nullnull第三章 导 数 的 应 用(一) 本 章 内 容 小 结(二) 常见问题分类及解法(三) 思 考 题(四) 课 堂 练 习null(一) 本章内容小结一、内容提要1、拉格朗日中值定理及特例，定理的几何解释。2、一阶导数的符号和曲线单调性的关系。3、极值存在的必要条件及利用一阶导数或二阶导数判断极值。4、求函数在闭区间上最大值和最小值，求最值应用题。5、利用二阶导数研究曲线凸凹性和拐点，拐点存在必要条件
及判定。6、利用导数作图。7、利用洛必达法则，求未定式极限。*8、曲率公式，弧长的微分公式。null二、重点和难点 中值定理的应用：曲线的单调性与极值，曲线的凸凹性与
拐点及未定式极限为重点，函数的作图是本章难点。三、基本要求1、拉格朗日定理是利用导数来研究函数的性质的理论基础，
必须熟记定理的条件和结论及几何意义。2、熟练应用一阶导数，判断曲线的增减性，牢固掌握极值
存在的必要条件，运用一阶导数和二阶导数来判定极值。清
楚极值与最值的联系与区别。3、清楚二阶导数的几何意义，利用二阶导数判定曲线凸凹
性及求拐点。null5、能正确掌握利用一阶导数和二阶导数研究曲线的性态并能
正确做出常见的初等函数图像。四、对学习的建议 拉格朗日中值定理是利用导数研究函数的性质的基础理
论，因而十分重要，必须弄清它的条件与结论以及几何意义。
定理的证明只要求理解。 洛必达法则是求极限的一个有力工具，在应用中须注意
以下几点。null2、使用法则前，函数中若有因式可用无穷小代换，则代
换，以便简化计算。3、使用法则后，若有因式其极限可以确定，则应及时剥离
求出极限，以利继续使用法则。4、使用洛必达法则中，在适当的环节上可结合其他求极限
的方法，以便极限较快求出。另外，法则有时会失效，但不
能因此确定函数无极限，可另换他法。 结合实际求最值问题，关键在目标函数的建立，这需要
一定的其他领域的知识。目标函数建立的恰当与否，取决于
自变量的选取。这一切都需要多做多看一些不同类型的题目，
以便培养这方面的能力。null 导数在经济问题中的应用，关键在熟悉和掌握各种概念的
含义以及它的数学
表
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达式。五、本章关键词中值定理极值最大值与最小值洛必达法则 作函数的图形是本章内容的大综合，也是本章一个难点。
正因为如此，认真的按照规范的步骤做几道作图题，对融会贯
通本章知识，了解函数性态，提高作图能力等都是有益的。null(二) 常见问题分类及解法一、利用洛必达法则求未定式null例1 求下列极限：解nullnull二、利用导数判断函数的单调性并求其极值 函数在某区间内的单调性可以用此函数的一阶导数的正负
来判定，进而可以求出函数在其定义域内的极大值和极小值。需注意的是：① 有些导数不存在的点也可能是极值点；② 在单调区间内的某些离散点处导数也可能为零。例2 求函数的单调区间并求其极值：解null见表3-1.表 3-1 极值表null见表3-2.null表 3-2 极值表null三、求函数的最大值和最小值 对于由解析式表示的连续函数在闭区间上的最大值和最小值
问题，可利用比较函数在驻点和不可导点及区间端点处的函数值
的大小来求。而对于由实际问题得到的函数的最值问题，只要函
数在某区间内只有一个驻点，则可以肯定函数在此驻点处取得最
值。null解null例4 欲用围墙围成面积为 216 m2 的一块矩形土地，并在
正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大
的尺寸，才能使所用建筑材料最省？解图 3-1 例4 示意null四、判断曲线的凸凹并求曲线的拐点 根据函数二阶导数在某区间内的正负，可以判断函数曲
线的凸凹，进而可以求出函数曲线在整个定义域内的拐点。解null表 3-3 曲线凸凹表null 五、利用函数的单调性证明不等式 对于某些不等式，可以先将其转化为一个函数，再利用函
数的单调性证明不等式。证null(三) 思考题答 案答 案答 案答 案1、一阶导数的符号与曲线单调性的关系是什么？2、利用一、二阶导数能研究曲线的什么特性？null(四) 课堂
练习题
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答 案答 案答 案答 案null返 回1、一阶导数的符号为正号，曲线单调增加；一阶导数的符号
为负号，曲线单调减少.null返 回2、利用一阶导数可研究曲线的单调性进而来判定极值.利用二阶导数可研究曲线的凸凹性和拐点.null返 回null返 回null返 回null返 回null返 回null返 回
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