课外训练
数学奥林匹克初中训练题 (104)
第 一 试
一、选择题 (每小题 7 分 ,共 42 分)
1. 有两个四位数 ,它们的差是 534 ,它们
平方数的末四位数相同. 则较大的四位数有
( )种可能.
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
2. 在 △ABC 中 , D、E 分别是边 AB 、BC
上的点 ,且 B EEC +
BD
DA = 2 2 ,A E 与 CD 交于 F ,
B F 的延长线交AC 于 G. 则B FFG = ( ) .
(A) 2 (B) 2 2 (C) 4 2 (D) 8
3. 已知 x 为实数 ,且
| 3x - 1| + | 4x - 1| + ⋯+ | 17x - 1|
的值是一个确定的常数 . 则这个常数是
( ) .
(A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 75
4. 已知 △ABC、△BCD 均为正三角形 ,且
点 A 、D 位于边 BC 的异侧. 过 D 的直线交
AB 的延长线于点 P、交 AC 的延长线于点 Q ,
联结 PC、QB 交于点 M . 则∠BMC = ( ) .
(A) 105° (B) 120° (C) 145° (D) 150°
5.已知α、β是方程 x2 + x - 1 = 0 的两
根. 则α16 - 987β+ 411 的值为 ( ) .
(A) 2 006 (B) 2 007 (C) 2 008 (D) 2 009
6. 已知 ⊙O 是锐角 △ABC 的外接圆 , N
是BC 的中点 ,点 M 在 OA 上 ,且 ∠ABC =
4 ∠ONM , ∠ACB = 6 ∠ONM . 则 ∠OMN 与
∠ONM 的大小关系为 ( ) .
(A) ∠OMN > ∠ONM
(B) ∠OMN = ∠ONM
(C) ∠OMN < ∠ONM
(D)不能确定
二、填空题 (每小题 7 分 ,共 28 分)
1. 若关于 x 的函数
y = ( a - 3) x2 - (4 a - 1) x + 4 a
的图像与坐标轴有两个交点 ,则 a 的值为
.
2. 若 P 是四边形 ABCD 内任意一点 ,且
S △PAB + S △PCD =
1
2 S四边形ABCD
恒成立 ,那么 ,四边形 ABCD 的形状为 .
3. 已知 a、b、c 为正数 ,且
b2 + c2 - a2
2bc +
a
2
+ c
2
- b2
2 ac +
a
2
+ b2 - c2
2ab >1.
则以 a、b、c 为边 构成三角形 (填
“能”或“不能”) .
4. 四边形 ABCD 是 ⊙O 的外切四边形.
则△ABC 的内切圆 ⊙O1 与 △ACD 的内切圆
⊙O2 的位置关系是 .
第 二 试
一、(20 分) 已知 a、b、c 为正实数 ,且
abc = 1. 求
a
( a + 1) ( b + 1) +
b
( b + 1) ( c + 1) +
c
( c + 1) ( a + 1)
的最小值.
二、(25 分) 命题“如果两个等腰三角形
的周长相等 ,面积也相等 ,那么 ,它们全等”是
否为真命题 ? 若是 ,给出证明 ;若不是 ,请举
出一个反例.
三、(25 分)设 x、y、a、m、n 均为正整数 ,
且 x + y = am ,x2 + y2 = an .求 a300是多少位数.
732007 年第 12 期
参 考 答 案
第 一 试
一、1. C.
设较大的四位数为 x ,较小的四位数为 y . 则
x - y = 534 , ①
且 x2 - y2 能被 10 000 整除.
而 x2 - y2 = ( x + y) ( x - y) = 267 ×2 ( x + y) ,则
x + y 能被 5 000 整除.
令 x + y = 5 000 k ( k ∈N+ ) . ②
由式 ①、②解得
x = 2 500 k + 267 ,
y = 2 500 k - 267.
考虑到 x、y 均为四位数 ,于是 ,
1 000 ≤2 500 k + 267 ≤9 999 ,
1 000 ≤2 500 k - 267 ≤9 999.
解得1 2672 500 ≤k ≤3
558
625.
k 可取 1 ,2 或 3.
从而 , x 可取的值有三个 :2 767 ,5 267 ,7 767.
2. B.
图 1
如图 1 ,注意到
B F
FG =
S △AB F + S △B FC
S △AFC
=
S △AB F
S △AFC
+
S △B FC
S △AFC
.
又因 B EEC =
S △AB F
S △AFC
,
BD
AD =
S △B FC
S △AFC
,
所以 , B FFG =
B E
EC +
BD
AD = 2 2.
3. A.
由于原式的值是一个确定的常数 ,则把绝对值
符号去掉后应消去 x .
