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与对称矩阵可交换的反对称矩阵.pdf

与对称矩阵可交换的反对称矩阵

qz37xuebin
2013-02-28 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《与对称矩阵可交换的反对称矩阵pdf》,可适用于工程科技领域

与对称矩阵可交换的反对称矩阵黄益生姚海鹭(三明学院数学与计算机科学系福建三明)摘要:引入对称矩阵的导出矩阵与次导出矩阵的概念给出n阶对称矩阵与n阶反对称矩阵是可交换的两个等价条件。同时利用导出矩阵和次导出矩阵的秩对阶对称矩阵进行分类并且对每一种类型的阶对称矩阵求出与它可交换的所有阶反对称矩阵。关键词:对称矩阵反对称矩阵交换性导出矩阵次导出矩阵中图分类号:O文献标识码:A文章编号:-()--收稿日期:作者简介:黄益生男福建龙岩人教授主要研究方向:BCI代数。基金项目:福建省教育厅高等学校教学质量工程资助项目(ZLTZ(SJ))。在矩阵论中对称矩阵与反对称矩阵是两类特殊矩阵有许多重要应用。我们知道矩阵的乘法不满足交换律。如果两个同阶方阵A与B的乘积等于B与A的乘积即AB=BA那么称A与B是可交换的。一般地当A是对称的B是反对称的时它们是不可交换的。例如容易验证当A是阶非纯量对称矩阵B是阶非零反对称矩阵时A与B必不可交换。这就导致我们考虑在什么条件下一个对称矩阵与一个反对称矩阵是可交换的?怎样求出与对称矩阵可交换的反对称矩阵?经网上搜索没有发现与这些问题有关的文献。在本文中我们将首先给出一个n阶对称矩阵A与一个n阶反对称矩阵B是可交换的一个充要条件然后引入对称矩阵A的导出矩阵与次导出矩阵的概念并给出A与B是可交换的另一个充要条件。同时我们将利用导出矩阵与次导出矩阵的秩对阶对称矩阵进行分类并且对每一种类型的阶对称矩阵求出与它可交换的所有阶反对称矩阵。有关矩阵的概念及其性质我们参照文献和。我们用符号rank(A)来表示矩阵的秩并用A'来表示A的转置矩阵。于是A是对称的意味着A'=A它是反对称的意味着A'=A。如果A=(aij)是一个n阶方阵那么A是对称的当且仅当aij=aji它是反对称的当且仅当aij=aji这里ij=…n。命题设A是数域F上的一个n阶对称矩阵B是数域F上的一个n阶反对称矩阵则A与B是可交换的当且仅当它们的乘积AB是反对称的。证明根据已知条件有A'=A且B'=B。根据穿脱原理有(AB)'=B'A'所以(AB)'=BA(i)现在如果A与B是可交换的即AB=BA那么由(i)式我们有(AB)'=AB所以AB是反对称的。反之如果AB是反对称的即(AB)'=AB那么由(i)式我们有AB=BA所以AB=BA因此A与B是可交换的。设A与B分别是数域F上的一个n阶对称矩阵和一个n阶反对称矩阵(n>)。不妨设A=aaa…anaaa…anaaa…an┇┇┇埙┇ananan…annnnnnnnnnnnnn且B=xx…xnxx…xnxx…xn┇┇┇埙┇xnxnxn…nnnnnnnnnnnn令cij是A与B的乘积AB的第i行第j列元素(ij=…n)则当i=j时有cij=aixi…aiixiiaiixii…ainxin当i<j时有cij=aixj…aiixijaiixij…aijxjjaijxjj…ainxjn当i>j时有cij=aixj…ajixjjajixjj…aiixjiaiixjx…ainxjn。根据命题下列断语成立:A与B是可交换的当且仅当下列n(n)个等式同时成立:龙岩学院学报JOURNALOFLONGYANUNIVERSITY年月第卷第期AprilVol.No.cii=且cij=cjii<jij=…n即c=c=c=…cnn=cc=cc=…cncn=cc=…cncn=埙┇cn,ncn,n=。如果我们把A的元素看作常数并把B的(主对角线上方)元素看作未知量那么这n(n)个等式构成一个n(n)元齐次线性方程组。令C是方程组的系数矩阵则上述断语可以改写如下:A与B是可交换的当且仅当B的(主对角线上方)元素是方程组CX=的一个解。显然矩阵C的行数为n(n)列数为n(n)。为了便于叙述我们引入两个术语如下。定义上述齐次线性方程组CX=的系数矩阵C称为对称矩阵A的导出矩阵由C的前n行组成的矩阵称为A的次导出矩阵记作D。于是下列命题成立。