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数学实验 5：线性代数方程组的数值解法

数学实验 5：线性代数方程组的数值解法实验 5：线性代数方程组的数值解法习题3：已知方程组 ,其中，定义为：试通过迭代法求解此方程组，认识迭代法收敛的含义以及迭代初值和方程组系数矩阵性质对收敛速度的影响。实验要求：（1）选取不同的初始向量x0和不同的方程组右端向量b，给定迭代误差要求，用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法计算，观测得到的迭代向量序列是否均收敛？若收敛，记录迭代次数，分析计算结果并得出结论；（2）取定右端向量b和初始向量x0，将A的主对角线元素成倍的增长若干次，非主对角元素不变，每次用雅可比迭代法计算，要求迭代误差满...

实验 5：线性代数方程组的数值解法习题3：已知方程组 ,其中，定义为：试通过迭代法求解此方程组，认识迭代法收敛的含义以及迭代初值和方程组系数矩阵性质对收敛速度的影响。实验要求：（1）选取不同的初始向量x0和不同的方程组右端向量b，给定迭代误差要求，用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法计算，观测得到的迭代向量序列是否均收敛？若收敛，记录迭代次数，分析计算结果并得出结论；（2）取定右端向量b和初始向量x0，将A的主对角线元素成倍的增长若干次，非主对角元素不变，每次用雅可比迭代法计算，要求迭代误差满足 ,比较收敛速度，分析现象并得出结论。 1、程序设计（可直接粘贴运行） 1） Jacobi迭代法 function y=jacobi(a,b,x0,e,m) %定义jacobi函数，其中：a,b为线性方程组中的矩阵和右端向量；x0为初始值； %e和m分别为人为设定的精度和预计迭代次数；运行结果y为迭代的结果和所有中间值组成的 %矩阵 y=0; %对y初始化 d=diag(diag(a)); %按雅可比迭代标准形形式取主对角元素作为矩阵D u=-triu(a,1); %取上三角矩阵u l=-tril(a,-1); %取下三角矩阵l bj=d^-1*(l+u); fj=d^-1*b; x=[x0,zeros(20,m-1)]; %初始化x,其中x1=x0,即初始值 for k=1:m %人为规定迭代次数，防止不收敛迭代导致死循环 x(:,k+1)=bj*x(:,k)+fj; %jacobi迭代 if norm(x(:,k+1)-x(:,k),inf) 表一：收敛性判断 1-范数 2-范数 -范数 Jacobi 0.0163 0.0167 0.0163 0.0167 Gauss 0.0008 0.0084 0.0084 0.0084 可以看到，矩阵A无论是谱半径或是任意范数的值都小于1，可知在A不变的情况下，Jacobi和Gauss法必然收敛。 2） b取不同的值，x0=20*ones(20,1), e=10^-5, m=50 条件下的情况对比迭代次数 B=[1:20]’ B=[10:10:200]’ B=[20:-1:1]’ B=20*ones(20,1) B=2000*ones(20,1) Jacobi 24 26 24 23 30 Gauss 16 17 16 15 20 根据1）分析的结果，可以证明无论b取任何值，采用两种方法迭代均收敛，但b的值的变化会影响迭代的次数；且Gauss迭代法总是比Jacobi迭代法收敛速度更快。下表列出的是B=[1:20]’情况下部分结算结果，可以很明显的看到两种迭代法的收敛速度不同: Jacobi K=1 K=2 K=3 K=4 K=5 K=6 … K=22 K=23 K=24 标准值 X1 5.3333 2.7500 1.5394 1.0874 0.8858 0.7982 … 0.7247 0.7247 0.7247 0.7247 X2 9.0000 4.3333 2.6644 1.9248 1.6082 1.4652 … 1.3444 1.3444 1.3444 1.3444 X3 11.0000 5.8056 3.7199 2.7801 2.3626 2.1717 … 2.0072 2.0072 2.0072 2.0072 Gauss K=1 K=2 K=3 K=4 K=5 K=6 … K=14 K=15 K=16 标准值 X1 5.3333 2.0540 1.1354 0.8539 0.7657 0.7377 … 0.7247 0.7247 0.7247 0.7247 X2 6.5556 2.9432 1.8459 1.5033 1.3949 1.3605 … 1.3444 1.3444 1.3444 1.3444 X3 7.5370 3.7386 2.5553 2.1815 2.0627 2.0249 … 2.0072 2.0072 2.0072 2.0072 由于精度问题，在迭代的最后几次中从显示的数位已经不能看出标准值与计算值得差别，但是若采用long显示设定，就可以看到更多位小数的显示，其结果符合最初设定的精度e，数据繁琐，略。 3） x0取不同的值，b=20*ones(20,1), e=10^-5, m=50 条件下的情况对比迭代次数 X0=[1:20]’ X0=[10:10:200]’ X0=[20:-1:1]’ X0=20*ones(20,1) X0=2000*ones(20,1) Jacobi 22 27 22 23 31 Gauss 15 18 15 15 20 根据1）分析的结果，可以证明无论X0取任何值，采用两种方法迭代均收敛，但x0的值的变化会影响迭代的次数；且Gauss迭代法总是比Jacobi迭代法收敛速度更快。