而 3 + 4 + ⋯+ 12 = 13 + 14 + ⋯+ 17 ,因此 ,
12 x - 1 ≤0 ,且 13 x - 1 ≥0.
解得 113 ≤x ≤
1
12 .
故原式 = (1 - 3 x) + (1 - 4 x) + ⋯+ (1 - 12 x) +
(13 x - 1) + (14 x - 1) + ⋯+ (17 x - 1)
= 5.
4. B.
如图 2 ,易知 △PBD ∽ △DCQ.
图 2
故 PBDC =
BD
CQ .
又 DC = BD = BC ,则
PB
BC =
BC
CQ .
由 ∠PBC = ∠BCQ =
120°,可得
△PBC ∽ △BCQ ] ∠2 = ∠1.
在 △B PM 中 ,有
∠BMC = ∠2 + ∠PBM = ∠1 + ∠PBM
= ∠PBC = 120°.
5. C.
由已知得α2 = 1 - α且α+β= - 1. 于是 ,
α4 = (1 - α) 2 = 1 - 2α+α2 = 2 - 3α,
α8 = (2 - 3α) 2 = 4 - 12α+ 9α2 = 13 - 21α,
α16 = (13 - 21α) 2 = 169 - 546α+ 441α2 = 610 - 987α.
故α16 - 987β+ 411 = (610 - 987α) - 987β+ 411
= 1 021 - 987 (α+β) = 1 021 + 987 = 2 008.
6. B.
图 3
如图 3 ,联结 OB ,延
长 ON 交 ⊙O 于点 D ,联
结 AD. 设 ∠ONM = x ,则
∠ABC = 4 x ,
∠ACB = 6 x .
故 ∠AOB = 2 ∠ACB
= 12 x ,
∠BAC = 180°- 10 x .
由垂径定理的逆定理知点 D 平分BC.
因此 , ∠BAD = 12 ∠BAC = 90°- 5 x .
又 ∠BAO = ∠ABO = 180°- ∠AOB2 = 90°- 6 x ,则
∠OAD = ∠BAD - ∠BAO = x .
在 △OAD 中 , OA = OD ,则 ∠D = ∠OAD = x .
从而 , ∠ONM = ∠D , MN ∥AD .
有 ∠OMN = ∠OAD = x = ∠ONM .
二、1. 3 ,0 或 - 140 .
当 a - 3 = 0 ,即 a = 3 时 ,原函数变为 y = - 11 x
+ 12 ,其图像与坐标轴有两个交点 .
当 a - 3 ≠0 ,即 a ≠3 时 ,原函数为二次函数 ,它
与 y 轴一定有一个交点 ,当此交点不是原点时 ,它与
x 轴只能有一个交点 . 所以 ,
Δ= (4 a - 1) 2 - 16 a ( a - 3) = 0.
83 中 等 数 学
解得 a = - 140 . 当此交点是原点时 , a = 0 ,它必
与 x 轴有两个不同的交点 .
综上可知 a = 3 ,0 或 - 140 .
2. 平行四边形 .
图 4
如图 4 , 过点 P
作 PP′∥AB ,点 P′在
四边形 ABCD 内 ,联结
P′A、P′B 、P′C、P′D.
则 S △PAB = S △P′AB .
由已知得
S △P′AB + S △P′CD =
1
2 S四边形ABCD = S △PAB + S △PCD .
所以 , S △P′CD = S △PCD .
于是 , PP′∥CD. 因此 ,AB ∥CD.
而 S △PAD + S △PBC = S四边形ABCD - 12 S四边形ABCD
=
1
2 S四边形ABCD ,
同理 ,AD ∥BC.
故四边形 ABCD 是平行四边形 .
3. 能.
考虑到 a、b、c 是正数 ,将已知式去分母得
a ( b2 + c2 - a2 ) + b ( a2 + c2 - b2 )
> 2 abc - c ( a2 + b2 - c2 ) .
上式两边分别分解因式得
( a + b) ( a + c - b) ( b + c - a)
> c ( a + c - b) ( b + c - a) ,
即 ( a + b - c) ( a + c - b) ( b + c - a) > 0.
由对称性 ,不妨设 a ≥b ≥c. 则
a + b - c > 0 , a + c - b > 0.
所以 , b + c - a > 0 ,即 b + c > a.
故以 a、b、c 为边能构成三角形 .
4. 外切.
图 5
如图 5 , 设 ⊙O1 、⊙O2
与 AC 分别相切于点 E、F.
则
AE = 12 (AB + AC - BC) ,
AF = 12 (AD + AC - CD) .
因为四边形 ABCD 是
⊙O 的外切四边形 ,所以 ,
AB + CD = AD + BC.
故 AE - AF = 12 ( AB + CD - AD - BC) = 0 ,
即 AE = AF.