命题设A是数域F上的一个n阶对称矩阵(n>)并设C是A的导出矩阵。令B=(bij)是数域F上的一个n阶反对称矩阵则A与B是可交换的当且仅当B的主对角线上方元素bb…bnb…bnb…bn…bnn是齐次线性方程组CX=的一个解。命题表明可以通过解方程组CX=求出对称矩阵A可交换的所有反对称矩阵。当A的阶数n较大时它的导出矩阵C和次导出矩阵D的形状比较复杂。下面让我们来看看当n=时C与D具有什么形状。为了便于书写我们令A=abcbdecef┇┇且B=xyxzyz那么AB=bxcyaxczaybzdxeybxezbydzexfycxfzcyez根据命题有bxcy=bxez=cyez=axcz=dxeyaybz=exfybydz=cxfz。换句话说bxcy=bxez=cyez=(ad)xeycz=ex(fa)ybz=cxby(df)z=。因此A的导出矩阵C与次导出矩阵D分别为C=bcbeceadecefabcbdf且D=bcbece┇下面我们将利用导出矩阵和次导出矩阵的秩把阶对称矩阵分成几种类型然后对每一种类型的阶对称矩阵求出与它可交换的所有阶反对称矩阵。首先给出一个命题如下。命题设A=abcbdecdf┇。令C与D分别是A的导出矩阵与次导出矩阵则()rank(D)≤且rank(D)≤rank(C)()若rank(D)=则bce这三个数中只有一个不等于零()若rank(C)<则rank(C)=即C是零矩阵()若rank(C)=且rank(D)=则adf这三个数中只有两个相等()若rank(C)=且rank(D)=则当b≠时有(fa)(fd)=b当c≠时有(da)(df)=c当e≠时有(ad)(af)=e。()若rank(C)=且rank(D)=则bce全不为零并且abce=dbecacbe=fcebbcde=cbfe。证明()根据前面的讨论A的次导出矩阵为D=bcbece。容易计算行列式|D|等于零所以rank(D)≤。其次由于D的每一个子式是C的一个子式因此rank(D)≤rank(C)。()已知rank(D)=那么bce中至少有一个不等于零并且D的任意两行对应元素成比例。于是当b≠时由D的前两行可见c=e=。当c≠时由D的第行和第行可见b=e=。当e≠时由D的后两行可见b=c=。()已知rank(C)<那么由()有rank(D)<。如果rank(D)=根据()bce这三个数中只有一个不等于零。不妨设b≠那么C=bbadfabbdf(ii)注意到rank(C)<因此C的任意两列对应元素成比例。于是由C的前两列可见b=。这与b≠矛盾。此矛盾表明rank(D)=即bce全为零。现在用数代替(ii)式中的b并注意到rank(C)<我们看到adfadf这三个数中至少有两个等于零。不妨设ad=且fa=那么d=a且f=a所以df=。这就证明了C是零矩阵。()已知rank(C)=且rank(D)=那么bce全为零并且adfadf这三个数中有一个等于零另两个不等于零所以adf这三个数中只有两个相等。()已知rank(D)=。根据()bce这三个数中只有一个不等于零。当b≠C就是(ii)式中的矩阵。又已知rank(C)=那么由C的第行组成的行列式等于零所以b(fa)(df)b=。再加上b≠因此(fa)(fd)=b。类似地可证另外两种情形。()已知rank(D)=那么bce这三个数中至少有两个不等于零。不访设b≠且c≠那么bc≠。又已知rank(C)=。如果e=那么由A的导出矩阵C=bcbeceadecefabcbdf≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠的第行组成的行列式其值等于零即beceadec=(其中e=)所以bc=。这与bc≠矛盾因此bce全不为零。再由rank(C)=可见由C的第行、第行和第行组成的三个行列式其值都等于零即bcceadec=beceefab=bcbecbdf=。对于这三个行列式把第i个按第i列展开(i=)得b(ec)ce(ad)=c(eb)be(fa)=e(bc)bc(df)=。现在用bce去除这三个等式两边并整理得abce=dbebacbe=fcebbcde=cbfe。利用命题可以对阶对称矩阵进行分类。一般地如果一个对称矩阵A的阶数为n它的导出矩阵的秩为r次导出矩阵的秩为r那么我们称(nrr)为A的型。于是由命题可见数域F上全体阶对称矩阵一共可以分成下列七种类型:()()()()()()()。