不要忽视带电导体球的“自能”
刘万润 （绥宁二中 湖南 422606）
《物理教学》杂志2007年第11期第52页，郭文忠老师发表《动能增加还是减少》一文（以下简称《郭文》），对于文中问题的解答，值得商榷。
原文题目如下：
【问题】光滑绝缘的水平面上M、N两点各放一个带电量为+q和+2q的完全相同的金属球A和B。今使A、B以相同的初动能E
相向运动，且刚好发生碰撞，碰后返回M、N两点时动能为E
，比较E
和E
的大小。
《郭文》引用第三方解答，即《郭文》中“原解”：
【原解】两球为完全相同的金属球，且刚好发生碰撞，说明二球在连线MN中点速度减为0，而且相接触发生电荷转移，即电量平分，各带+
q，同时互相排斥分离，所受力为相互作用的库仑力，二者瞬间加速度总等大，在相距为r的任一状态，碰前库仑力为
，碰后为
EMBED Equation.3 ，当同时各自返回M、N时，碰后库仑力所做正功多于碰前所做负功，故E
EMBED Equation.3 E
。
郭老师认为：碰前两球在M、N点时共有电势能
=
（r
为M、N间距，且设r
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 球半径R，可视为点电荷），碰后两球返回M、N点时共有电势能
=
EMBED Equation.3
，由系统能量守恒可知，E
EMBED Equation.3 E
，即使考虑电接触时因电荷转移而形成瞬间电流发热（笔者注：依原题意应该视为理想导体球，即没有焦耳热，但电荷变速运动或电荷转移会有电磁辐射产生），结论也不变。
郭老师还认为，前文第三方解答的“错误”在于：当两球运动到足够近时，仍将两球视为点电荷。
笔者认为，前文第三方解答是正确的，尽管分析还欠确切。即使当两球运动到足够近时，不再将两球视为点电荷，两球之间的总的库仑力在相距为r（r已比2R大不了多少）的任一状态，碰前库仑力F
，碰后对应位置库仑力
EMBED Equation.3
，但
F仍然成立，故仍可得出E
EMBED Equation.3 E
。
那么，郭老师的解答错在哪里呢？笔者认为，郭老师对A、B两球构成的系统进行能量分析未尝不可，可惜分析不够全面，只分析了带电金属球A和B共有电势能，却忽视了两球所带电荷各自独立具有的电势能（笔者此前对此有过思考，不妨把这种电势能命名为“自能”）。
半径为R孤立导体球所带电量Q具有自能E=
。
以下笔者给出一种初等推导方法：
众所周知，相距r的两带电量为q的点电荷之间共同具有电势能
，即其中一个把另一个排斥到无穷远处将释放电势能做功
。
设想把导体球表面电量Q分为均匀分布的两层
，一层
（由于在导体球表面均匀分布，对球外空间可等效集中在球心）把另一层的电量
排斥到无穷远处将释放电势能做功
，即两层
之间共同具有电势能
；对每个
又可以如此操作，又有2
=
；对每个
又可以如此操作，又有4
=
；……
可知半径为R孤立导体球所带电量Q具有自能
E=
+
+
+… =
（
…）=
这个结论也可以由微积分的方法推导得出。
现在，如果计入A、B两球所带电荷的自能，则当A、B两球分别在M、N两点时（设r
为M、N间距，两球半径为R，忽略A、B相互作用对两球电荷分布的影响），A、B两球构成的系统
碰前具有的总电势能为
+
+
=
+
碰后具有的总电势能为
+
+
=
+
前后之差为
（
-
），显然r
EMBED Equation.3 2R，因而整个过程总电势能减少，系统增加的动能E
- E
即来源于其中的一部分；另外还有一部分以的形式耗散了。
注：引用《郭文》过程中，个别地方略有修改，笔误已纠正。
N
M
A
B
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