多元函数的微分学

null第十章 多元函数微分学第十章 多元函数微分学第一节 多元函数的极限与连续 第二节 偏导数 第三节 全微分 第四节 多元函数微分法 第五节 多元函数的极值第一节 多元函数的极限与连续第一节 多元函数的极限与连续 一、多元函数的概念 1. 引例 　例１ 设矩形的边长分别为 x 和 y ，则矩形的面积 S 为 S = x y （ x > 0, y > 0 ）. 这里变量 S 依赖于两个独立自变量 x 和 y ，称 S 是 x 和 y 的二元函数． 　 例2 电流所产生的热量 Q 与电压 E 、电流 I 以及时间 t 的关系式为 Q = E I t ( E > 0, I > 0, t > 0 )． 这里变量 Q 依赖于三个独立自变量 E、I 和 t ，称为三元函数． null 2. 二元函数的定义 　 定义1 设有三个变量 x，y 和 z，如果当变量 x，y 在它们的变化范围 D 中任意取定一对值时，变量 z 按照一定的对应规律都有唯一确定的值与它们对应，则称 z 为变量 x，y 的二元函数．记为 z = f ( x，y )，其中 x 与 y 称为自变量，函数 z 也叫因变量，自变量 x 和 y 的变化范围 D 称为函数的定义域． null 一元函数的定义域一般是一个或几个区间，二元函数的定义域一般是由平面上一条或几条曲线所围成的连通的部分平面，这样的部分平面称为区域． 常见的区域有矩形区域： 圆形区域： (δ< 0). 圆形区域一般称为平面上点的δ 邻域. 类似地可定义三元函数 u = f ( x , y , z ) 以及三元以上函数；二元及二元以上的函数称为多元函数． null例3 求二元函数 z = 的定义域． 解 由根式函数的要求容易知道 x，y 必须满足不等式　 所以定义域为 D 表示 xoy 平面上一个以圆点为圆心，半径为1的圆内及圆周边界上点的全体． 它是有界闭区域．如图 所示. null例4 求二元函数 z = ln ( x + y ) 的定义域． 解 自变量x + y的取值必须满足不等式 x , y > 0， 即定义域为 D 在 x o y 平面表示一个在直线上方的半平面（ 不包含边界x + y = 0 ）．它是无 界开区域．如图所示． null3. 二元函数的几何表示 一般地，一元函数 y= f (x )在平面直角坐 标系中表示一条曲线．二元函数 z = f (x, y)在空间直角坐标系中表示一张曲面，其定义域 D 就是此曲面在 xoy 平面上的投影,如图1． 例如，例3中函数的图形就是扣在 xoy 平面上的上半单位球面,如图2. 图1 图2 null二、二元函数的极限 在一元函数中，我们讨论过当自变量趋向于有限值时函数的极限．对于二元函数 z = f (x, y)，同样可以讨论当自变量 x与y趋向于有限值时，函数 z 的变化趋势． 定义2 设函数 z = f (x, y)在点 的某一邻域内有定义( 点可除外).如果动点 P(x,y)沿任意路径趋向于定点 时，对应函数值 f(x, y)无限趋近于一个确定的常数A，则称A 为函数 z = f(x, y)当 时的极限，记作 　 类似于一元函数，二元函数的极限也有相应的四则运算法则． null三、二元函数的连续性 像一元函数一样，我们给出二元函数连续的定义． 定义3 设函数 z = f(x, y)在点 的某一邻域内有定义，且 则称函数 f(x, y)在点 处连续．如果 f(x, y)在区域D 内的每一点都连续，则称 f(x, y)在区域 D上连续． null　设自变量 x, y 各取得增量 , 函数 z = f(x, y)取得增量 称 为函数 z = f(x, y) 在点 处的全增量． 　设函数 z = f(x, y) 在点 的某一邻域内有定义，则函数 z = f(x, y) 在点 处连续的充分必要的条件是 如果函数 z = f(x, y) 在点 不连续，则称点 是 z = f(x, y) 的不连续点或间断点． 与一元函数类似，二元初等函数在其定义区域内是连续的． 