳引力的作用下，绕太阳作匀速圆周运动。试问：在下述情况下，（1）地球从点A运动到点B ,（2）地球从点A运动到点C，（3）地球从点A出发绕行一周又返回点A，地球的动量增量和所受的冲量各为多少？
答：
选太阳处为坐标原点O，且O→C方向为X轴正方向，O→B方向为Y轴正方向，设地球和太阳的质量分别为，两者间的距离为，地球沿反时针方向作匀速圆周运动的速率为，故根据万有引力定律，有：
，即
（1）地球从点A运动到点B的动量增量为：
根据质点的动量定理，地球所受的冲量为：
（2）地球从点A运动到点C的动量增量和所受的冲量为：
（3）同理，地球从点A出发绕行一周回到A点的动量增量和所受的冲量为：
3-3
在上升气球下方悬挂一梯子，梯子站一人。问人站在梯子上不动或以加速度向上攀升，气球的加速度有无变化？
答：
（1）人不动，则气球的加速度不变。
（2）以气球及梯子（总质量为M）与人（质量为m）为系统，地面为参照系，且设人相对梯子上爬的速度为、气球相对地面的速度为，人相对地面的速度为，则有
如果设气球及梯子与人初始为匀速率竖直上升，则可应用动量守恒定律，得
所以，
故得气球的加速度为
由此可知，当人相对于梯子的加速度（相对梯子匀速爬上）时；
而当（加速爬上）时，。
【选地面为参照系，竖直向上为坐标的正方向；设气球及梯子与人初始的加速度大小为，气球浮力为；当人以加速度向上爬时，气球及梯子的加速度为，此时梯子与人之间的相互作用力大小为，则根据牛顿定律，有
解得
当人在梯子上不动时， ，；
当人以相对加速度爬上时，气球及梯子的加速度，有变化。】
【或应用质心运动定律求解。
将人与气球及梯子看成一个系统，其质心的加速度为
因为系统所受合外力恒定，故
即得 ，表明气球加速度的改变与人的加速度变化有关，改变的方向相反。】
3-7
在水平光滑的平面上放一长为，质量为的小车，车的一端站有质量为的人，人和车都是静止不动的。当人以的速率相对地面从车的一端走向另一端，在此过程中人和小车相对地面各移动了多少距离？
解：
如右图，设人、板相对于地面的速率分别为、，方向如图所示；
因为人和板组成的系统沿水平方向的合外力为零，故根据动量守恒定律得
即 ，
人相对于板的速率为
，
设从板的一端走到另一端需要的时间为，则有
，
上式中，为人相对于地面移动的距离， 所以，人相对于地面移动的距离为
，
板相对于地面移动的距离为 。
【或应用质心运动定律求解：
选地面为参照系，开始时人的位置为坐标原点，人走到车的另一端时人的坐标为、车的中心位置坐标为；
人车系统所受合力为零，则根据质心运动定律，有
，即得
又由初始条件 ，得
所以质心位置不变：
即有
解出 ， 】
3-10
质点的动量和动能是否与惯性系的选择有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定理和动能定理是否与惯性系有关？请举例说明。
答：
在两惯性系（）中，质点的速度关系为，故由和知
（1）质点的动量和动能都与惯性系有关；
（2）两惯性系中质点所受的合力，但移动的路程不同，故功与惯性系有关；
（3）不同的惯性系中均有，故，即，所以其动量定理与惯性系无关；同理，根据，可得出，故其动能定理也与惯性系无关。
（举例说明）
3-14
如图所示，光滑斜面与水平面间的夹角为。（1）一质量为的物体沿斜面从点下滑至点C，重力所作的功是多少？（2）若物体从点自由下落至点B，重力所作的功又为多少？从所得结果你能得出什么结论（点在同一水平面上）？
解：（1）、m在斜面上沿下滑时，重力所作的功为：
滑至C点重力所作的功为：
（2）、点自由下落至点B，重力所作的功为：
由此可见， m沿斜面下滑时重力所作的功与m自由下落相同的高度差时重力所作的功相等，且与斜面的倾角的大小无关。
3-19
在弹性碰撞中，有哪些量保持不变，在非弹性碰撞中又有哪些量保持不变？
答：
在碰撞过程中，因系统内物体间的相互作用力远远大于外力，可认为，则根据动量定理，得知在弹性碰撞或非弹性碰撞中系统的总动量保持不变；而在弹性碰撞中，因系统的机械能没有转化为其它形式的能量，故其机械能保持不变。
习题3-1、3-2、3-3、3-4、3-5、（选择题）
3-8、3-11、3-15﹡、3-19、3-23、3-28、3-37
3-1
对质点组有以下几种说法：
（1）质点组总动量的改变与内力无关；
（2）质点组总动能的改变与内力无关；
（3）质点组机械能的改变与保守内力无关；
下列对上述说法判断正确的是（ C ）
（A）只有（1）是正确的 （B）（1）、（2）是正确的
（C）（1）、（3）是正确的 （D）（2）、（3）是正确的
3-2
有两个倾角不同、高度相同、质量一样的斜面放在光滑的水平面上，斜面是光滑的，有两个一样的物块分别从这两个斜面的顶点由静止开始滑下，则（ D ）
（A）物块到达斜面底端时的动量相等
（B）物块到达斜面底端时的动能相等
（C）物块和斜面（以及地球）组成的系统，机械能不守恒
（D）物块和斜面组成的系统水平方向上动量守恒
3-3
对功的概念有以下几种说法：
（1）保守力作正功时，系统内相应的势能增加；
