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数学奥林匹克初中训练题(124)

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数学奥林匹克初中训练题(124) 2009年第 12期 33 熬髫 豁 巍 锄簌潼(1 24) 第 一 试 一 、选择题(每小题 7分 ,共 42分 ) ·.若m= 告 , 则 m(肌+4)的值为( ). ,(A)一 I(B)0(c)÷ (D)丢 2.在△ ABC中,已知 D是 AB的中点, 点E在 Ac上,~[/ AED=90。+ 1 c . 则 BC+2AE—AC是( ). (A)正数 (B)0(C)负数 (D)不确定 3.已知实数 、Y满足 ( +厢 )( +厢 )=16. ① 贝0 +4+ +2...

数学奥林匹克初中训练题(124)
2009年第 12期 33 熬髫 豁 巍 锄簌潼(1 24) 第 一 试 一 、选择题(每小题 7分 ,共 42分 ) ·.若m= 告 , 则 m(肌+4)的值为( ). ,(A)一 I(B)0(c)÷ (D)丢 2.在△ ABC中,已知 D是 AB的中点, 点E在 Ac上,~[/ AED=90。+ 1 c . 则 BC+2AE—AC是( ). (A)正数 (B)0(C)负数 (D)不确定 3.已知实数 、Y满足 ( +厢 )( +厢 )=16. ① 贝0 +4+ +2的值为( ). (A) (B) (c) (D)3 3 4.已知锐角△ ABC的三条高AD、BE、 CF交于点 H则 HD:HE:HF=( ). (A)a:b:c (B)c0s A:cos B:cos C (c) : 1: 1 (D) : 1 : 1 a cos cos cos 0 C A 5.有一列数 a。,n:,⋯,a ,用 S 表示 al+02+⋯ +a . a1:1 005,且 S =n2。 , 则 a ㈣的值为( ). (A) (B) (c) (D 1 6.在凸四边形 ABCD中,AB CD,M 是 AB的中点,Ⅳ是 CD上一点,AN与 DM交于 点E,CM与BN交于点 F.若 S DE+s cF=S晴趣够ME F, 则 DN的值为( (A)丢 (B) (c) (D 3 一 i 、填空题(每小题 7分,共28分) 1.若实数 、Y满 足 4 +Y =1,则 的最小值是 2.在△ABC中, A=60。, B=20。,延 长BC到D使 CD=AB.则 CAD:— — . 3.已知 、Y、 为实数,且 +4y +9z =2 009. 则 +2 +3 的最大值为— — . 4.在△ABC中,AB=1,BC=2,/B一 C = 90。.则△ABC外接圆的半径是 第 二 试 一 、 (20分)已知 a、6、c为正整数,二 次函数 Y:ax +bx+c,当 一2≤ ≤1时, 一 1≤y≤7.求二次函数的解析式. 二、(25分)在正△ ABC中,D、E分别是 1 1 BC、Ac上的点,且BD=÷Bc,cE:÷Ac, J -) 联结AD、BE交于点 F.求证:CF J_AD. 三、(25分 )已知 a、6为任 意 实数. 求J2口+b J、l2a~b J、j1一b J三个数中最大数 的最小值. 中 等 数 学 参 考 答 案 第 一 试 — — 、1.B. 令20+1= ,2b一1=Y.贝0 m : !± : 一2. xy xy 故m(m十4):(m+2)z一4;鱼 一 4:o. 2.B. 如 图 1,作 DF//BC交AC于 点 则/DFE= C,AC =2AF, A E F C 曰C=2DF. 图 1 在△DEF中,作 FG上DE交 DE于点 G. 由 AED=90。+ C=90。+ EFG, 易知EF:DF: 曰C. 故AC=2AF=2(AE+DF)=BC+2AE. 3.C. 由式①易得 ( 一厢 )(,,一再 )= 1. ② 将式①、②分别展开并相减得 +y = . 4.D. 如图2,易知 A HD:HE =COS/ C曰D: COS CHE =COS B:COS A. . ① 同理, HE HF=COS C:COS B. 由式①、②得 D C 图 2 ② liD:HE: =一1 : 1 : 1 COS A COS COS . 廿 5.C. 由S =ii20 ,得 S 一1=(n一1 2a 两式相减并整理得 (n一1) a n一1 r上n : n 2 — — 1 an_1 an m n-I · n-2 · n-3 ⋯ ÷÷。 = ×1 005. 所以,。: : 2 0 10而 = 1 . 6.A. 由题设等式易知 s DN+Sz%BCN=Szvaoc. 如 图 3,过 点 A、B、M作 CD的垂 线,分别交 CD于点 A 、B 、 .贝Ⅱ .44 #MM //BB . 