双曲线第一定义的应用

双曲线第一定义的应用双曲线第一定义的应用 055350 河北隆尧一中焦景会双曲线第一定义，是双曲线的重要概念，对它的准确理解与正确运用，是学好双曲线的关键，本文举例说明双曲线第一定义的应用。 1、焦半径 22xy例1、设是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，若点到焦点PP,,1F,F121620 9的距离等于，求点P到焦点的距离。 FF21 分析:已知双曲线上的点到一个焦点的距离，求该点到另一个焦点的距离是双曲线第一定义的直接利用形式。 17解析:由及，得或。 ||PF|,|PF||,8|PF|,9|PF|,112...

双曲线第一定义的应用 055350 河北隆尧一中焦景会双曲线第一定义，是双曲线的重要概念，对它的准确理解与正确运用，是学好双曲线的关键，本文举例说明双曲线第一定义的应用。 1、焦半径 22xy例1、设是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，若点到焦点PP,,1F,F121620 9的距离等于，求点P到焦点的距离。 FF21 分析:已知双曲线上的点到一个焦点的距离，求该点到另一个焦点的距离是双曲线第一定义的直接利用形式。 17解析:由及，得或。 ||PF|,|PF||,8|PF|,9|PF|,11212 22a,810由，c,36,c,6 知右支的顶点到的距离为，而已知，F|PF|,911 17PP在左支上，此时，，所以，点到焦点的距离为。说明点|PF|,10F22 点评:此类问题可以是一解，也可以是两解，如:当时，有两解;当|PF|,101 时，有一解，因此，对运算结果必须做合理性分析。 2,|PF|,101 2、焦点三角形 22xy,,1(a,0,b,0)例2、如图，双曲线 22ab 其焦点为，过作直线交双曲线的左支于 F,FFA,B121 两点，且，则,ABF的周长为。 |AB|,m2 AFAF,BFBF,分析:本题中，都是焦半径，而,ABF的周长恰好是这四条焦半径12122之和，应用第一定义便可得。 |AF|,|AF|,2a,21,|AF|，|BF|,(|AF|，|BF|),4a解析:由; ,2211|BF|,|BF|,2a21, |AF|，|BF|,|AB|,m|AF|，|BF|,4a，m由，; ？1122 故的周长为。 ,ABF|AF|，|BF|，|AB|,4a，2m222 点评:本题结合定义，求出，再求周长，简便易行;假如本题未给图|AF|，|BF|22 形及条件“过作直线交双曲线的左支于两点”中“左支”两字，情况又会怎样呢, FA,B1 22xy例4、已知双曲线的左、右两焦点分别为，为双曲线上P,,1(b,N)F,F1224b 2一点，若，且，求的面积。 ,PFF5,|FF|,|PF|,8|PF|,|PF|,|FF|122121212 2b分析:欲求面积，首先要确定的值，由第一定义及可以构成|PF|,|PF|,|FF|1212 方程组，通过方程组求得及的值。 ||PF||PF12 22,,|PF|,|PF|,(2c)|PF|,|PF|,4(4，b)221212解析:由c,4，b，又 ,,,,PFPFPFPF|||,|||,4|||,|||,41212,, 2,,|PF|，|PF|,45，b2212,或， |PF|,25，b,2|PF|,25，b，2,22,||PF|,|PF||,412, 22由于，得，又，即2528，，,b，|FF|,|PF||PF|,8|PF|,25，b，212222 2b,Nb,0b,12b,4从而得，因为且，得或; 22b,1c,4，b,5若，则，此时，不合题意; |FF|,2c,25,512 22b,2c,4，b,8若，则，此时，符合题意; |FF|,2c,42,512 2(||||)2||||PFPFPFPF,,,371212那么，从而 sin，,FPFcos，,,FPF121242||||4PFPF,12 11714,PFF故的面积为 SPFPFFPF,,，,，，,||||sin421212122242 点评:本题考查的是双曲线的定义及常规的运算能力;运算过程既要用要方程思想又要注重分类讨论思想，体现了重思维、轻运算量这一大纲要求。 22xy,,1FF,例5、设是双曲线左右两个焦点，P是双曲线左支上的点，已知12445 成等差数列，且公差大于0，则=_______________.，点P的||||||PFPFFF、、，FPF121212 横坐标为_________. 提示:由，，得，又||||2||PFFFPF，,||||4PFPF,,||6,||10PFPF,,11222112 10214c,，由余弦定理可得，。由cos，,,FPF||()6,PFexa,,,,？，,FPF120121122 716即，得。 x,,,，,(2)6x72 3、类比与联想 22例6、解方程 x，4x，7,x,4x，7,2 22(2)3x，，分析:对第一个式子配方，得。联想两点间的距离公式，可设，y,3 22(2)xy，，此时变为，问题即可解决。 222(x，2)，3,(x,2)，3,2解析:原方程可变为，令， y,3 2222(x，2)，y,(x,2)，y,2则方程以变为，显然，点在以，(x,y)(,2,0) 2y22x,,1为焦点，实轴长为的双曲线上，易得其方程为。 (2,0)3 2,y2x,,1,x,,2由，得。 3, 2,y,3, 2点评:本题假设，使问题很巧妙的转化为几何问题，再结合双曲线的第一定义y,3 使问题获解，这种方法体现了类比、联想思想。双曲线的第一定义这一重要概念应用广泛，应引起足够的重视。椭圆、抛物线的定义也是如此，可加以类比推广之。

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