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4量子测量(I) 39 [第 4 讲] 量子测量的理论基础、广义测量 ━━量子测量理论几点附注(I) 前 言 I, 量子测量基础——唯象模型分析 1, 第三公设——量子测量公设 2, 测量理论的三个阶段 3, 深邃的塌缩阶段──具有四大特征 II, von Neumann 正交测量模型 1,由“测量Hamilton量 iH ” 建立相关的量子纠缠 2,典型例子——Stern-Gerlach 装置 III,量子测量分类 1,开放系统 2,测量分类 3,两...

4量子测量(I)
39 [第 4 讲] 量子测量的理论基础、广义测量 ━━量子测量理论几点附注(I) 前 言 I, 量子测量基础——唯象模型分析 1, 第三公设——量子测量公设 2, 测量理论的三个阶段 3, 深邃的塌缩阶段──具有四大特征 II, von Neumann 正交测量模型 1,由“测量Hamilton量 iH ” 建立相关的量子纠缠 2,典型例子——Stern-Gerlach 装置 III,量子测量分类 1,开放系统 2,测量分类 3,两体局域测量、关联测量、联合测量 IV,局域测量——广义测量与 POVM(正值算符测度) 1, 广义测量 2, 广义测量解释 3,POVM 举例 V,Neumark 定理与考虑 POVM 的 GHJW 定理 1, Neumark 定理 2, 举例说明 3,考虑 POVM 的 GHJW 定理 40 ※ ※ ※ 前 言 量子测量理论是量子理论的基础支柱。它联系着理论计算和实验 测量,是两者之间的必经桥樑。按现在文献情况可以说,不熟习量子 测量理论就难以很好地理解许多近代重要的实验工作。更何况,量子 测量理论本身就蕴含着量子理论几乎全部的未解决重大基本问题。这 些问题都如此基本,以致于它们的解答必定会从根本上纠正我们现有 的时空观念和某些基本概念,导致我们对世界有一个崭新的再认识。 鉴于我国量子力学教材中很少谈及测量问题,也鉴于量子测量理 论的浩瀚芜杂。这里扼要介绍一下量子测量的基础理论。 I, 量子测量基础——唯象模型分析 1, 第三公设——量子测量公设 1 “对状态  x 进行力学量A的测量,总是将  x 按A所对应算符 Aˆ的正交归一本征函数族 ˆ , 1, 2i i i iA a i     展开:    i i i x c x   单次测量所得A的数值必随机的属于 Aˆ本征值中某一个 ka (除非  x 是它的某个特定本征态);测量完毕,  x 即相应突变(塌缩)为该 本征值 ka 的本征态  k x 。对大量相同态组成的量子系综多次重复实 验时,某本征值 ka 出现的概率是此展式中对应项系数的模平方 2kc 。” 这里需要注意三点(详细见下):i,若对同一个态进行不同力学量 的测量,将导致不同样的展开,产生不同样的塌缩,从而显示出不同 1 张永德,《量子力学》,第 II 版,北京:科学出版社,2010 年,第一章。 41 的结果和现象!正是如此缘故,由于不同测量中的不同 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现,电子才 一会儿像粒子(当测其位置时),一会儿又像波动(当测其动量时)。 ii,测量所对应的展开和叠加,是“概率幅的展开和叠加”! 完全不同于经典的概率分解与合成。以对 z 态的测量为例分析:  1 2 z x x     按量子力学,此处右边分解是振幅叠加、相干叠加,沿 z轴测此态的 自旋,肯定发现自旋在 z 方向;但按经典力学,右边将理解为各占1 2 概率或然地处在态 x 或态 x 上。如果接着将它们分解  1 2 x z z     进一步又知,若仍旧沿 z轴测 x 态的自旋,还是得到自旋朝上、朝 下各1 2概率。最后综合条件概率,按经典力学得到:对 z 态沿 z轴 测得自旋朝上朝下的概率各占1 2!这个结果完全不同于量子力学的。 iii,测量导致量子塌缩的过程虽然也表现出或然性,但其性 质完全不同于经典的或然性。前者的或然是没有任何隐变数的或然, 是上帝掷骰子,真正的或然;而后者的或然是有隐变数的或然,是人 掷骰子,表观的或然。 2,测量过程的三个阶段──姑娘出嫁 纠缠分解; 波包塌缩; 初态制备 i,量子体系状态变化的两种方式: U 过程──决定论的、可逆的、保持相干性的; R 过程──随机的、不可逆的、斩断相干性的。 