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[第 4 讲]
量子测量的理论基础、广义测量
━━量子测量理论几点附注(I)
前 言
I, 量子测量基础——唯象模型分析
1, 第三公设——量子测量公设
2, 测量理论的三个阶段
3, 深邃的塌缩阶段──具有四大特征
II, von Neumann 正交测量模型
1,由“测量Hamilton量 iH ” 建立相关的量子纠缠
2,典型例子——Stern-Gerlach 装置
III,量子测量分类
1,开放系统
2,测量分类
3,两体局域测量、关联测量、联合测量
IV,局域测量——广义测量与 POVM(正值算符测度)
1, 广义测量
2, 广义测量解释
3,POVM 举例
V,Neumark 定理与考虑 POVM 的 GHJW 定理
1, Neumark 定理
2, 举例说明
3,考虑 POVM 的 GHJW 定理
40
※ ※ ※
前 言
量子测量理论是量子理论的基础支柱。它联系着理论计算和实验
测量,是两者之间的必经桥樑。按现在文献情况可以说,不熟习量子
测量理论就难以很好地理解许多近代重要的实验工作。更何况,量子
测量理论本身就蕴含着量子理论几乎全部的未解决重大基本问题。这
些问题都如此基本,以致于它们的解答必定会从根本上纠正我们现有
的时空观念和某些基本概念,导致我们对世界有一个崭新的再认识。
鉴于我国量子力学教材中很少谈及测量问题,也鉴于量子测量理
论的浩瀚芜杂。这里扼要介绍一下量子测量的基础理论。
I, 量子测量基础——唯象模型分析
1, 第三公设——量子测量公设 1
“对状态 x 进行力学量A的测量,总是将 x 按A所对应算符
Aˆ的正交归一本征函数族 ˆ , 1, 2i i i iA a i 展开:
i i
i
x c x
单次测量所得A的数值必随机的属于 Aˆ本征值中某一个 ka (除非 x
是它的某个特定本征态);测量完毕, x 即相应突变(塌缩)为该
本征值 ka 的本征态 k x 。对大量相同态组成的量子系综多次重复实
验时,某本征值 ka 出现的概率是此展式中对应项系数的模平方 2kc 。”
这里需要注意三点(详细见下):i,若对同一个态进行不同力学量
的测量,将导致不同样的展开,产生不同样的塌缩,从而显示出不同
1 张永德,《量子力学》,第 II 版,北京:科学出版社,2010 年,第一章。
41
的结果和现象!正是如此缘故,由于不同测量中的不同
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
现,电子才
一会儿像粒子(当测其位置时),一会儿又像波动(当测其动量时)。
ii,测量所对应的展开和叠加,是“概率幅的展开和叠加”!
完全不同于经典的概率分解与合成。以对 z 态的测量为例分析:
1
2
z x x
按量子力学,此处右边分解是振幅叠加、相干叠加,沿 z轴测此态的
自旋,肯定发现自旋在 z 方向;但按经典力学,右边将理解为各占1 2
概率或然地处在态 x 或态 x 上。如果接着将它们分解
1
2
x z z
进一步又知,若仍旧沿 z轴测 x 态的自旋,还是得到自旋朝上、朝