（2）质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零；
（3）作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零。
下列对上述说法中判断正确的是（ C ）
（A）（1）、（2）是正确的 （B）（2）、（3）是正确的
（C）只有（2）是正确的 （D）只有（3）是正确的
3-4
如图所示，质量分别为和的物体A和B，置于光滑桌面上，A和B之间连有一轻弹簧，另有质量为和的物体C和D分别置于物体A与B之上，且物体A和C、B和D之间的摩擦因数均不为零。首先用外力沿水平方向相向推压A和B，使弹簧被压缩，然后撤掉外力，则在A和B弹开的过程中，对A、B、C、D以及弹簧组成的系统，有（ D ）
（A）动量守恒，机械能守恒 （B）动量不守恒，机械能守恒
（C）动量不守恒，机械能不守恒 （D）动量守恒，机械能不一定守恒
3-5
如图所示，子弹射入放在水平光滑地面上静止的木块后而穿出。以地面为参考系，下列说法中正确的说法是（ C ）
（A）子弹减少的动能转变为木块的动能
（B）子弹-木块系统的机械能守恒
（C）子弹动能的减少等于子弹克服木块阻力所作的功
（D）子弹克服木块阻力所作的功等于这一过程中产生的热
3-8
（式中的单位为，的单位为）的合外力作用在质量为的物体上，试求：（1）在开始内此力的冲量；（2）若冲量，此力作用的时间；（3）若物体的初速度，方向与相同，在时，此物体的速度。
解： ，
（1）由定义，得开始内此力的冲量
（2）设从开始到秒内此力的冲量为
则有
解得 （舍去）
（3）由动量定理，得
由上可知， 时，
所以，得
3-11
如图所示，在水平地面上，有一横截面的直角弯管，管中有流速为的水通过，求弯管所受力的大小和方向。
解：
如图所示，稳定流动时，在时间间隔内从管里流出的水的质量为：，
管的弯曲部分AB的水的动量的增量为：
，
则根据动量定理，得管在内对水的冲量为：
而依据冲量的定义，得管在内对水的平均冲力为：
，
故水流对管的作用力为：
，
其大小为：，方向如图所示。
3-15
一质量均匀柔软的绳竖直的悬挂着，绳的下端刚好触到水平面上。如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。是试证明：在绳下落的过程中的任意时刻，作用于桌面上的压力等于已落到桌面上绳的重量的三倍。
解：
如图所示，设开始时绳的上端在原点O，绳的总长为，总质量为，在时刻时落在桌面上的绳长为，其质量为。受力情况如图所示，其中为重力，为桌面的支撑力，为下落的绳子部分对它的冲力。
根据力的平衡条件有：
在时间间隔内落到桌面的线元的速度由（）变为0，因，故可忽略的重力的影响，则根据动量定理得：
整理上式，得： 而
故由上几式得：
，
所以，任意时刻桌面所受压力的大小为：
3-19
一物体在介质中按规律作直线运动，为一常量。设介质对物体的阻力正比于速度的平方。试求物体由运动到时，阻力所做的功。（已知阻力系数为）
解：
依题意，得阻力为：
所作的功为：
3-23
如图所示，A和B两板用一轻弹簧连接起来，它们的质量分别为和。问在A板上需加多大的压力，方可使力停止作用后，恰能使A在跳起来时B稍被提起。（设弹簧的劲度系数为）
解：
选板A、板B、弹簧和地球为同一系统，则该系统在外力F撤去后不受外力作用，且无非保守内力，故此后的运动过程中系统的机械能守恒。
设原点O处的重力势能和弹性势能为零，外力F撤去的一瞬间为初状态，A跳到最高点时为末状态，则根据能量守恒定律，有：
故将上式整理，有：
，
即：
又因为 ，，，
所以： ，另从图中可知：
由上面几式，得： ，在末状态时，B板刚被提起，则要求：，
而 ，，所以，得： 。
[或 （弹簧振子的简谐振动）
撤外力F前，
撤外力F后，A受合力大小为F，方向向上，系统只受保守力作用，故机械能守恒，
且A作简谐振动；A在最高处受合力大小仍为F，方向向下，此时设弹力为 ，
对A：，对B：，所以，得：
3-28
如图所示，把质量的小球放在位置A时，使弹簧被压缩，然后在弹簧的弹性力作用下，小球从位置A 由静止被释放，小球沿轨道ABCD运动。小球与轨道间的摩擦不计。已知为半径的半圆弧，AB相距为。求弹簧劲度系数的最小值。
解：设小球要沿ABCD运动，通过最高点C时的最小速率为，此时轨道对小球的支持力为零，故有：
，
另设A点的重力势能为零，则根据机械能守恒定律，得：
，
故解得：
3-37
如图所示，质量分别为和的两小球A和B，用质量可略去不计的刚性细杆连接，开始时它们静止在Oxy平面上，在图示的外力和的作用下运动。试求：（1）它们质心的坐标与时间的函数关系；（2）系统总动量与时间的函数关系。
解：
（1）如图所示，在时系统的质心坐标为
对小球及杆整体应用质心运动定律，有
变换并积分，有
解出： ，
再变换并积分
，
解出：
（2）应用动量定理并考虑到系统的初动量为零，得t时刻系统的总动量为
【或直接按定义求解：
】
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