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构造常微分方程求函数方程的解.pdf

构造常微分方程求函数方程的解

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2013-02-24 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《构造常微分方程求函数方程的解pdf》,可适用于高等教育领域

 第卷第期年月安顺学院学报JOURNALOFANSHUNUNIVERSITYVol NoApr理科教学与应用收稿日期:作者简介:徐波(~),女,黔西南民族师范高等专科学校数学系副教授。研究方向:概率统计,离散数学。构造常微分方程求函数方程的解徐 波(黔西南民族师范高等专科学校数学系,贵州 兴义)摘 要:对数函数方程,达朗贝尔方程、双曲正(余)弦函数方程(组)等,用一般求解函数方程的柯西法,通常是比较困难和复杂的。但应用微积分知识及原理,先将其化为常微分方程的初值问题,再求解,则可使解法更为简化。关键词:函数方程连续解初值问题中图分类号:O 文献标识码:A 文章编号:()  求函数方程的连续解,通常用柯西法,即先在一个稠密集确定解函数,再利用解的连续性拓展到整个定义域,这种解法虽说可行,但求解过程一般比较复杂。对某些特殊的函数方程,如果将其化为常微分来解,就可以使问题大为简化。在此我们将以例说明。先看对数函数方程:求对一切正实数x,y满足方程:f(xy)=f(x)f(y)(Ⅰ)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯的非零连续解函数f(x)。在(Ⅰ))中令x=y=得 f()=对正实数t,由f(x)连续,可将(I)在,t上积分:∫tf(xy)dy=∫tf(x)dy∫tf(y)dy作积分变换:∫xtf(s)ds=(t)xf(x)x∫tf(y)dy对x求导得:tf(tx)f(x)=(t)xf′(x)∫tf(y)dy所以f′(x)存在。现在(Ⅰ)中对x求导得:yf′(xy)=f′(x)   令y=x得xf′()=f′(x)记f′()=k(常数),得出常微分方程的初值问题:f′(x)=kxf()=解得:f(x)=klnx=logax〔其中a=ek为非正实数〕再看达朗贝尔方程:f(x)f(y)=f(xy)f(xy)(Ⅱ)⋯⋯⋯⋯⋯求对一切正实数x,y满足(Ⅱ)的连续解函数f(x)。在(Ⅱ)中令x=y=,得f()=或如果f()=,在(Ⅱ)中令y=得:f(x)f()=f(x)f(x)即f(x)≡。如果f()=,由函数f(x)的连续性,可取实数t使∫tf(y)dy≠,现将(Ⅱ)在,t上对y积分:∫tf(x)f(y)dy=∫tf(xy)dy∫tf(xy)dy作积分变换:f(x)∫tf(y)dy=∫xtxtf(s)ds对x求导:f′(x)∫tf(y)dy=f(xt)f(xt)由上式知f′(x)存在,将上式对x再求导:f″(x)∫tf(y)dy=f′(xt)f′(xt)由上式知f″(x)存在,同理,f(x)任意次可微。所以,只要f()=,函数f(x)任意次可微。现将(Ⅱ)中对y求导得:f(x)f′(y)=f′(xy)f′(xy)()⋯⋯⋯⋯⋯再对y求导得:f(x)f″(y)=f″(xy)f″(xy)()⋯⋯⋯⋯⋯在()中令x=y=,得:f′()=在()中令y=,得:f(x)f″()=f″(x)记f″()=k(常数),得二阶常系数线性方程的初值问题:··f″(x)=kf(x)f()=f′()=由上初值问题的特征方程λ=k知:当k>时,解得:f(x)=(eKxeKx)=ch(Kx)当k=时,解得:f(x)=当k<时,解得:f(x)=cos(kx)经检验,以上三个函数皆是Ⅱ中的解。综上,得达朗贝尔方程的四个连续解。反之达氏方程反映了这四个可微函数的共同特性。最后讨论函数方程组:f(xy)=f(x)g(y)g(x)f(y)  (Ⅲ)g(xy)=g(x)g(y)f(x)f(y)证明对一切实数x,y都满足(Ⅲ)及条件:f()=f′()=与g()=g′()=的连续解函数只有:f(x)=shx,g(x)=chx将满足条件的解函数求出来即可完成证明。首先证明f(x),g(x)可微。∵f()≠g(),由连续性,可适当取t使A≠B,其中A=∫tf(y)dy,B=∫tg(y)dy还可将(Ⅲ)在,t上积分:∫tf(xy)dy=f(x)∫tg(y)dyg(x)∫tf(y)dy∫tg(xy)dy=g(x)∫tg(y)dyf(x)∫tf(y)dy上两式联立可得:f(x)=AAB∫tg(xy)dyAAB∫tf(xy)dyAAB∫xtxg(s)dsBAB∫xtxf(s)ds∴f′(x)=AABg(xt)g(x)AABf(xt)f(x)所以f′(x)存在,同理可证g′(x)也存在。现对(Ⅲ)中的两等式的y求导:f′(xy)=f(x)g′(y)g(x)f′(y)g′(xy)=g(x)g′(y)f(x)f′(y)令y=,及f′()=,g′()=,得f′(x)=g(x)且g′(x)=f(x),由此可知f(x),g(x)存在任意阶导数,进而得出如下二阶常系数齐次线性方程的初值问题:f″(x)=f(x)f()=f′()=  g″(x)=g(x)g()=g′()=解得:f(x)=exex g(x)=exex所以,f′(x)=shx,g(x)=chx等等,解这类函数方程(组)的方法是:如果方程(组)未直接给出初值条件,可在定义域内找一些特殊点,确定初值条件,再利用解函数连续所蕴含的可积性,巧妙地构造变动上限(或下限)的定积分以证明解函数可微。如果需要,可再确定新的初值条件,最后对函数方程(组)中某变元求导以构造微分方程的初值问题,类似以上几例函数方程(组),化为常微分方程来求连续解,其解法较柯西法更为简捷。参考文献:王高雄等·常微分方程M北京:高等教育出版社,曹之江·常微分算子M上海:科学技术出版社,ThesolutioniffunctionalequationthroughthestructureofordinarydifferentialequationXuBo(Math’sDepartmentsouthwertGuizhouTeacher’scollegeforNationalities,Xingyi,Guizhou,China)Abstract:Itisratherdifficultandcomplextogetthesolutionsoflogarithmicfunctionalequation,D’alembertequationandhyperbolicsine(cosine)functionalequationbytheordinarycauchy’ssolutionHowever,itwillandgettingthesolutionsatlastaccordingtothetheoryofdifferentialandintegralcaculusKeywords:FunctionEquationContinuousSolutionInitialValueProblem(责任编辑:王德红)··安顺学院学报 年第期

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