因此 ,点 E 与 F 重合 . 故 ⊙O1 与 ⊙O2 外切.
第 二 试
一、当 a = b = c = 1 时 ,原式 = 34 .
下面比较原式与 34 的大小.
a
( a + 1) ( b + 1) +
b
( b + 1) ( c + 1) +
c( c + 1) ( a + 1) -
3
4
=
ab + ac + bc + a + b + c - 6
4 ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) .
由于 abc = 1 ,且 a、b、c 为正实数 ,则
ab + ac + bc + a + b + c - 6
= ( a + 1
a
- 2) + ( b + 1b - 2) + ( c +
1
c
- 2)
≥0.
又 4 ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) > 0 ,故
a
( a + 1) ( b +1) +
b
( b +1) (c +1) +
c
(c + 1) ( a +1)
≥3
4 .
因此 ,所求代数式的最小值为 34 .
二、原命题是假命题 . 举反例如下.
如图 6、7. △ABC、△A′B′C′均为等腰三角形 ,
BC、B′C′是它们的底边 ,AD、A′D′分别是它们的高 .
设 AD = 4 k ,A′D′= 2 k , BC = 2 a , B′C′= 4 a.
根据等腰三角形性质及勾股定理得
AB = AC = a2 + 16 k2 ,
A′B′= A′C′= 4 a2 + 4 k2 = 2 a2 + k2 .
932007 年第 12 期
由于 △ABC、△A′B′C′周长相等 ,则
2 a2 + 16 k2 + 2 a = 4 a2 + k2 + 4 a ,
即 a2 + 16 k2 = 2 a2 + k2 + a. ①
将式 ①两边平方并整理得
a a
2
+ k2 = 3 k2 - a2 . ②
将式 ②两边平方并整理得
9 k4 - 7 k2 a2 = 0.
注意到 k > 0 ,解得 k = 73 a.
取 a = 3 ,则 k = 7.
故三边长分别为 11、11、6 和 8、8、12 的两个三角
形的周长相等 ,面积也相等 ,但显然不全等 .
三、由已知得
a
2m
= x
2
+ y2 + 2 xy = an + 2 xy . ①
由题设及式 ①知 a2m > an . 于是 ,2 m > n.
将式 ①两边同除以 an ,得
a
2m - n
= 1 + 2 xy
a
n . ②
由于式 ②左边为正整数 ,所以 , an 能整除 2 xy .
从而 ,2 xy ≥an = x2 + y2 ,即 ( x - y) 2 ≤0.
解得 x = y .
因此 ,2 x = am ,2 x2 = an . 所以 , a2m - n = 2.
考虑到 a 及 2m - n 均为正整数 ,故 a = 2 ,此时 ,
2 m - n = 1.
下面求 2300是多少位整数 .
因为 2300 = (210 ) 30 = 1 02430 > (103 ) 30 = 1090 ,所
以 ,2300是不少于 91 位的整数.
又2
300
1091 =
1
10 ×
1 02430
1 00030 <
1
10 ×
1 025
1 000
30
=
1
10 ×
41
40
30
<
1
10 ×
41
40 ×
40
39 ×⋯×
12
11
=
1
10 ×
41
11 =
41
110 < 1 ,
所以 ,2300 < 1091 .
故 2300是少于 92 位的整数.
从而 ,可知 a300是 91 位数.
(李 明 王成勇 安徽省五河县第三中学 ,
233300)
数学奥林匹克高中训练题 (104)
第 一 试
一、选择题 (每小题 6 分 ,共 36 分)
1. 已知△ABC 为锐角三角形 ,
f ( x) = - x2 + 2 x + m ,
p = sin A + sin B + sin C ,
q = cos A + cos B + cos C.
则 ( ) .
(A) f ( p) > f ( q)
(B) f ( p) = f ( q)
(C) f ( p) < f ( q)
(D)以上三种情况均有可能
2. 设方程 x = ln ax ( a 为常数且 a ≠0) .
则 ( ) .
(A)当 a < 0 时 ,没有实根
(B)当 0 < a < e 时 ,有一个实根
(C)当 a = e 时 ,有三个实根
(D)当 a > e 时 ,有两个实根
3. 已知长方体的表面积为452 cm
2
,所有
棱长的总和为 24 cm. 那么 ,长方体的体对角
线与棱所成的最大角为 ( ) .
(A) arccos 13 (B) arccos
2
3
(C) arccos 39 (D) arccos
6
9
4.已知 △ABC 的外接圆圆心为 O , BC >
CA > AB . 则 ( ) .
(A) OA·OB > OA·OC > OB·OC
(B) OA·OB > OB·OC > OC·OA
(C) OB·OC > OC·OA > OA·OB
(D) OA·OC > OC·OB > OA·OB
04 中 等 数 学
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