42 ii,理想的完整测量过程有三个阶段──姑娘出嫁 纠缠分解 波包塌缩 初态制备 “纠缠分解”:  r 按被测 A的本征态分解并和测量指示器的可 区分态产生纠缠; “波包坍缩”:  r 以 A展式系数模方为概率向本征态之一随机突 变(塌缩); “初态制备”:塌缩态作为初态在新环境的新Hamilton量下开始新 一轮演化。 量子测量过程仿佛是漂亮姑娘出嫁过程。三个阶段是:相干排列 结婚的对象,选定并登记结婚,作为新人在新环境下开始新的生活。 按多世界理论,不同的测量及其塌缩就意味着进入了不同的分枝 世界。这仿佛相似于,人们所现实的当前这一刻的世界已经是古代某 个时刻的世界,经历无数次大大小小历史事变的选择或塌缩、分枝再 分枝之后所进入的世界。的确,这种多世界理论的思想很是大白话。 实验经常对大量相同量子态组成的量子系综进行同类重复测量 并读出结果。多次重复测量将制备出一个混态 ──不同塌缩得到的  i x 之间不存在任何位相关联,彼此是非相干的。这个混态也称做 纯态系综──一系列纯态集合:{纯态  i x 出现的概率为 ip ,等等}。 3,深邃的塌缩阶段──具有四大特征 应当说,状态塌缩过程是一个极其深邃的、尚未了解清楚的过程。 它蕴涵着一系列根本性的open问题。但无论如何,从唯象描述角度看, 塌缩过程具有如下四大特征: 43 随机性 斩断相干性 不可逆性 空间非定域性 按测量公设,每次测量并读出结果之后,态  r  即向该次测量 所得本征值的本征态突变(塌缩)过去,使波函数约化到它的一个成 分(分枝)上。这种由单次测量造成的塌缩称为第一类波包塌缩。除 非  r  原本是该被测力学量的某一本征态,否则单次测量后,被测 态  r  究竟向哪个本征态塌缩,就象测得的本征值一样,是随机 的,QT不能事先预告。 随机的──原则上就无法预见和控制的; 不可逆的──有人说,测量是熵增加过程; 切断相干性的──切断被测态原有的一切相干性; 非定域的──波函数的塌缩总是非定域的。 塌缩中,表现出是粒子状态的突变,实质上是体系演化时空的塌缩! 这从量子Zeno效应叙述可以窥见。近来实验表明:塌缩与关联塌缩是 同一个事件,其间不存在因果关联! 初步说来,塌缩过程中存在的未解决问题有: 塌缩随机性的根源是什么?── 或者有根源吗?! 为什么(不论自旋态或空间态、单粒子或多粒子)所有塌缩 过程总是非定域的?! 怎样看待塌缩过程体系熵的增加? 塌缩——关联塌缩和相对论性定域因果律有深刻矛盾吗?! 认为塌缩——关联塌缩是同一事件就能避免量子理论对相对论性定 域因果律的否定吗?! 44 相互作用过程和测量过程的明确界线在哪里? II, von Neumann 正交测量模型 1,由“测量Hamilton量 iH ” 建立相关的量子纠缠 为了测量子系统的可观测量 A,需要建立“测量Hamilton量 iH ”, 通过 iH ,不但接通子系统可观测量 A和(作为测量仪器的)指示器 X , 而且 iH 中 A X 的耦合作用使(可观测量)本征态和(指示器的)可 区分态之间建立起量子纠缠。正是这种量子纠缠,使我们能够通过测 量指示器变数 x去制备可观测量a的本征态。 设初始时刻子系统处于 A 的一个叠加态 i i i c a   ,而指示器 波包有关变量的状态为  x 。合成的大系统处于尚未纠缠的可分离 态,    i i i x c a x     由于 iH 中 A和 X 的耦合项存在,在 t 时刻后,这个量子态将从可分离 态演化成为纠缠态,        ,i i i i i i i i i U t c a x c a x a t x x a t          于是,由 iH 造成的量子纠缠使 X 和 A的测量值 x(和a)关联起来。 如果位置变量 x的观测精度足以分辨的全部本征值a,就实现了通过 测量 x,造成可区分态  ix a t  的塌缩并得到 ix ,从而造成可观测 量本征态 ia 的关联塌缩,并得到相应的 ia 数值。 2,典型例子——Stern-Gerlach装置 Stern-Gerlach 装置对电子自旋测量。测1 2自旋粒子的 z 。让它 沿 x轴飞行并通过沿 z轴的非均匀的磁场 zB z 。粒子磁矩,它和 45 磁场之间的耦合项——“测量 Hamilton 量”为 zH z    这里是可观测量 z 和位置 z相耦合。由于 H 中含 z,不同 z值处附加 能数值不同,这产生一个力 ˆ z HF z    力沿 z轴,正负视 1z   而定。在测量(电子穿过磁场)时间 x mLt p  内( L 为磁场区在 X 方向长度, xp 为入射电子动量),这个力在 z 方向给电 子以冲量,使它偏转产生 z方向的位移 z : 2 ˆ ˆ ;z Fp F t z t m    这就是说,耦合作用使指示器( z方向的位置)偏转。通过观察粒子 向 z轴正向、反向的偏转距离,(正交)投影出粒子自旋态 z 或 z 。 ∵   ˆexp exp expz zi i iU t z t F t z P z                       ∴  ˆ 0 0 0i i izFt Fzt Fzte z z z e z e                         ˆ ˆ 0 0z z i ip z p z z e z e z z z z                               这里已将力产生位移的作用转化为以动量算符作为生成元的平移算 符。 z 方向偏移量为 2 zP F tz t m m      。此外,注意这时仍有 2 z z z z p mE t p z p z m p             ※思考题:若入射电子状态不知为下面两者中哪个 46    1 1;2 2z z z z x z z            问:如何用 Stern-Gerlach 装置对它们作区分? III,量子测量分类 1, 开放系统。以往量子力学通常研究的是孤立、封闭的量子 体系。此时量子测量都是 von Neumann 正交投影━━按测量公设, 是向被测力学量的本征函数族投影: , , , 1, , 1, 2, 3,i i i i j ij j i i E E i i E I E E E trE i j            (4.1) 现在针对开放系统,量子力学将出现三个新特点: i,量子态可能是混的; ii,量子演化可能是非幺正的、不可逆的; iii,测量造成的投影分解可能是非正交的——POVM。 此时测量种类将会复杂化。详细见下。 2, 测量分类。量子测量,按不同情况和不同分类 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ,有不同 分类: i, 封闭系统测量, 开放系统测量; ii, 两体及多体: 局域测量、关联测量、 联合测量; iii, 完全测量,不完全测量。破坏测量、非破坏测量。 3,两体局域测量、关联测量、联合测量 i,局域测量 :只对两体中的某一方作测量,比如只对 A 测量。相应力学量是 A BI    , 47                   A B A B r AB r r AB A B r r AB A A r A A T T T I T T T                   所有测量结果只和约化密度矩阵 A 有关。 ii,关联测量 :同时对 A和B 作局域测量(并比较相应的 结果) : A B    。此时只对未纠缠态——可分离态,有 A B     。 iii,联合测量 :测量不是局域进行的,类似于下面不可分 离类型的力学量测量,     , 2i iA B i i     。 IV,局域测量——广义测量与 POVM(正值算符测度) 1, 广义测量 广义测量是指,在一个由若干子系统组成的大系统上进行正交测 量时,在局部的子系统上所实现的局限性测量,称为广义测量,又称 为局域测量。从大系统的角度来看,现在的子系统是个开放系统,对 其进行的观测是片面的观测、局部的观测。广义测量也可以说成是对 开放系统的量子测量。 通过把与所考虑系统有相互作用的外部系统都计算进来,构成足 够大系统的 办法 鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载企业年金办法下载企业年金办法下载 ,总能以足够好的近似将这个大复合系统看作是孤立 体系。我们知道,对孤立体系所作的测量是正交投影测量。因此可以 说,对如此构成的大系统中某一组相互对易力学量完备组进行的量子 测量,必定是正交投影测量。就是说,测量所得的必定是这个完备组 共同本征态的量子数,测量所实现的也必定是向这个完备组相互正交 共同本征态的投影。 但是,大系统这组相互正交的本征态族在子系统所属子空间中的 48 对应态未必仍然相互正交。于是可以设想,不知道(根本就不知道, 或是不想知道,或是难以知道)大系统、只知道子系统的观察者会认 为:通常情况下的量子测量将投影出一组非正交态,而不是一组正交 态。这就是通常所说的“广义测量不一定是正交投影”的原故 2。 2, 广义测量解释 3 i, 直和子空间解释 假设所关心的态空间 AH 是一个更大的直和空间  AA HHH 的一部分(设 AH 的基是 i ,H  的基是  , 0, ,i i   )。