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数学奥林匹克初中训练题(104) 课外训练 数学奥林匹克初中训练题 (104) 第 一 试 一、选择题 (每小题 7 分 ,共 42 分) 1. 有两个四位数 ,它们的差是 534 ,它们 平方数的末四位数相同. 则较大的四位数有 (   )种可能. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 2. 在 △ABC 中 , D、E 分别是边 AB 、BC 上的点 ,且 B EEC + BD DA = 2 2 ,A E 与 CD 交于 F , B F 的延长线交AC 于 G. 则B FFG = (   ) . (A) 2 (B) ...

数学奥林匹克初中训练题(104)
课外训练 数学奥林匹克初中训练题 (104) 第 一 试 一、选择题 (每小题 7 分 ,共 42 分) 1. 有两个四位数 ,它们的差是 534 ,它们 平方数的末四位数相同. 则较大的四位数有 (   )种可能. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 2. 在 △ABC 中 , D、E 分别是边 AB 、BC 上的点 ,且 B EEC + BD DA = 2 2 ,A E 与 CD 交于 F , B F 的延长线交AC 于 G. 则B FFG = (   ) . (A) 2 (B) 2 2 (C) 4 2 (D) 8 3. 已知 x 为实数 ,且 | 3x - 1| + | 4x - 1| + ⋯+ | 17x - 1| 的值是一个确定的常数 . 则这个常数是 (   ) . (A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 75 4. 已知 △ABC、△BCD 均为正三角形 ,且 点 A 、D 位于边 BC 的异侧. 过 D 的直线交 AB 的延长线于点 P、交 AC 的延长线于点 Q , 联结 PC、QB 交于点 M . 则∠BMC = (   ) . (A) 105° (B) 120° (C) 145° (D) 150° 5.已知α、β是方程 x2 + x - 1 = 0 的两 根. 则α16 - 987β+ 411 的值为 (   ) . (A) 2 006 (B) 2 007 (C) 2 008 (D) 2 009 6. 已知 ⊙O 是锐角 △ABC 的外接圆 , N 是BC 的中点 ,点 M 在 OA 上 ,且 ∠ABC = 4 ∠ONM , ∠ACB = 6 ∠ONM . 则 ∠OMN 与 ∠ONM 的大小关系为 (   ) . (A) ∠OMN > ∠ONM (B) ∠OMN = ∠ONM (C) ∠OMN < ∠ONM (D)不能确定 二、填空题 (每小题 7 分 ,共 28 分) 1. 若关于 x 的函数 y = ( a - 3) x2 - (4 a - 1) x + 4 a 的图像与坐标轴有两个交点 ,则 a 的值为 . 2. 若 P 是四边形 ABCD 内任意一点 ,且 S △PAB + S △PCD = 1 2 S四边形ABCD 恒成立 ,那么 ,四边形 ABCD 的形状为 . 3. 已知 a、b、c 为正数 ,且 b2 + c2 - a2 2bc + a 2 + c 2 - b2 2 ac + a 2 + b2 - c2 2ab >1. 则以 a、b、c 为边 构成三角形 (填 “能”或“不能”) . 4. 四边形 ABCD 是 ⊙O 的外切四边形. 则△ABC 的内切圆 ⊙O1 与 △ACD 的内切圆 ⊙O2 的位置关系是 . 第 二 试 一、(20 分) 已知 a、b、c 为正实数 ,且 abc = 1. 求 a ( a + 1) ( b + 1) + b ( b + 1) ( c + 1) + c ( c + 1) ( a + 1) 的最小值. 二、(25 分) 命题“如果两个等腰三角形 的周长相等 ,面积也相等 ,那么 ,它们全等”是 否为真命题 ? 若是 ,给出证明 ;若不是 ,请举 出一个反例. 三、(25 分)设 x、y、a、m、n 均为正整数 , 且 x + y = am ,x2 + y2 = an .求 a300是多少位数. 732007 年第 12 期 参 考 答 案 第 一 试   一、1. C. 设较大的四位数为 x ,较小的四位数为 y . 则 x - y = 534 , ① 且 x2 - y2 能被 10 000 整除. 而 x2 - y2 = ( x + y) ( x - y) = 267 ×2 ( x + y) ,则 x + y 能被 5 000 整除. 令 x + y = 5 000 k ( k ∈N+ ) . ② 由式 ①、②解得 x = 2 500 k + 267 , y = 2 500 k - 267. 考虑到 x、y 均为四位数 ,于是 , 1 000 ≤2 500 k + 267 ≤9 999 , 1 000 ≤2 500 k - 267 ≤9 999. 解得1 2672 500 ≤k ≤3 558 625. k 可取 1 ,2 或 3. 从而 , x 可取的值有三个 :2 767 ,5 267 ,7 767. 2. B. 图 1 如图 1 ,注意到 B F FG = S △AB F + S △B FC S △AFC = S △AB F S △AFC + S △B FC S △AFC . 