2009年第 12期 33
熬髫 豁 巍 锄簌潼(1 24)
第 一 试
一
、选择题(每小题 7分 ,共 42分 )
·.若m= 告 ,
则 m(肌+4)的值为( ).
,(A)一 I(B)0(c)÷ (D)丢
2.在△ ABC中,已知 D是 AB的中点,
点E在 Ac上,~[/ AED=90。+ 1 c
. 则
BC+2AE—AC是( ).
(A)正数 (B)0(C)负数 (D)不确定
3.已知实数 、Y满足
( +厢 )( +厢 )=16. ①
贝0 +4+ +2的值为( ).
(A) (B) (c) (D)3 3
4.已知锐角△ ABC的三条高AD、BE、
CF交于点 H则 HD:HE:HF=( ).
(A)a:b:c (B)c0s A:cos B:cos C
(c) : 1: 1 (D) : 1 : 1
a cos cos cos 0 C A
5.有一列数 a。,n:,⋯,a ,用 S 表示
al+02+⋯ +a . a1:1 005,且 S =n2。 ,
则 a ㈣的值为( ).
(A) (B)
(c) (D 1
6.在凸四边形 ABCD中,AB CD,M 是
AB的中点,Ⅳ是 CD上一点,AN与 DM交于
点E,CM与BN交于点 F.若
S DE+s cF=S晴趣够ME F,
则 DN的值为(
(A)丢 (B) (c) (D 3
一
i
、填空题(每小题 7分,共28分)
1.若实数 、Y满 足 4 +Y =1,则
的最小值是
2.在△ABC中, A=60。, B=20。,延
长BC到D使 CD=AB.则 CAD:— — .
3.已知 、Y、 为实数,且
+4y +9z =2 009.
则 +2 +3 的最大值为— — .
4.在△ABC中,AB=1,BC=2,/B一 C
= 90。.则△ABC外接圆的半径是
第 二 试
一
、 (20分)已知 a、6、c为正整数,二
次函数 Y:ax +bx+c,当 一2≤ ≤1时,
一 1≤y≤7.求二次函数的解析式.
二、(25分)在正△ ABC中,D、E分别是
1 1
BC、Ac上的点,且BD=÷Bc,cE:÷Ac,
J -)
联结AD、BE交于点 F.求证:CF J_AD.
三、(25分 )已知 a、6为任 意 实数.
求J2口+b J、l2a~b J、j1一b J三个数中最大数
的最小值.
中 等 数 学
参 考 答 案
第 一 试
— —
、1.B.
令20+1= ,2b一1=Y.贝0
m : !± : 一2.
xy xy
故m(m十4):(m+2)z一4;鱼
一 4:o.
2.B.
如 图 1,作
DF//BC交AC于
点 则/DFE=
C,AC =2AF, A E F C
曰C=2DF. 图 1
在△DEF中,作 FG上DE交 DE于点 G.
由 AED=90。+ C=90。+ EFG,
易知EF:DF: 曰C.
故AC=2AF=2(AE+DF)=BC+2AE.
3.C.
由式①易得
( 一厢 )(,,一再 )= 1. ②
将式①、②分别展开并相减得
+y = .
4.D.
如图2,易知 A
HD:HE
=COS/ C曰D:
COS CHE
=COS B:COS A.
.
①
同理,
HE HF=COS C:COS B.
由式①、②得
D C
图 2
②
liD:HE: =一1 : 1 : 1
COS A COS COS . 廿
5.C.
由S =ii20 ,得 S 一1=(n一1 2a
两式相减并整理得
(n一1) a n一1
r上n :
n
2
— —
1 an_1
an m
n-I
·
n-2
·
n-3
⋯ ÷÷。
= ×1 005.
所以,。: : 2 0 10而 = 1
.
6.A.
由题设等式易知
s DN+Sz%BCN=Szvaoc.
如 图 3,过 点
A、B、M作 CD的垂
线,分别交 CD于点
A 、B 、 .贝Ⅱ
.44 #MM //BB .
记 DN= ,
CN =Y,
AA’=a.BB =b.
A|N M B’C
图 3
由题设知n≠6,且 MM = 1(口+6)
.
于是,式①变为
∞ + 6y:了1(Ⅱ+6).了1( +y), ∞ + 6y Ⅱ+6)‘ ( +y),
即 ( 一y)(a一6)=0.
所以, —y:0 :yj :丢.
二 、1.1一 .
注意到
一
( ± 2:二( :± :)
2 +Y一1 2x+Y一1
: :2 +y“ 2
+v—l ⋯ 。
令2 +Y+1=k.贝ⅡY=k一2x一1.