下各1 2概率。最后综合条件概率,按经典力学得到:对 z 态沿 z轴
测得自旋朝上朝下的概率各占1 2!这个结果完全不同于量子力学的。
iii,测量导致量子塌缩的过程虽然也表现出或然性,但其性
质完全不同于经典的或然性。前者的或然是没有任何隐变数的或然,
是上帝掷骰子,真正的或然;而后者的或然是有隐变数的或然,是人
掷骰子,表观的或然。
2,测量过程的三个阶段──姑娘出嫁
纠缠分解; 波包塌缩; 初态制备
i,量子体系状态变化的两种方式:
U 过程──决定论的、可逆的、保持相干性的;
R 过程──随机的、不可逆的、斩断相干性的。
42
ii,理想的完整测量过程有三个阶段──姑娘出嫁
纠缠分解 波包塌缩 初态制备
“纠缠分解”: r 按被测 A的本征态分解并和测量指示器的可
区分态产生纠缠;
“波包坍缩”: r 以 A展式系数模方为概率向本征态之一随机突
变(塌缩);
“初态制备”:塌缩态作为初态在新环境的新Hamilton量下开始新
一轮演化。
量子测量过程仿佛是漂亮姑娘出嫁过程。三个阶段是:相干排列
结婚的对象,选定并登记结婚,作为新人在新环境下开始新的生活。
按多世界理论,不同的测量及其塌缩就意味着进入了不同的分枝
世界。这仿佛相似于,人们所现实的当前这一刻的世界已经是古代某
个时刻的世界,经历无数次大大小小历史事变的选择或塌缩、分枝再
分枝之后所进入的世界。的确,这种多世界理论的思想很是大白话。
实验经常对大量相同量子态组成的量子系综进行同类重复测量
并读出结果。多次重复测量将制备出一个混态 ──不同塌缩得到的
i x 之间不存在任何位相关联,彼此是非相干的。这个混态也称做
纯态系综──一系列纯态集合:{纯态 i x 出现的概率为 ip ,等等}。
3,深邃的塌缩阶段──具有四大特征
应当说,状态塌缩过程是一个极其深邃的、尚未了解清楚的过程。
它蕴涵着一系列根本性的open问题。但无论如何,从唯象描述角度看,
塌缩过程具有如下四大特征:
43
随机性 斩断相干性 不可逆性 空间非定域性
按测量公设,每次测量并读出结果之后,态 r 即向该次测量
所得本征值的本征态突变(塌缩)过去,使波函数约化到它的一个成
分(分枝)上。这种由单次测量造成的塌缩称为第一类波包塌缩。除
非 r 原本是该被测力学量的某一本征态,否则单次测量后,被测
态 r 究竟向哪个本征态塌缩,就象测得的本征值一样,是随机
的,QT不能事先预告。
随机的──原则上就无法预见和控制的;
不可逆的──有人说,测量是熵增加过程;
切断相干性的──切断被测态原有的一切相干性;
非定域的──波函数的塌缩总是非定域的。
塌缩中,表现出是粒子状态的突变,实质上是体系演化时空的塌缩!
这从量子Zeno效应叙述可以窥见。近来实验表明:塌缩与关联塌缩是
同一个事件,其间不存在因果关联!
初步说来,塌缩过程中存在的未解决问题有:
塌缩随机性的根源是什么?── 或者有根源吗?!
为什么(不论自旋态或空间态、单粒子或多粒子)所有塌缩
过程总是非定域的?!
怎样看待塌缩过程体系熵的增加?
塌缩——关联塌缩和相对论性定域因果律有深刻矛盾吗?!
认为塌缩——关联塌缩是同一事件就能避免量子理论对相对论性定
域因果律的否定吗?!
44
相互作用过程和测量过程的明确界线在哪里?