H 有 正交基 u 。设 AM 是 AH 中的一个可观察量,于是有以下正交分解 关系 0  AA MM  (4.2)    ~~u (4.3) 这里 ; ;A A AH H H          。注意,不同 值的 u 虽然彼 此正交,但它们在子空间 AH 中投影部分 ~ 却不一定彼此正交,也 不一定归一。也即,从子空间 AH 中看,这些态 ~ 并不一定彼此正 交归一。但由于 1 uu ,记    ~~1 ,注意  均不会为负 值。于是可令   ~ (4.4) 由此,这里的态  已归一。 现在假设,在大空间 H 中对子空间 AH 中的一个态 A 执行向基矢  u 的正交投影测量  uuE  。这些测量,从“生活”在 AH 中的观 2 见上注 1 文献。第 12 章。 3 张永德,《量子信息物理原理》,北京:科学出版社,2006 年,§1.3。 49 察者来看,只得到以概率(注意 A 不属于 AH  ,作用为零)  Pr A A Aob u u                  (4.5a) 获得测量结果 和态    。特别是,在测出 值以后,塌缩投影 过去的这些测量末态  不见得彼此正交。 设 A AE I 是子空间 AH 的单位算符,它也是大空间 H 向子空间 AH 的投影算符。于是利用它可将H 中的正交投影算符系列 E u u   向 AH 投影。即定义 AH 中的一组算符    ~~EEEF AA (4.6) 利用定义(6)式,可以把(5a)式,即从 AH 中观察所得结果为 的 概率重新写为    Pr A A Aob tr F                 (4.5b) 这些 F 显然是厄密的、非负的,但迹却不一定为 1(1 0TrF    ), 而且也不一定彼此正交,所以不能算是正交投影算符系列。然而,它 们总和等于子空间 AH 中的单位算符 A A A AF E E E E I        (4.7) 因此,这些 F 在子空间 AH 中执行着类似于 E 在H 空间中的投影分解 任务,但它们却不是正交投影 4。推广开来看,可以引入如下定义: [定义]系统 A的一组 POVM 是一种对 A某个子空间单位算符 AI 的是一组正值算符分解 (positive operator valued mesure)━━简称正 测度分解。它是一组以非正交方式分解单位算符的非负厄密算符系 列: 4 J.Preskill, 《Lecture Notes for Physics229: Quantum Information and Computation》, CIT, Sept. 1998.;见上注 3 文献,§1.3;M.A.Nielsen and I.L.Chuang, 《Quantum Computation and Quantum information》, Cambridge University Press, 2000, p.90。 50   1 ( 1, 2, , ) , , 1; 0, n a AA AF n F F trF F F I                 (4.8) 这里态 A 是系统 A的任意态。当正交方式分解时即简化为前面的正正 交投影测量。根据这里的广义测量理论,当对 AH 中 A 态作广义测量 时,相应每个测量结果 F 的概率由(5a、5b)式表示。特别是,有    Pr A Aob tr F          为保证概率正定和总概率为 1, F 的正定性和    1F 都是必需的。 由于任何投影算符 P 的平方等与它自己 2P P ,所以开根也是它 自己 P P 。而这里    正属于投影算符,于是在广义测量前后, 态的改变是          FF AAAA (4.9) (9)式是正交投影情况( A A AE E        )向 POVM 情况的推 广。注意,由于“ F 等于大空间的 E 向子空间 AH 的投影”,所以有 AH 的维数 F 数目 E 数目=  A AH H  维数和 (4.10) F 个数可能少于 E 个数的原因是:可以有这样的 E ,它只向正交子 空间 AH  投影,于是与这种 E 相应的 F 便是零。 这个 POVM 名词最初来源于文献 5。该文首次引入广义测量概 念来分辩一些非正交的态。POVM 是封闭系统 von Neumann 正交投 影测量向开放系统测量的推广,是完全测量向非完全测量的推广。 