代入4 +y2:1中并整理得
①
2009年第 12期 35
8 +4(1一k) +(k 一2k)=O.
因为 是实数,所以,
A:16(1一 )。一32(k 一2k)I>0.
解得 1一 ≤ ≤1+ .
当 一譬 一 吼
取最小值 1一 .
2.800
如 图 4,
在边 CD上 取
点 E,使 BE=
AB,联结 AE.
则
等
是
圆
联
./ AEC: BAE: :80。
= B + BAC: ACE.
故AC=AE.
易知△ABE △ ADC.
所以, CAD= EAB=80。.
3.7、,/123.
由均值不等式知
由 ABC 图
= 90。+ ACB,
ABC=90。+ DBC,
则 ACB: DBC~DC=AB~BD=AC
j DC=AB=1.BD=AC.
过点 C作AD的垂线,垂足为
设 D=2R,BD=AC= .
由勾股定理得
AC 一CD :AF 一FD
= (AF+FD)(AF一肋 )=AD·BC.
代人得
= 1+4R. ①
在 Rt△ABD中,由勾股定理得
BD。:AD 一AB
.
即 =4R 一1. ②
由式①、②得4R 一1=1+4R,即
2R 一2R一1:0.
解得 R: (负值舍去).
第 二 试
一
、由题意知二次函数的图像开口向上,
与Y轴的交点在 Y轴的正半轴上,对称轴
= 一
0
<0位于第二、三象限.
二 t
设,( )=似 +如 +c.
L
(1)如图6,当一 ≤一2时,有
二 t
(^一2)=4a一2b+c=一1, )
1)=a+b+c=7. (
① 一②得 3(口一6)=一8.
显然,此方程无整数解.
7 _
。l
: /
、 /
\ :一2/rJ
、、上,,一1
J y
7
:
:
\b
: 1
二1
图6 图7
(2)如图7,当一2<一2--~<一号时,有
中 等 数 学
一 b)= =-1, ③
1)=0+b+c=7. ④
因为 a、b是正整数,所以,由式③得
笔一1:c≥1=:》6 ≥8。,且6为偶数;
由式④得
6=7一a—c≤5.
故b:4,n:2,
c=1.
经检验满足条件.
(3)如 图 8,当
一 < 一
b
<0时 ,有 一 <一 < H寸,
6
8
.
由式⑥得
7=4a一26+C>2a+c>17.
矛盾.
综上,a=2,b:4,C=1.
故二次函数解析式为Y=2x +4x+1.
二、如图9,过点 A
作AG j_BC于点 G,联
1
结FG.则 BG=÷BC.
易知
△ ABD ov△ BCE.
则 BAD
曰 D G
图 9
C
从而,△ABD∽△BFD BD:历AD
,即
AD .FD :BD : BC2
.
又DG·DC=(BG—BD)(BC—BD)
=(丢一÷)(1_
:
BC2
= D .FD,
干. .A、F、G、C四 点共 圆.
故 AFC= AGC=90。==>C,上 AD.
三、设l2 +b l、I2a—b l、l 1一b l三个数
中最大数为 .则
I2a+b I≤ ,I2a—b I≤ ,I 1一b l≤ .
故一 ≤2n+b≤ , ①
一 ≤6—2a≤ , ②
一 ≤1一b≤ . ③
①+②+2×③得一4x≤2≤4 .
解得 ≥ 1.
取2n+6=丢,6—2n=丢,1—6= 时,
得 口=0,b= 1.此时 ,
l2。+6l:l2n-6I=l1 =吉, = .
故I2n+bl、l2a—bf、I1一bl三个数中最
大数的最小值是÷.
(李 明 邱泽胜 安徽省五河县第三
中学,233300)
编 读 往 来
1.安徽读者王建伟来信指 出,《中
等数学}2009年第3期的《两道高中数
学联赛题的新解》题 2的证明中,式③
以后的“A 、A ”均为“lA l”、“lA I”.
2.安徽读者熊军华来信指 出:《中
等数学))2009年第9期的《数学奥林匹
克高中训练题(121)》中第9题的“ 、Y、
z为非 负实数”应为“ 、Y、 为正数”.
3.北京读者吴中才来信指 出:《中
等数学}2009年第9期的《数学奥林匹
克高中训练题(121)》中的第9题所要
证的不等式左边第二个分式分母“l一
懈”应为“1一 ”.该题 解答最后一行的
‘ 1)”应为‘ }