II, von Neumann 正交测量模型
1,由“测量Hamilton量 iH ” 建立相关的量子纠缠
为了测量子系统的可观测量 A,需要建立“测量Hamilton量 iH ”,
通过 iH ,不但接通子系统可观测量 A和(作为测量仪器的)指示器 X ,
而且 iH 中 A X 的耦合作用使(可观测量)本征态和(指示器的)可
区分态之间建立起量子纠缠。正是这种量子纠缠,使我们能够通过测
量指示器变数 x去制备可观测量a的本征态。
设初始时刻子系统处于 A 的一个叠加态 i i
i
c a ,而指示器
波包有关变量的状态为 x 。合成的大系统处于尚未纠缠的可分离
态,
i i
i
x c a x
由于 iH 中 A和 X 的耦合项存在,在 t 时刻后,这个量子态将从可分离
态演化成为纠缠态,
,i i i i i i i
i i
U t c a x c a x a t x x a t
于是,由 iH 造成的量子纠缠使 X 和 A的测量值 x(和a)关联起来。
如果位置变量 x的观测精度足以分辨的全部本征值a,就实现了通过
测量 x,造成可区分态 ix a t 的塌缩并得到 ix ,从而造成可观测
量本征态 ia 的关联塌缩,并得到相应的 ia 数值。
2,典型例子——Stern-Gerlach装置
Stern-Gerlach 装置对电子自旋测量。测1 2自旋粒子的 z 。让它
沿 x轴飞行并通过沿 z轴的非均匀的磁场 zB z 。粒子磁矩,它和
45
磁场之间的耦合项——“测量 Hamilton 量”为
zH z
这里是可观测量 z 和位置 z相耦合。由于 H 中含 z,不同 z值处附加
能数值不同,这产生一个力
ˆ
z
HF
z
力沿 z轴,正负视 1z 而定。在测量(电子穿过磁场)时间
x
mLt
p
内( L
为磁场区在 X 方向长度, xp 为入射电子动量),这个力在 z 方向给电
子以冲量,使它偏转产生 z方向的位移 z :
2
ˆ
ˆ ;z
Fp F t z t
m
这就是说,耦合作用使指示器( z方向的位置)偏转。通过观察粒子
向 z轴正向、反向的偏转距离,(正交)投影出粒子自旋态 z 或 z 。
∵ ˆexp exp expz zi i iU t z t F t z P z
∴ ˆ 0 0 0i i izFt Fzt Fzte z z z e z e
ˆ ˆ
0 0z z
i ip z p z
z e z e z z z z
这里已将力产生位移的作用转化为以动量算符作为生成元的平移算
符。 z 方向偏移量为
2
zP F tz t
m m
。此外,注意这时仍有
2
z
z z
z
p mE t p z p z
m p
※思考题:若入射电子状态不知为下面两者中哪个
46
1 1;2 2z z z z x z z
问:如何用 Stern-Gerlach 装置对它们作区分?
III,量子测量分类
1, 开放系统。以往量子力学通常研究的是孤立、封闭的量子
体系。此时量子测量都是 von Neumann 正交投影━━按测量公设,
是向被测力学量的本征函数族投影:
, , , 1, , 1, 2, 3,i i i i j ij j i
i
E E i i E I E E E trE i j (4.1)
现在针对开放系统,量子力学将出现三个新特点:
i,量子态可能是混的;
ii,量子演化可能是非幺正的、不可逆的;
iii,测量造成的投影分解可能是非正交的——POVM。
此时测量种类将会复杂化。详细见下。
2, 测量分类。量子测量,按不同情况和不同分类
标准
excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载
,有不同
分类:
i, 封闭系统测量, 开放系统测量;
ii, 两体及多体: 局域测量、关联测量、 联合测量;
iii, 完全测量,不完全测量。破坏测量、非破坏测量。
3,两体局域测量、关联测量、联合测量
i,局域测量 :只对两体中的某一方作测量,比如只对 A
测量。相应力学量是 A BI ,
47
A B A B
r AB r r AB A B r r AB A
A
r A A
T T T I T T
T
所有测量结果只和约化密度矩阵 A 有关。
ii,关联测量 :同时对 A和B 作局域测量(并比较相应的
结果) : A B 。此时只对未纠缠态——可分离态,有
A B 。
iii,联合测量 :测量不是局域进行的,类似于下面不可分