又因 B EEC = S △AB F S △AFC , BD AD = S △B FC S △AFC , 所以 , B FFG = B E EC + BD AD = 2 2. 3. A. 由于原式的值是一个确定的常数 ,则把绝对值 符号去掉后应消去 x . 而 3 + 4 + ⋯+ 12 = 13 + 14 + ⋯+ 17 ,因此 , 12 x - 1 ≤0 ,且 13 x - 1 ≥0. 解得 113 ≤x ≤ 1 12 . 故原式 = (1 - 3 x) + (1 - 4 x) + ⋯+ (1 - 12 x) + (13 x - 1) + (14 x - 1) + ⋯+ (17 x - 1) = 5. 4. B. 如图 2 ,易知 △PBD ∽ △DCQ. 图 2 故 PBDC = BD CQ . 又 DC = BD = BC ,则 PB BC = BC CQ . 由 ∠PBC = ∠BCQ = 120°,可得 △PBC ∽ △BCQ ] ∠2 = ∠1. 在 △B PM 中 ,有 ∠BMC = ∠2 + ∠PBM = ∠1 + ∠PBM = ∠PBC = 120°. 5. C. 由已知得α2 = 1 - α且α+β= - 1. 于是 , α4 = (1 - α) 2 = 1 - 2α+α2 = 2 - 3α, α8 = (2 - 3α) 2 = 4 - 12α+ 9α2 = 13 - 21α, α16 = (13 - 21α) 2 = 169 - 546α+ 441α2 = 610 - 987α. 故α16 - 987β+ 411 = (610 - 987α) - 987β+ 411 = 1 021 - 987 (α+β) = 1 021 + 987 = 2 008. 6. B. 图 3 如图 3 ,联结 OB ,延 长 ON 交 ⊙O 于点 D ,联 结 AD. 设 ∠ONM = x ,则 ∠ABC = 4 x , ∠ACB = 6 x . 故 ∠AOB = 2 ∠ACB = 12 x , ∠BAC = 180°- 10 x . 由垂径定理的逆定理知点 D 平分BC. 因此 , ∠BAD = 12 ∠BAC = 90°- 5 x . 又 ∠BAO = ∠ABO = 180°- ∠AOB2 = 90°- 6 x ,则 ∠OAD = ∠BAD - ∠BAO = x . 在 △OAD 中 , OA = OD ,则 ∠D = ∠OAD = x . 从而 , ∠ONM = ∠D , MN ∥AD . 有 ∠OMN = ∠OAD = x = ∠ONM . 二、1. 3 ,0 或 - 140 . 当 a - 3 = 0 ,即 a = 3 时 ,原函数变为 y = - 11 x + 12 ,其图像与坐标轴有两个交点 . 当 a - 3 ≠0 ,即 a ≠3 时 ,原函数为二次函数 ,它 与 y 轴一定有一个交点 ,当此交点不是原点时 ,它与 x 轴只能有一个交点 . 所以 , Δ= (4 a - 1) 2 - 16 a ( a - 3) = 0. 83 中 等 数 学 解得 a = - 140 . 当此交点是原点时 , a = 0 ,它必 与 x 轴有两个不同的交点 . 综上可知 a = 3 ,0 或 - 140 . 2. 平行四边形 . 图 4 如图 4 , 过点 P 作 PP′∥AB ,点 P′在 四边形 ABCD 内 ,联结 P′A、P′B 、P′C、P′D. 则 S △PAB = S △P′AB . 由已知得 S △P′AB + S △P′CD = 1 2 S四边形ABCD = S △PAB + S △PCD . 所以 , S △P′CD = S △PCD . 于是 , PP′∥CD. 因此 ,AB ∥CD. 而 S △PAD + S △PBC = S四边形ABCD - 12 S四边形ABCD = 1 2 S四边形ABCD , 同理 ,AD ∥BC. 故四边形 ABCD 是平行四边形 . 3. 能. 考虑到 a、b、c 是正数 ,将已知式去分母得 a ( b2 + c2 - a2 ) + b ( a2 + c2 - b2 ) > 2 abc - c ( a2 + b2 - c2 ) . 上式两边分别分解因式得 ( a + b) ( a + c - b) ( b + c - a) > c ( a + c - b) ( b + c - a) , 即  ( a + b - c) ( a + c - b) ( b + c - a) > 0. 由对称性 ,不妨设 a ≥b ≥c. 则 a + b - c > 0 , a + c - b > 0. 所以 , b + c - a > 0 ,即 b + c > a. 故以 a、b、c 为边能构成三角形 . 4. 外切. 图 5 如图 5 , 设 ⊙O1 、⊙O2 与 AC 分别相切于点 E、F. 则 AE = 12 (AB + AC - BC) , AF = 12 (AD + AC - CD) . 因为四边形 ABCD 是 ⊙O 的外切四边形 ,所以 , AB + CD = AD + BC. 故 AE - AF = 12 ( AB + CD - AD - BC) = 0 , 即  AE = AF. 因此 ,点 E 与 F 重合 . 故 ⊙O1 与 ⊙O2 外切. 第 二 试 一、当 a = b = c = 1 时 ,原式 = 34 . 