常微分方程讨论课题目
1: 若方程 0)( =+′ yxpy 的一个特解为 xy 2cos= ,则该方程满足初值条件 2)0( =y 的
特解为( )
22cos. +xA 12cos. +xB xC cos2. xD 2cos2.
2: 微分方程 122
2
=+ y
dx
yd
的通解是( )
xcxcA 2sin2cos
2
1. 21 ++
xx ececB 22
2
12
1. −+++
xcxcC 2sin2cos. 21 +
xx ececD 22
2
1.
−++
3: 设二阶线性齐次常系数微分方程 0=+′+′′ yyby 的每一个解 )(xy 在区间
+∞<< x0 有界,则实数b的取值范围是( )
0. ≥bA 0. ≤bB 4. ≤bC 4. ≥bD
4: 微分方程 xeyyy x +=−′+′′ −32 的一个特解是( )
cbxaeA x ++−. cbxaxeB x ++−.
)( cbxxaxeC x ++− )(. cbxxaeD x ++
5. 设 )(,)( 21 xyxy 是二阶线性齐次微分方程 0)()( =+′+′′ yxqyxpy 的两个特解.
问能够由 )(,)( 21 xyxy 的线性组合构成该方程的通解的充分必要条件为:
0)()()()(. 1221 =′⋅−′⋅ xyxyxyxyA 0)()()()(. 1221 ≠′⋅−′⋅ xyxyxyxyB
0)()()()(. 1221 =′⋅+′⋅ xyxyxyxyC 0)()()()(. 1221 ≠′⋅+′⋅ xyxyxyxyD
6.设线性无关的函数 321 ,, yyy 都是微分方程 )()()( xfyxqyxpy =+′−′′ 的解.则此微
分方程的通解为 =y ( )( 21, cc 为任意常数)
32211. yycycA ++ 3212211 )(. yccycycB +−+
3212211 )1(. yccycycC −−−+ 3212211 )1(. yccycycD −−++
7 .微分方程 xyy 2−=+′′ 的通解为( )
xxcxcyA 2sincos. 21 −+= xxcxcyB 2sincos. 21 ++=
xececyC xx 2. 21 −+=
−
xececyC xx 2. 21 ++=
−
8． 验证 xy =1 与 xy sin2 = 是二阶微分方程 1)(
2 =′′−′ yyy 的两个解 .问由
)(,)( 21 xyxy 的线性组合能否构成该方程的通解?
9．求 0
1
1'
1
'' =
−
−
−
+ y
x
y
x
xy 的通解。
10． 求微分方程 xxyy cos+=+′′ 的通解.
11． 设 xxxxxxx eexeyexeyexey −− ++=+=+= 232
2
1 ,, 是某个二阶线性非齐次
微分方程的三个解,求此微分方程.
12． 已知二阶线性非齐次微分方程 )()()( xfyxqyxpy =+′+′′ 的三个特解为
xx eyeyxy 2321 ,, === ,试求方程满足初值条件 3)0(,1)0( =′= yy 的特解.
13． 设全微分方程 dyxfyxdxyxfyxxy )]([])()([ 2 ′++−+ 0= ,其中 )(xf 有二阶
连续导数且 1)0(,0)0( =′= ff .求 )(xf 以及全微分方程的通解.
14．设 )(tf 在 ),( +∞−∞ 连续， 3222 )(3)(
2222
tdxdydzzyxftf
tzyx
+++= ∫∫∫
≤++
，求 )(tf 。
15． 设 )(xf 有二阶连续导数,并满足方程 1)1()( 0 +∫ −=
x dttfxf ,求 )(xf .
16．求微分方程 1)9(6 2 =′++′′+′′′ yayy 的通解( )0>a .
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