下表列出的是x0=[1:20]’情况下部分结算结果，可以很明显的看到两种迭代法的收敛速度不同: Jacobi K=1 K=2 K=3 K=4 K=5 K=6 … K=20 K=21 K=22 标准值 X1 7.2500 8.6250 9.2228 9.4536 9.5541 9.5974 … 9.6327 9.6327 9.6327 9.6327 X2 7.6667 9.9583 10.814 11.183 11.341 11.411 … 11.4683 11.4683 11.4683 11.4683 X3 8.1667 10.757 11.816 12.282 12.487 12.579 … 12.6560 12.6560 12.6560 12.6560 Gauss K=1 K=2 K=3 K=4 K=5 K=6 … K=13 K=14 K=15 标准值 X1 7.2500 8.9352 9.4267 9.5720 9.6150 9.6276 … 9.6327 9.6327 9.6327 9.6327 X2 8.7083 10.654 11.228 11.398 11.448 11.463 … 11.4683 11.4683 11.4683 11.4683 X3 9.8056 11.813 12.408 12.584 12.636 12.650 … 12.6560 12.6560 12.6560 12.6560 4） b=(1:20)';x0=20*ones(20,1);e=10^-5; m=50;（固定各个参数） r=20;（改变a的主对角元素，依次扩大1倍、2倍……20倍）运行结果：主对角元素扩大倍数三个范数的最小值q 迭代次数 1.0000 0.4893 21.0000 2.0000 0.2447 12.0000 3.0000 0.1631 9.0000 4.0000 0.1223 8.0000 5.0000 0.0979 8.0000 6.0000 0.0816 7.0000 7.0000 0.0699 7.0000 8.0000 0.0612 7.0000 9.0000 0.0544 6.0000 10.0000 0.0489 6.0000 11.0000 0.0445 6.0000 12.0000 0.0408 6.0000 13.0000 0.0376 6.0000 14.0000 0.0350 6.0000 15.0000 0.0326 6.0000 16.0000 0.0306 6.0000 17.0000 0.0288 6.0000 18.0000 0.0272 6.0000 19.0000 0.0258 5.0000 20.0000 0.0245 5.0000 结果分析：根据判断迭代是否收敛的原理，若A是严格对角占优的，即，则Jacobi迭代和Gauss迭代均收敛。由此推测，A的对角占优程度可能是影响收敛速度的关键因素。由上述试验表面，对A的对角元素数值的扩大的确可以明显的改善Jacobi迭代的收敛速度，与预测的情况相符。主对角占优程度可以影响收敛速度，但是这个结论因为数学水平有限没有得到严格的推导。但关于A的范数和收敛速度的关系在书上有比较完整的证明，即有公式：（1） q为A矩阵的三种范数中最小的值，x*为原线性方程组的解，可知q越小，序列收敛越快。从上表中可以看出，迭代次数的减小(收敛速度的增加)，是和q的减小同步发生的，公式（1）得到验证。还可以看到，随着扩大倍数的增大，迭代速度的增长率在不断的下降。可以直观的理解为,主对角元素的相对优势在扩大一定倍数之后已经相当明显，即使再增大若干倍其对于非对角元素仍然是具有压倒性优势的，优势地位不会因此而改变很多，根据前面的假设，收敛速度与对角占优程度有关，速度的改变也将减缓。习题8 种群的繁殖与稳定收获：种群的数量因繁殖而增加，因自然死亡而减少，对于人工饲养的种群（比如家畜）而言，为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应维持不变，种群因雌性个体的繁殖而改变，为方便起见以下种群数量均指其中的雌性。种群年龄记作k=1，2，…，n，当年年龄k的种群数量记作xk，繁殖率记作bk（每个雌性个体1年繁殖的数量），自然存活率记作sk（sk=1-dk，dk为1年的死亡率），收获量记作hk，则来年年龄k的种群数量应为，要求各个年龄的种群数量每年维持不变就是要使。 (1)若已知bk，sk，给定收获量hk，建立求各个年龄的稳定种群数量xk的模型（用矩阵、向量表示）。 (2)设n=5，b1=b2=b5=0，b3=5，b4=3，s1=s4=0.4，s2=s3=0.6，如果要求h1~h5为500，400，200，200，100，求 (3)要使h1~h5均为500，如何达到？ 1.模型的建立根据题目给出的模型和各个参量，建立线性方程组。（1）参数b,s,h的意义如题目所述，向量，表示年龄为k的种群在第i个统计时间段中的数量。题目中还给出了使各年龄的种群数量每年维持不变的要求，即在k取一定值时，不随i的变化而变化。方程（1）变为如下形式：（2）得到了方程（2）的形式，就可以通过直接或间接（迭代）方法求解线性方程组。 2.程序设计 1）构造矩阵 n=5; b=zeros(1,n); b(3)=5;b(4)=3; s=[0.4 0.6 0.6 0.4]; h=[0 500 400 200 100]'; ss=diag(s); m=[b;ss,zeros(n-1,1)]-eye(5); x1=100*ones(5,1); %初值x1，计算guass迭代使用到 x=gauss1(m,h,x1); %试通过gauss迭代法得到方程组的解 xx=m\h; %xx为matlab通过内定方法得到的解，可以认为是精确的 2）高斯函数: 试采用高斯迭代法求解方程，内部设定精度和迭代次数，输出函迭代的结果和中间值，并输出全部特征值和范数的最小值 function x=gauss1(a,b,x0) d=diag(diag(a)); u=-triu(a,1);l=-tril(a,-1); bgs=(d-l)^-1*u; fgs=(d-l)^-1*b; e=10.^-3; %设定精度 m=20; %迭代次数 x=x0; for k=1:m x(:,k+1)=bgs*x(:,k)+fgs; if norm(x(:,k+1)-x(:,k),inf)

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