角平分线 线段的垂直平分线典型
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
重点难点
(1)掌握角平分线定理及其逆定理，了解逆命题、逆定理的概念。
(2)掌握等腰三角形的性质和判定，掌握等边三角形的性质和判定，能灵活地运用它们进行论证和计算。
(3)了解等腰三角形和等边三角形之间的关系，了解它们的性质和判定定理之间的关系。
(4)掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用它们进行论证。
(5)推理的根据多了，题目复杂了，证明的思路虽然也广了，但做题时也常出现无处下手。
例题分析
例1 如图，已知
ABC中，E是AB延长线上的一点，AE=AC，AD平分∠A，BD=BE。求证：∠ABC=2∠C。
分析：通过条件BD=BE，∴可得∠BDE=∠E，而∠ABC是
EBD的外角，∴∠ABC=
2∠E，欲证∠ABC=2∠C，只要证∠C=∠E即可。
证明：在
AED和
ACD中，
∴
AED≌
ACD（SAS）
∴∠E=∠C（全等三角形的对应角相等）
又∵BD=BE（已知），∴∠BDE=∠E（等边对等角）而∠ABC是
EBD的外角，
∴
（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠ABC=2∠C（等量代换）
例2 如图中，E是AB延长线上一点，AC
BC、AD
BD、AC=AD，求证：
。
分析：因为∠CEA、∠DEA分别在
CEA、
DEA或
CEB、
DEB之中，所以只需证明
CEA≌
DEA或
CEB≌
DEB。
证明：∵AC⊥BC、AD⊥BD、AC=AD（已知）
∴∠ABC=∠ABD（到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）
∵
（垂直定义）
∴
（三角形三个内角和等于
）
∴∠CAB=∠DAB
在
AEC和
AED中
∴
AEC≌
AED（SAS）
∴∠CEA=∠DEA（全等三角形的对应角相等）
例3 如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边在直线的同旁作等边三角形ABD、BCE，连结AE交BD于M，连结CD交BE于N，连结MN，求证：
BMN是等边三角形。
分析：由已知可得
，于是
；要证
BMN是等边三角形，只需证BM=BN即可；要证BM=BN，只需证
ABM≌
DBN即可。
证明：∵AB=BD=DA、BC=CE=EB（已知）
∴
（等边三角形的每一个角都是
）
∴
（平角定义）
在
ABE与
DBC中，
∴
ABE≌
DBC（SAS）
∴∠4=∠5（全等三角形对应角相等）
在
ABM与
DBN中，
∴
ABM≌
DBN（ASA）
∴BM=BN（全等三角形对应边相等）
∴
BMN是等边三角形（有一个角等于
的等腰三角形是等边三角形）
例4 如图，
ABC中，AB=AC，在AB上取点D，又在AC延长线上取点E，使CE=BD，连结DE交BC于G点，求证：DG=GE。
分析：欲证DG=GE，作辅助线，构成新的三角形，可过点D作DF // AC交BC于F点，得到DF=DB，可证
DFG≌
ECG，从而证得DG=GE。
证明：过点D作DF // AC交BC于F点，
∵DF // AC（已作），∴∠DFB=∠ACB（两直线平行，同位角相等）
又∵AB=AC（已知），∴∠B=∠ACB（等边对等角）
∴∠B=∠DFB，∴DF=DB（等角对等边）
∵BD=CE（已知），∴DF=CE。
∵DF // CE（已作），∴∠DFG=∠ECG（两直线平行，内错角相等）
在
DFG和
ECG中，
∴
DFG≌
ECG（AAS）
∴DG=GE（全等三角形对应边相等）
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浙公网安备 33021202002483