记 DN= , CN =Y, AA’=a.BB =b. A|N M B’C 图 3 由题设知n≠6,且 MM = 1(口+6) . 于是,式①变为 ∞ + 6y:了1(Ⅱ+6).了1( +y), ∞ + 6y Ⅱ+6)‘ ( +y), 即 ( 一y)(a一6)=0. 所以, —y:0 :yj :丢. 二 、1.1一 . 注意到 一 ( ± 2:二( :± :) 2 +Y一1 2x+Y一1 : :2 +y“ 2 +v—l ⋯ 。 令2 +Y+1=k.贝ⅡY=k一2x一1. 代入4 +y2:1中并整理得 ① 2009年第 12期 35 8 +4(1一k) +(k 一2k)=O. 因为 是实数,所以, A:16(1一 )。一32(k 一2k)I>0. 解得 1一 ≤ ≤1+ . 当 一譬 一 吼 取最小值 1一 . 2.800 如 图 4, 在边 CD上 取 点 E,使 BE= AB,联结 AE. 则 等 是 圆 联 ./ AEC: BAE: :80。 = B + BAC: ACE. 故AC=AE. 易知△ABE △ ADC. 所以, CAD= EAB=80。. 3.7、,/123. 由均值不等式知 由 ABC 图 = 90。+ ACB, ABC=90。+ DBC, 则 ACB: DBC~DC=AB~BD=AC j DC=AB=1.BD=AC. 过点 C作AD的垂线,垂足为 设 D=2R,BD=AC= . 由勾股定理得 AC 一CD :AF 一FD = (AF+FD)(AF一肋 )=AD·BC. 代人得 = 1+4R. ① 在 Rt△ABD中,由勾股定理得 BD。:AD 一AB . 即 =4R 一1. ② 由式①、②得4R 一1=1+4R,即 2R 一2R一1:0. 解得 R: (负值舍去). 第 二 试 一 、由题意知二次函数的图像开口向上, 与Y轴的交点在 Y轴的正半轴上,对称轴 = 一 0 <0位于第二、三象限. 二 t 设,( )=似 +如 +c. L (1)如图6,当一 ≤一2时,有 二 t (^一2)=4a一2b+c=一1, ) 1)=a+b+c=7. ( ① 一②得 3(口一6)=一8. 显然,此方程无整数解. 7 _ 。l : / 、 / \ :一2/rJ 、、上,,一1 J y 7 : : \b : 1 二1 图6 图7 (2)如图7,当一2<一2--~<一号时,有 中 等 数 学 一 b)= =-1, ③ 1)=0+b+c=7. ④ 因为 a、b是正整数,所以,由式③得 笔一1:c≥1=:》6 ≥8。,且6为偶数; 由式④得 6=7一a—c≤5. 故b:4,n:2, c=1. 经检验满足条件. (3)如 图 8,当 一 < 一 b <0时 ,有 一 <一 < H寸, 68 . 由式⑥得 7=4a一26+C>2a+c>17. 矛盾. 综上,a=2,b:4,C=1. 故二次函数解析式为Y=2x +4x+1. 二、如图9,过点 A 作AG j_BC于点 G,联 1 结FG.则 BG=÷BC. 易知 △ ABD ov△ BCE. 则 BAD 曰 D G 图 9 C 从而,△ABD∽△BFD BD:历AD ,即 AD .FD :BD : BC2 . 又DG·DC=(BG—BD)(BC—BD) =(丢一÷)(1_ : BC2 = D .FD, 干. .A、F、G、C四 点共 圆. 故 AFC= AGC=90。==>C,上 AD. 三、设l2 +b l、I2a—b l、l 1一b l三个数 中最大数为 .则 I2a+b I≤ ,I2a—b I≤ ,I 1一b l≤ . 故一 ≤2n+b≤ , ① 一 ≤6—2a≤ , ② 一 ≤1一b≤ . ③ ①+②+2×③得一4x≤2≤4 . 解得 ≥ 1. 取2n+6=丢,6—2n=丢,1—6= 时, 得 口=0,b= 1.此时 , l2。+6l:l2n-6I=l1 =吉, = . 故I2n+bl、l2a—bf、I1一bl三个数中最 大数的最小值是÷. (李 明 邱泽胜 安徽省五河县第三 中学,233300) 编 读 往 来 1.安徽读者王建伟来信指 出,《中 等数学}2009年第3期的《两道高中数 学联赛题的新解》题 2的证明中,式③ 以后的“A 、A ”均为“lA l”、“lA I”. 2.安徽读者熊军华来信指 出:《中 等数学))2009年第9期的《数学奥林匹 克高中训练题(121)》中第9题的“ 、Y、 z为非 负实数”应为“ 、Y、 为正数”. 3.北京读者吴中才来信指 出:《中 等数学}2009年第9期的《数学奥林匹 克高中训练题(121)》中的第9题所要 证的不等式左边第二个分式分母“l一 懈”应为“1一 ”.该题 解答最后一行的 ‘ 1)”应为‘ }
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分类:初中数学
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