假定A=abcbdecdf≠≠是一个阶对称矩阵。如果A的型是()那么它的导出矩阵C是零矩阵所以b=c=e=并且ad=fa=df=。由此可见a=d=f因此A=aI即A是一个纯量矩阵这里I是阶单位矩阵。如果A的型是()根据命题()A是一个对角矩阵其主对角线上元素只有两个相等。如果A的型是()根据命题()和命题()A具有下列三种形状之一:abbdf≠≠b≠且(fa)(fd)=bacdcf≠≠c≠且(da)(df)=cadeef≠≠e≠且(ad)(af)=e。如果A的型是()根据命题()A的元素bce全不为零并且abce=dbecacbe=fcebbcde=cbfe。此外仿照命题不难验证如果A的型是()那么A是一个对角矩阵其主对角线上元素互不相同。如果A的型是()那么它具有下列三种形状之一:abbdf≠≠b≠且(fa)(fd)≠bacdcf≠≠c≠且(da)(df)≠cadeef≠≠e≠且(ad)(af)≠e。如果A的型是()那么A具有下列四种形状之一:abcbdcf≠≠abbdeef≠≠acdecef≠≠abcbdecef≠≠其中bce≠并且对于前三个矩阵adf是数域F中的任意数对于最后一个矩阵下列三个等式至少有一个不成立:abce=dbecacbe=fcebbcde=cbfe。现在让我们对每一种类型的阶对称矩阵求出与它可交换的所有阶反对称矩阵。仍然假定A=abcbdecef是数域F上的一个阶对称矩阵。如果A的型是()那么A是一个纯量矩阵所以数域F上每一个阶反对称矩阵都与A可交换。如果A的型是()那么A的导出矩阵为C=adfadf其中adfadf这三个数中有一个等于零另两个不等于零。于是当ad=时齐次线性方程组CX=的解为x=ky=z=其中k是数域F中的任意数。根据命题与A可交换的所有阶反对称矩阵为B=kk坌k∈F。类似地当fa=或df=时有B=kk或B=kk坌k∈F。如果A的型是()那么rank(C)=且rank(D)=。根据命题()和命题()当b≠A的导出矩阵C就是(ii)式中的矩阵所以由C的第行和第行组成的矩阵即bfab其秩也等于。于是方程组CX=与下列方程组同解:bx=(fa)ybz=。因而其解为x=y=kbz=k(fa)坌k∈F。根据命题与A可交换的所有反对称矩阵为B=kbk(fa)kbk(fa)坌k∈F。类似地当c≠或e≠时有B=k(df)k(df)kckc坌k∈F(iii)或B=kek(ad)kek(ad)坌k∈F。如果A的型是()那么rank(C)=rank(D)=。根据命题()bce全不为零所以由D的前两行组成的矩阵即bcbe其秩也等于。于是方程组CX=与下列方程组bxcy=bxez=同解因而其解为x=kby=kcz=ke坌k∈F。根据命题与A可交换的阶反对称矩阵为B=kbkckbkekcke坌k∈F(iv)如果A的型是()()或()那么rank(C)=所以方程组CX=只有零解因此与A可交换的反对称矩阵只能是阶零矩阵。例设A=且A=并设A=则AAA都是阶对称矩阵它们的导出矩阵分别为C=C=C=。容易看出A的导出矩阵与次导出矩阵其秩分别为和所以A的型为()。根据公式(iii)在数域F上与A可交换的所有阶反对称矩阵为k()k()k()k()即kkkk坌k∈F。其次不难计算A的导出矩阵与次导出矩阵其秩都是所以A的型为()。根据公式(iv)在数域F上与A可交换的所有阶反对称矩阵为kkkkkk坌k∈F。再次注意到C是列满秩的因此齐次线性方程组CX=只有零解。根据命题与A可交换的阶反对称矩阵只能是阶零矩阵。(下转第页)参考文献:张禾瑞等高等代数(第四版)M北京:高等教育出版社北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组高等代数(第三版)M北京:高等教育出版社〔责任编辑:邱维敦〕AntiSymmetricMatricesWhichAreCommutativewithSymmetricMatricesHUANGYisheng,YAOHailuAbstract:Inthispaper,weintroducetheconceptsoftheinducedmatrixandsubinducedmatrixofasymmetricmatrix,andobtaintwoequivalentconditionsthatannordersymmetricmatrixandannorderantisymmetricmatrixarecommutativeAtthesametime,usingtheranksofinducedmatrixandsubinducedmatrix,wegiveapartitionofordersymmetricmatricesMoreover,foreachclassofordersymmetricmatrices,wefindallorderantisymmetricmatriceswhicharecommutativewiththisclassofmatricesKeywords:symmetricmatrixantisymmetricmatrixcommutativityinducedmatrixsubinducedmatrix所以∞t=NΣ(|u(n)u*(n)||u(n)u*(n)|)≤V(N)δ<∞故limn→∞(ui(n)ui*(n))=i=。即limn→∞(xi(n)xi*(n))=i=。定理得证。参考文献:陈兰荪数学生态学模型与研究方法M北京:科学出版社,FDChenPermanenceofadiscreteNspeciesco-operationsystemwithtimedelaysandfeedbackcontrolJApplMathComput,():XXChenPeriodicityinanonlineardiscretepreda-torpreysystemwithstatedependentdelaysJNonliearAnalSerB:RealWorldAppl,():FDChenPermanenceandglobalattractivityofadis-cretemultispeciesLotkaVolterracompetitionpredatorpreysystemJApplMathComput,():FDChenPermanenceforthediscretemutualismmod-elwithtimedelaysJMathComptModelling,():FDChenPermanenceinadiscreteLotkaVolterracompetitionmodelwithdeviatingargumentsJNonliearAnalRealWorldAppl,():LPWu,FDChenZLiPermanenceandglobalattractivityofadiscreteSchoener’scompetitionmodelwithdelaysJMathComputModeling,():FDChen,MSYouPermanenceforanintegrodif-ferentialmodelofmutualismJApplMathComput,():XXChenPeriodicityinanonlinearpredatorpreysystemontimescaleswithstatedependentdelaysJAp-plMathComput,():〔责任编辑:邱维敦〕PermanenceandGlobalAttractivityofaNonlinearDiscreteCooperationModelSUQianqianZHANGNaAbstract:ThispaperstudiesaclassofnonlineardiscretetimedelaycooperationmodelByusingdifferen-tialinequalityoftherelevantconclusionsandconstructingasuitableLyapunovfunctional,sufficientconditionsareobtainedtoensurethepersistentandglobalattractivityofthesystemKeywords:nonlineardiscretepersistenceglobalattractivity→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→(上接第页)

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