ii, 直积子空间解释 假设考虑一个 N 维系统 A,处在态 A 上。并假设另有一个辅助 系统 B(常称为“附属系统”,其维数这里并不重要,予以略去)处 5 A.Peres, How to differentiate between non-orthogonal states, Phys. Lett. A, 128, 19(1988)。 51 在已知态 B 上。设这两个系统组成一个“未关联”的张量积的大系 统,初态为 AB A B    。现在对这个张量积系统进行某种正交投影 测量   ; ABE E I       。在单次测量中得到测量结果为 E 中的某 一个,相应概率  Pr ob  为                     , , 0 , , 0 Pr N AB A B A Bnm srmr ns m n r s N A A Anmmn m n ob Tr E E F Tr F                       简单直接地说,即有          Pr AB AA B Aob Tr E Tr F        (4.11a) 这里           , , B B A Bsrmn mr ns mnr s F E Tr E I        (4.11b) 这一组算符F就被称作为一种 POVM——正值算符测度。(11a)表 明,  Pr ob  既是张量积大系统在正交测量 E 中得到结果为 E 的概 率,也是在子系统 A 中执行相应的 POVM 并得到F的概率。 由于(11a)中的  Pr 0ob   ,以及 A 是任意和非负的,可知全 体F都是非负的,有时就简单称它们为正的。按(11b)式,它们也是 厄米的、总和为 1。比如总和为 1,(11b)式对求和即得分量形式为           , ,, B mn rs Bsr srmn r s r smn mr ns B mn B mn A mn F F E Tr I                                  这正是(7)式。但对于直积情况,POVM 中F个数的上限与直和的 (10)式不同。这时有      dim dimA A BH Number F Number E H H     维数积(4.12) 52 当对大系统 A B 测量之后,塌缩结果为E 时,大系统的态相应塌缩 到下面状态,        A B AB AB A B E E Tr E              (4.13) 但与此同时,对于只知道子系统A的观察者而言,当测量塌缩到 F 时, 密度矩阵从 A 变为           B A B A AB A B Tr E E Tr E                (4.14) 注意,这里(14)式和前面(9)式求和中对应项是相同的。因为, 注意到这里所用的向 A 投影算符 AE 对 A 而言是单位算符 AI ,于是由 于(14)式分子已经  BTr ,所以可以左右全乘以 AE ,并收入求迹号 内,同时对求迹号内 A 两侧也如此做。至于分母可直接利用概率公 式(11a)。总之可以有                         B A A A A B A A AB A B B A B A AA A A A Tr E E E E E E Tr E Tr F F F F F F Tr F Tr F                                  这里最后结果F 上的根号是等式对全部测量概率归一化的要求。 以上通过直和与直积两种方式说明了,在更大态空间中进行某个 正交投影测量过程,反映到它某个子空间中(相当于只从这个子空间 作局部性观察),就实现为一个非正交的投影系列——实现一种 POVM。 3,POVM 举例 举一个单 qubit 两维态空间中 POVM 例子。选择 N 个 3 维单位矢 量  n 和 N 个正实数  ,使它们满足:      110 , , 53 0   n 。由此便可构造一种有 N 个元素的 POVM 如下:  1F n       (4.15a) 回忆起 1 2 自旋态的投影算符为  1 1 2 E n n n           ,这里 n 是态 的极化矢量,就有 2F E   (4.15b) 它们共计 N 个,显然都是非负的、厄密的,并且有 InIF           这 N 个 F 就在此 qubit 二维态空间中定义了一个 POVM。 