离类型的力学量测量, , 2i iA B
i
i 。
IV,局域测量——广义测量与 POVM(正值算符测度)
1, 广义测量
广义测量是指,在一个由若干子系统组成的大系统上进行正交测
量时,在局部的子系统上所实现的局限性测量,称为广义测量,又称
为局域测量。从大系统的角度来看,现在的子系统是个开放系统,对
其进行的观测是片面的观测、局部的观测。广义测量也可以说成是对
开放系统的量子测量。
通过把与所考虑系统有相互作用的外部系统都计算进来,构成足
够大系统的
办法
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,总能以足够好的近似将这个大复合系统看作是孤立
体系。我们知道,对孤立体系所作的测量是正交投影测量。因此可以
说,对如此构成的大系统中某一组相互对易力学量完备组进行的量子
测量,必定是正交投影测量。就是说,测量所得的必定是这个完备组
共同本征态的量子数,测量所实现的也必定是向这个完备组相互正交
共同本征态的投影。
但是,大系统这组相互正交的本征态族在子系统所属子空间中的
48
对应态未必仍然相互正交。于是可以设想,不知道(根本就不知道,
或是不想知道,或是难以知道)大系统、只知道子系统的观察者会认
为:通常情况下的量子测量将投影出一组非正交态,而不是一组正交
态。这就是通常所说的“广义测量不一定是正交投影”的原故 2。
2, 广义测量解释 3
i, 直和子空间解释
假设所关心的态空间 AH 是一个更大的直和空间
AA HHH
的一部分(设 AH 的基是 i ,H 的基是 , 0, ,i i )。H 有
正交基 u 。设 AM 是 AH 中的一个可观察量,于是有以下正交分解
关系
0 AA MM (4.2)
~~u (4.3)
这里 ; ;A A AH H H 。注意,不同 值的 u 虽然彼
此正交,但它们在子空间 AH 中投影部分 ~ 却不一定彼此正交,也
不一定归一。也即,从子空间 AH 中看,这些态 ~ 并不一定彼此正
交归一。但由于 1 uu ,记 ~~1 ,注意 均不会为负
值。于是可令
~ (4.4)
由此,这里的态 已归一。
现在假设,在大空间 H 中对子空间 AH 中的一个态 A 执行向基矢
u 的正交投影测量 uuE 。这些测量,从“生活”在 AH 中的观
2 见上注 1 文献。第 12 章。
3 张永德,《量子信息物理原理》,北京:科学出版社,2006 年,§1.3。
49
察者来看,只得到以概率(注意 A 不属于 AH ,作用为零)
Pr A A Aob u u (4.5a)
获得测量结果 和态 。特别是,在测出 值以后,塌缩投影
过去的这些测量末态 不见得彼此正交。
设 A AE I 是子空间 AH 的单位算符,它也是大空间 H 向子空间 AH
的投影算符。于是利用它可将H 中的正交投影算符系列 E u u
向 AH 投影。即定义 AH 中的一组算符
~~EEEF AA (4.6)
利用定义(6)式,可以把(5a)式,即从 AH 中观察所得结果为 的
概率重新写为
Pr A A Aob tr F (4.5b)
这些 F 显然是厄密的、非负的,但迹却不一定为 1(1 0TrF ),
而且也不一定彼此正交,所以不能算是正交投影算符系列。然而,它
们总和等于子空间 AH 中的单位算符
A A A AF E E E E I
(4.7)
因此,这些 F 在子空间 AH 中执行着类似于 E 在H 空间中的投影分解
任务,但它们却不是正交投影 4。推广开来看,可以引入如下定义:
[定义]系统 A的一组 POVM 是一种对 A某个子空间单位算符 AI
的是一组正值算符分解 (positive operator valued mesure)━━简称正
测度分解。它是一组以非正交方式分解单位算符的非负厄密算符系
列:
4 J.Preskill, 《Lecture Notes for Physics229: Quantum Information and Computation》, CIT,
Sept. 1998.;见上注 3 文献,§1.3;M.A.Nielsen and I.L.Chuang, 《Quantum Computation and
Quantum information》, Cambridge University Press, 2000, p.90。
50
1