下面比较原式与 34 的大小. a ( a + 1) ( b + 1) + b ( b + 1) ( c + 1) +   c( c + 1) ( a + 1) - 3 4 = ab + ac + bc + a + b + c - 6 4 ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) . 由于 abc = 1 ,且 a、b、c 为正实数 ,则 ab + ac + bc + a + b + c - 6 = ( a + 1 a - 2) + ( b + 1b - 2) + ( c + 1 c - 2) ≥0. 又 4 ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) > 0 ,故 a ( a + 1) ( b +1) + b ( b +1) (c +1) + c (c + 1) ( a +1) ≥3 4 . 因此 ,所求代数式的最小值为 34 . 二、原命题是假命题 . 举反例如下. 如图 6、7. △ABC、△A′B′C′均为等腰三角形 , BC、B′C′是它们的底边 ,AD、A′D′分别是它们的高 . 设 AD = 4 k ,A′D′= 2 k , BC = 2 a , B′C′= 4 a. 根据等腰三角形性质及勾股定理得 AB = AC = a2 + 16 k2 , A′B′= A′C′= 4 a2 + 4 k2 = 2 a2 + k2 . 932007 年第 12 期   由于 △ABC、△A′B′C′周长相等 ,则 2 a2 + 16 k2 + 2 a = 4 a2 + k2 + 4 a , 即   a2 + 16 k2 = 2 a2 + k2 + a. ① 将式 ①两边平方并整理得 a a 2 + k2 = 3 k2 - a2 . ② 将式 ②两边平方并整理得 9 k4 - 7 k2 a2 = 0. 注意到 k > 0 ,解得 k = 73 a. 取 a = 3 ,则 k = 7. 故三边长分别为 11、11、6 和 8、8、12 的两个三角 形的周长相等 ,面积也相等 ,但显然不全等 . 三、由已知得 a 2m = x 2 + y2 + 2 xy = an + 2 xy . ① 由题设及式 ①知 a2m > an . 于是 ,2 m > n. 将式 ①两边同除以 an ,得 a 2m - n = 1 + 2 xy a n . ② 由于式 ②左边为正整数 ,所以 , an 能整除 2 xy . 从而 ,2 xy ≥an = x2 + y2 ,即 ( x - y) 2 ≤0. 解得 x = y . 因此 ,2 x = am ,2 x2 = an . 所以 , a2m - n = 2. 考虑到 a 及 2m - n 均为正整数 ,故 a = 2 ,此时 , 2 m - n = 1. 下面求 2300是多少位整数 . 因为 2300 = (210 ) 30 = 1 02430 > (103 ) 30 = 1090 ,所 以 ,2300是不少于 91 位的整数. 又2 300 1091 = 1 10 × 1 02430 1 00030 < 1 10 × 1 025 1 000 30 = 1 10 × 41 40 30 < 1 10 × 41 40 × 40 39 ×⋯× 12 11 = 1 10 × 41 11 = 41 110 < 1 , 所以 ,2300 < 1091 . 故 2300是少于 92 位的整数. 从而 ,可知 a300是 91 位数. (李  明  王成勇  安徽省五河县第三中学 , 233300) 数学奥林匹克高中训练题 (104) 第 一 试 一、选择题 (每小题 6 分 ,共 36 分) 1. 已知△ABC 为锐角三角形 , f ( x) = - x2 + 2 x + m , p = sin A + sin B + sin C , q = cos A + cos B + cos C. 则 (   ) . (A) f ( p) > f ( q) (B) f ( p) = f ( q) (C) f ( p) < f ( q) (D)以上三种情况均有可能 2. 设方程 x = ln ax ( a 为常数且 a ≠0) . 则 (   ) . (A)当 a < 0 时 ,没有实根 (B)当 0 < a < e 时 ,有一个实根 (C)当 a = e 时 ,有三个实根 (D)当 a > e 时 ,有两个实根 3. 已知长方体的表面积为452 cm 2 ,所有 棱长的总和为 24 cm. 那么 ,长方体的体对角 线与棱所成的最大角为 (   ) . (A) arccos 13 (B) arccos 2 3 (C) arccos 39 (D) arccos 6 9 4.已知 △ABC 的外接圆圆心为 O , BC > CA > AB . 则 (   ) . (A) OA·OB > OA·OC > OB·OC (B) OA·OB > OB·OC > OC·OA (C) OB·OC > OC·OA > OA·OB (D) OA·OC > OC·OB > OA·OB 04 中 等 数 学
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分类:初中数学
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