注意,在两维态空间中作单位算符的 POVM 分解时,若是两个 分解(N=2,即  1 2,F F ),虽有无穷多种分解,但必定都是正交分解: 1 2I n n n n F F         只有多于所在空间维数的分解,即 3N  的分解,才必定是非正交的 分解。比如对 N=3 情况,若取任意三角形的三个边作为(首尾相接 的)三个矢量 ( 1,2,3)n   ,则有 1 2 3 0n n n     ,再选比如 1 2 3 13     , 于是便得到一种共计三个的如下 POVM,    1 21 ; 1, 2, 3 3 3 F n E n         (4.16) 由它们乘积即知,它们已不再是正交投影,各自的迹也不是 1 了。 V,Neumark 定理与考虑 POVM 的 GHJW 定理 1,Neumark 定理 6 上面通过考察比 AH 更大空间中的正交测量,得到了在 AH 空间 中的 POVM 的概念。现在反过来考虑,这就是 Neumark 定理: 54 “总能够采用将所考虑的态空间拓展到一个较大空间,并在这个 较大空间执行适当正交测量的办法,实现所考虑空间中任何事先给定 的 POVM。” 证明:考虑一个 N 维状态空间H 和n(n N )个 , 1, 2, ,F n    的 POVM。每个一维正算符(意即只有 1 个非零本征值)F 可写为   , ,,; ; , 1, 2, ,i ji jF F i j N               (4.17) 注意这里  和  ,1 ,2 ,, , ,T N          不一定归一。于是,已设的全 体F 之和为H 中单位矩阵的结果,现在就表示为   , , ,, 1 1 n n i j i ji j F               (4.18) 可以换一种角度看待上面这 n个 N 维矢量的并矢之和为单位矩阵的 关系式(18):按下式定义 N 个n维矢量   ,i i   这里是说,在n维空间中第 i 个矢量的第 分量为 ,i ii       。于 是在这n维空间中就已经有了 N 个正交归一的矢量。现在只需要在这 个高维一些的n维空间中再增加(n N )个正交归一矢量,补充这 N 个正交归一矢量集合,使它们共同成为一组正交归一完备基矢就可以 了。显然,这种补充不但是可行的,并且办法不是唯一的。设补充的 (n N )个正交归一矢量为  1, , ,, , , ; 1, ,Tk k k n k k N n          (4.19) 将两部分合并排成正交归一的n行之后,各列便同时组成n维空间的 一组n个正交归一基 u 。注意这些 u 是如此构造的:第 个矢量的 前 N 个分量为 ,i ( 1,2, ,i N  ),后(n N )个分量为新补充的。 6 张永德,《量子信息物理原理》,北京:科学出版社,2006 年,§1.3。 55 现在可以在这个n维空间中执行一个由下面定义的正交测量: E u u   (4.20) 显然,将基矢 u 明写出来便是 u                   (4.21) 这里 ;H H     。这里H  是由 T 所撑开的、维数为(n N ) 的、与H 正交的另一个子空间。通过正交投影,可将 u 投影到 H , 于是就得到H 中原先已设定为 POVM 的 F 。 证毕。 总而言之,由正交测量的局部投影之后所得的 POVM 以及此处 的 Neumark 定理,可以得到一个总体的认识:在一个系统上执行任 选的 POVM 类型的测量是人们能够执行的最一般的测量。 2,举例说明 [例 1] 可以采用直和拓展方法来应用此定理。再次考虑单个 qubit。取(16)式的 POVM F :  1 2 32 ; 1, 2, 3 ; 03F n n n n n            现在用直和方式增加一维,在三维态空间中构造如此正交投影操作, 使得在二维态空间中观察,此测量就是事先给定的F 。为此取一个 “三进制”量子位——一个三维态空间的单量子系统 qutrit,并取定  1 2 33 1 3 10 0 1 ; 0 ; 02 2 2 2n n n                      这三个矢量在球坐标中分别为     2 40 0 , 0 , 0 3 3              ,它们 是 X-Z 面上等角三叶螺旋桨,夹角120。因此,考虑到F      和 56   cos2 2 2, 3 3 sin 2 n                 这里  ,n   均是归一化的 12 自旋态。