( 1, 2, , ) , , 1; 0,
n
a AA AF n F F trF F F I
(4.8)
这里态 A 是系统 A的任意态。当正交方式分解时即简化为前面的正正
交投影测量。根据这里的广义测量理论,当对 AH 中 A 态作广义测量
时,相应每个测量结果 F 的概率由(5a、5b)式表示。特别是,有
Pr A Aob tr F
为保证概率正定和总概率为 1, F 的正定性和
1F 都是必需的。
由于任何投影算符 P 的平方等与它自己 2P P ,所以开根也是它
自己 P P 。而这里 正属于投影算符,于是在广义测量前后,
态的改变是
FF AAAA (4.9)
(9)式是正交投影情况( A A AE E
)向 POVM 情况的推
广。注意,由于“ F 等于大空间的 E 向子空间 AH 的投影”,所以有
AH 的维数 F 数目 E 数目= A AH H 维数和 (4.10)
F 个数可能少于 E 个数的原因是:可以有这样的 E ,它只向正交子
空间 AH 投影,于是与这种 E 相应的 F 便是零。
这个 POVM 名词最初来源于文献 5。该文首次引入广义测量概
念来分辩一些非正交的态。POVM 是封闭系统 von Neumann 正交投
影测量向开放系统测量的推广,是完全测量向非完全测量的推广。
ii, 直积子空间解释
假设考虑一个 N 维系统 A,处在态 A 上。并假设另有一个辅助
系统 B(常称为“附属系统”,其维数这里并不重要,予以略去)处
5 A.Peres, How to differentiate between non-orthogonal states, Phys. Lett. A, 128, 19(1988)。
51
在已知态 B 上。设这两个系统组成一个“未关联”的张量积的大系
统,初态为 AB A B 。现在对这个张量积系统进行某种正交投影
测量 ; ABE E I
。在单次测量中得到测量结果为 E 中的某
一个,相应概率 Pr ob 为
,
, 0 ,
, 0
Pr
N
AB
A B A Bnm srmr ns
m n r s
N
A
A Anmmn
m n
ob Tr E E
F Tr F
简单直接地说,即有
Pr AB AA B Aob Tr E Tr F (4.11a)
这里
,
,
B
B A Bsrmn mr ns mnr s
F E Tr E I (4.11b)
这一组算符F就被称作为一种 POVM——正值算符测度。(11a)表
明, Pr ob 既是张量积大系统在正交测量 E 中得到结果为 E 的概
率,也是在子系统 A 中执行相应的 POVM 并得到F的概率。
由于(11a)中的 Pr 0ob ,以及 A 是任意和非负的,可知全
体F都是非负的,有时就简单称它们为正的。按(11b)式,它们也是
厄米的、总和为 1。比如总和为 1,(11b)式对求和即得分量形式为
, ,,
B mn rs Bsr srmn
r s r smn mr ns
B
mn B mn A mn
F F E
Tr I
这正是(7)式。但对于直积情况,POVM 中F个数的上限与直和的
(10)式不同。这时有
dim dimA A BH Number F Number E H H 维数积(4.12)
52
当对大系统 A B 测量之后,塌缩结果为E 时,大系统的态相应塌缩
到下面状态,
A B
AB AB
A B
E E
Tr E
(4.13)
但与此同时,对于只知道子系统A的观察者而言,当测量塌缩到 F 时,
密度矩阵从 A 变为
B
A B
A AB
A B
Tr E E
Tr E
(4.14)
注意,这里(14)式和前面(9)式求和中对应项是相同的。因为,
注意到这里所用的向 A 投影算符 AE 对 A 而言是单位算符 AI ,于是由
于(14)式分子已经 BTr ,所以可以左右全乘以 AE ,并收入求迹号
内,同时对求迹号内 A 两侧也如此做。至于分母可直接利用概率公
式(11a)。总之可以有
B
A A A A B A
A AB
A B
B
A B A
AA A
A A
Tr E E E E E E
Tr E
Tr F F F F
F F
Tr F Tr F
这里最后结果F 上的根号是等式对全部测量概率归一化的要求。
以上通过直和与直积两种方式说明了,在更大态空间中进行某个
正交投影测量过程,反映到它某个子空间中(相当于只从这个子空间
作局部性观察),就实现为一个非正交的投影系列——实现一种