由此得到 1 2 3 1 6 1 62 3 , , 0 1 2 1 2                               (4.22) 根据定理证明中叙述,可以将这三个两维矢量看作是个 2 3 的矩阵 (由于所取 POVM 的完备性,(22)式中两行是正交的)。再补上正 交的第三行(注意保持归一化),就成为 1 2 3 1 6 1 62 3 0 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 u u u                                    (4.23) 如定理所说的,各列(现即为 u )也彼此正交。这时我们执行向基  u 的正交投影测量(即,测量以 u 为本征矢量的物理量组)。 一位只生活在二维子空间中的观察者将会认为在他子空间中执行了 一种 POVM 1 2 3F F F 。也就是说,如果我们的 qubit 暗中是某个 qutrit 的两个分量,对这个 qutrit 态空间中进行上面这样的正交测量, 就实现了在我们这个 qubit 上所预定的 POVM F 。 [例 2] 也可以采用直积拓展的方法来应用此定理。为便于比 较,仍考虑单个 qubit 情况,并且还是取(16)式的 POVM F :  1 2 32 ; 1, 2, 3 ; 03F n n n n n            三个态为(下面 2 中添一负号是为了 1 , 1, 2, 32n n          ) 1 2 3 1 6 1 62 2 3: , , 3 0 1 2 1 2 n                                    57 现在采用引入第二个 qubit B 作直积来拓展,去实现这个 POVM。在 两个 qubit 的直积态空间中, 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 一组完备力学量组的测量实验,使 状态向下述正交归一基作正交投影: 0 2 10 0 1 ; 1,2,3 3 3 1 1 B A BA A B n           (4.24) 如果初态是 0 0AB A B   ,有     23 AAB A An n Tr F           (4.25) 所以这里投影就实现了 AH 上的这个 POVM。这里直积拓展是在一个 4 维态空间中执行正交测量,而上面直和 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 中仅仅需要 3 维。 3,考虑到 POVM 的 GHJW 定理 7 讨论 GHJW 定理(定理详见本书第 27 讲第 III 节)时将会看到, 由制备态 AB A B q        (4.26) 人们能够采用 BH 上的正交测量 E    来实现 A粒子的系综: A A q        (4.27) 而且,假如 BH 维数为n,即便对这单个纯态 AB ,通过在 BH 中测量 一个合适的可观测量的办法,能够实现制备任何最多包括n个独立纯 态的系综 A 。办法是假定 BH 中这个可观测量的本征态是 B  ,则 A B AB B B A A q                     (4.28) 即可给出系综 A 中包含的纯态系列。或反过来,用已知的 A的态去 作内积找出B 中的态和它们所对应的力学量。 7 J.Preskill,《Lecture Notes for Physics229: Quantum Information and Computation》, CIT, Sept. 1998.;张永德,《量子信息物理原理》,北京:科学出版社,2006 年,§7.2。 58 但现在有了POVM的概念就能看到,如果要是在 BH 上做POVM, 而不单单只是正交测量。那么,即便对于 BH 的维数为 N n ,也可以 通过在 BH 的子空间中适当选择一组 POVM 来实现任何 A 的制备。于 是可以重写 AB 为 AB A B q         (4.29) 这里 B 是将 B 向 B 的支集作正交投影的结果。现在可以在 B 的 支集上用 B F      执行 POVM。于是也就以概率 q 制备了态 A 。 VI,非破坏测量 详见文献 8,这里从略。 8 V.B.Braginsky and F.Ya Khalili,Rev. Mod. Phys.,Vol.68,1(1996)。张永德,《量子信息 物理原理》,北京:科学出版社,2006 年,§1.5。
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