POVM。
3,POVM 举例
举一个单 qubit 两维态空间中 POVM 例子。选择 N 个 3 维单位矢
量 n 和 N 个正实数 ,使它们满足:
110 , ,
53
0
n 。由此便可构造一种有 N 个元素的 POVM 如下:
1F n (4.15a)
回忆起 1
2
自旋态的投影算符为 1 1
2
E n n n ,这里 n 是态
的极化矢量,就有
2F E (4.15b)
它们共计 N 个,显然都是非负的、厄密的,并且有
InIF
这 N 个 F 就在此 qubit 二维态空间中定义了一个 POVM。
注意,在两维态空间中作单位算符的 POVM 分解时,若是两个
分解(N=2,即 1 2,F F ),虽有无穷多种分解,但必定都是正交分解:
1 2I n n n n F F
只有多于所在空间维数的分解,即 3N 的分解,才必定是非正交的
分解。比如对 N=3 情况,若取任意三角形的三个边作为(首尾相接
的)三个矢量 ( 1,2,3)n ,则有 1 2 3 0n n n ,再选比如 1 2 3 13 ,
于是便得到一种共计三个的如下 POVM,
1 21 ; 1, 2, 3
3 3
F n E n (4.16)
由它们乘积即知,它们已不再是正交投影,各自的迹也不是 1 了。
V,Neumark 定理与考虑 POVM 的 GHJW 定理
1,Neumark 定理 6
上面通过考察比 AH 更大空间中的正交测量,得到了在 AH 空间
中的 POVM 的概念。现在反过来考虑,这就是 Neumark 定理:
54
“总能够采用将所考虑的态空间拓展到一个较大空间,并在这个
较大空间执行适当正交测量的办法,实现所考虑空间中任何事先给定
的 POVM。”
证明:考虑一个 N 维状态空间H 和n(n N )个 , 1, 2, ,F n 的
POVM。每个一维正算符(意即只有 1 个非零本征值)F 可写为
, ,,; ; , 1, 2, ,i ji jF F i j N (4.17)
注意这里 和 ,1 ,2 ,, , ,T N 不一定归一。于是,已设的全
体F 之和为H 中单位矩阵的结果,现在就表示为
, , ,,
1 1
n n
i j i ji j
F
(4.18)
可以换一种角度看待上面这 n个 N 维矢量的并矢之和为单位矩阵的
关系式(18):按下式定义 N 个n维矢量
,i i
这里是说,在n维空间中第 i 个矢量的第 分量为 ,i ii 。于
是在这n维空间中就已经有了 N 个正交归一的矢量。现在只需要在这
个高维一些的n维空间中再增加(n N )个正交归一矢量,补充这 N
个正交归一矢量集合,使它们共同成为一组正交归一完备基矢就可以
了。显然,这种补充不但是可行的,并且办法不是唯一的。设补充的
(n N )个正交归一矢量为
1, , ,, , , ; 1, ,Tk k k n k k N n (4.19)
将两部分合并排成正交归一的n行之后,各列便同时组成n维空间的
一组n个正交归一基 u 。注意这些 u 是如此构造的:第 个矢量的
前 N 个分量为 ,i ( 1,2, ,i N ),后(n N )个分量为新补充的。
6 张永德,《量子信息物理原理》,北京:科学出版社,2006 年,§1.3。
55
现在可以在这个n维空间中执行一个由下面定义的正交测量:
E u u (4.20)
显然,将基矢 u 明写出来便是
u
(4.21)
这里 ;H H 。这里H 是由 T 所撑开的、维数为(n N )
的、与H 正交的另一个子空间。通过正交投影,可将 u 投影到 H ,
于是就得到H 中原先已设定为 POVM 的 F 。 证毕。
总而言之,由正交测量的局部投影之后所得的 POVM 以及此处
的 Neumark 定理,可以得到一个总体的认识:在一个系统上执行任
选的 POVM 类型的测量是人们能够执行的最一般的测量。
2,举例说明
[例 1] 可以采用直和拓展方法来应用此定理。再次考虑单个
qubit。取(16)式的 POVM F :
1 2 32 ; 1, 2, 3 ; 03F n n n n n
现在用直和方式增加一维,在三维态空间中构造如此正交投影操作,
使得在二维态空间中观察,此测量就是事先给定的F 。为此取一个
“三进制”量子位——一个三维态空间的单量子系统 qutrit,并取定
1 2 33 1 3 10 0 1 ; 0 ; 02 2 2 2n n n
这三个矢量在球坐标中分别为 2 40 0 , 0 , 0
3 3
,它们
是 X-Z 面上等角三叶螺旋桨,夹角120。因此,考虑到F 和
56
cos2 2 2,
3 3 sin
2
n
这里 ,n 均是归一化的 12 自旋态。由此得到
1 2 3
1 6 1 62 3 , ,
0 1 2 1 2
(4.22)
根据定理证明中叙述,可以将这三个两维矢量看作是个 2 3 的矩阵
(由于所取 POVM 的完备性,(22)式中两行是正交的)。再补上正
交的第三行(注意保持归一化),就成为
1 2 3
1 6 1 62 3
0 1 2 1 2
1 3 1 3 1 3
u u u
(4.23)
如定理所说的,各列(现即为 u )也彼此正交。这时我们执行向基
u 的正交投影测量(即,测量以 u 为本征矢量的物理量组)。
一位只生活在二维子空间中的观察者将会认为在他子空间中执行了
一种 POVM 1 2 3F F F 。也就是说,如果我们的 qubit 暗中是某个
qutrit 的两个分量,对这个 qutrit 态空间中进行上面这样的正交测量,
就实现了在我们这个 qubit 上所预定的 POVM F 。
[例 2] 也可以采用直积拓展的方法来应用此定理。为便于比
较,仍考虑单个 qubit 情况,并且还是取(16)式的 POVM F :
1 2 32 ; 1, 2, 3 ; 03F n n n n n
三个态为(下面 2 中添一负号是为了 1 , 1, 2, 32n n
)
1 2 3
1 6 1 62 2 3: , ,
3 0 1 2 1 2
n
57
现在采用引入第二个 qubit B 作直积来拓展,去实现这个 POVM。在
两个 qubit 的直积态空间中,
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
一组完备力学量组的测量实验,使
状态向下述正交归一基作正交投影:
0
2 10 0 1 ; 1,2,3
3 3
1 1
B A BA
A B
n
(4.24)
如果初态是 0 0AB A B ,有
23 AAB A An n Tr F (4.25)
所以这里投影就实现了 AH 上的这个 POVM。这里直积拓展是在一个
4 维态空间中执行正交测量,而上面直和
方案
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中仅仅需要 3 维。
3,考虑到 POVM 的 GHJW 定理 7
讨论 GHJW 定理(定理详见本书第 27 讲第 III 节)时将会看到,
由制备态
AB A B
q
(4.26)
人们能够采用 BH 上的正交测量 E 来实现 A粒子的系综:
A A
q
(4.27)
而且,假如 BH 维数为n,即便对这单个纯态 AB ,通过在 BH 中测量
一个合适的可观测量的办法,能够实现制备任何最多包括n个独立纯
态的系综 A 。办法是假定 BH 中这个可观测量的本征态是 B ,则
A B AB B B A A
q
(4.28)
即可给出系综 A 中包含的纯态系列。或反过来,用已知的 A的态去
作内积找出B 中的态和它们所对应的力学量。
7 J.Preskill,《Lecture Notes for Physics229: Quantum Information and Computation》, CIT,
Sept. 1998.;张永德,《量子信息物理原理》,北京:科学出版社,2006 年,§7.2。
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但现在有了POVM的概念就能看到,如果要是在 BH 上做POVM,
而不单单只是正交测量。那么,即便对于 BH 的维数为 N n ,也可以
通过在 BH 的子空间中适当选择一组 POVM 来实现任何 A 的制备。于
是可以重写 AB 为
AB A B
q
(4.29)
这里
B 是将 B 向 B 的支集作正交投影的结果。现在可以在 B 的
支集上用
B
F 执行 POVM。于是也就以概率 q 制备了态
A 。
VI,非破坏测量
详见文献 8,这里从略。
8 V.B.Braginsky and F.Ya Khalili,Rev. Mod. Phys.,Vol.68,1(1996)。张永德,《量子信息
物理原理》,北京:科学出版社,2006 年,§1.5。