第二节 偏导数第二节 偏导数一、偏导数 定义 设函数 z = f (x,y)在点 的某一邻域内有定义，当 y 固定在 处有增量 时，相应地函数有增量　 如果极限 存在，则称此极限值为函数 z = f (x,y)在点 处对 x 的 偏导数，记作null 类似地，函数 z = f (x,y)在点 处对 y 的偏导数定义 为 记作 如果函数 z = f (x,y) 在区域 D 内每一点 (x,y)处对 x 的偏导数 都存在，这个偏导数仍是的函数，称为函数 z = f (x,y)对 x 的偏导数，记作 null 类似地，函数 z = f (x,y)对 y 的偏导数定义为 记作 说明　(1)由偏导数的定义知，二元函数的偏导数就是指对一个自变量求导，而其它变量保持不变，因此求导时可将二元函数看成是一元函数；(2)求二元函数的偏导数，不需引进新的方法，只需利用一元函数的求导公式和求导法则． null例1 解 把 y 看作常量，对 x 求导，得把 x 看作常量，对 y 求导，得null例2 解例3 解null例4 解例5证null二、偏导数的几何意义 二元函数 z = f (x, y)在空间直角坐标系中，一般表示一个曲面．若把　z = f (x, y)中的 y 看作常数　　 ,则表示曲面 z = f (x, y)与平面　　　　相交成的一条曲线．由一元函数导数的几何意义可知，偏导数　　　　　就是这条曲线在点处的切线关于 x 轴的斜率（如下页图），即null在点处的切线关于 y 轴的斜率（如下图)同理，偏导数　　　　　就是曲面 z = f (x, y)与平面　　　的交线即null三、高阶偏导数 设函数 z = f (x, y)在区域 D 内偏导数存在，则这两个偏导数的偏导数称为函数 z = f (x, y)的二阶偏导数．即类似地，可定义三阶、四阶、…、···、n 阶偏导数. 二阶及二 阶以上的偏导数都称为高阶偏导数.null例6 解对于三元及以上的函数可以类似地定义高阶偏导数，并在偏 导数连续时，混合偏导数也与求偏导的次序无关.第三节 全微分第三节 全微分一、全微分的概念 类似一元函数，可定义二元函数的全微分. 定义 若函数 z = f ( x，y )在点 null 二元函数的全微分与连续、偏导数有下面关系． 定理1 若 z = f ( x，y ) 在点 ( x，y ) 处可微，则它在该点连续． 定理2 若 z = f ( x，y ) 在点 ( x，y ) 处可微，则它在该点处的两个偏导数存在，且 一般地，记△x = dx , △y = dy , 则函数的全微分可写成定理3 若 z = f ( x，y ) 在点 ( x，y ) 处的两个偏导数连续，则 z = f ( x，y ) 在该点可微.null 全微分的概念可推广到三元及以上的多元函数．例如，若函数 u = f (x, y, z)有连续偏导数，则例1 求二元函数 z = x (x + y) 在点 (-1,1) 处，当△x = 0.1, △y = 0.2 时的全增量与全微分． 解null例２ 　　　　 解null二、全微分在近似计算中的应用 　设函数 z = f (x,y) 在点(x,y)处可微，则函数的全增量与全微分之差是一个比 ρ高阶的无穷小，因此当 | △x|与 |△y | 都较小时，全增量可以近似地用全微分代替，即所以null例3 一圆柱形的铁罐，内半径为5cm，内高为12cm，壁厚均为0.2cm，估计制作这个铁罐所需材料的体积大约是多少（包括上、下底）？ 解 圆柱体体积 这个铁罐所需材料的体积为即，这个铁罐所需材料的体积约为 106.8 cm.null例4 　　　　 解第四节 多元复合函数微分法第四节 多元复合函数微分法定理一、多元复合函数微分法 求偏导数与求一元函数的导数实质上没有什么区别，因而对于一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法对多元函数仍然适用．null例1 解null 多元复合函数的复合关系是多种多样的，我们不可能把所有的公式都写出来，也没有必要，只要把握住函数间的复合关系，及函数对某个自变量求偏导时，应通过所有相关的中间变量，用复合函数微分法微到该自变量，这一法则通常称为链式法则．比如： null注意 上面第一式中， 表示在 中，把 y 看作常量求得的 z 对 x 的偏导数； 表示在函数 中，把 u 看作常量求得的 z 对 x 的偏导数，所以 null例2 解例3 解null二、隐函的微分法 (1) 在一元函数微积分中，已经讨论过求由方程 F (x, y) =0 所确定的隐函数 y = f (x) 的导数 还可以用多元复合函数的微分法求 下面给出其公式. null (2) 对于由方程 F (x, y, z) =0 所确定的隐函数 z = f (x, y) , null例4 解法一解法二第五节 多元函数的极值 第五节 多元函数的极值 一、二元函数的极值 定义 设函数 z = f (x, y) 在点 的某个邻域内有定义，如果对于此邻域内任何异于 的点，都有 成立，则称函数 z = f (x, y) 在点 取得极大值或极小值 ． 定理1(极值存在的必要条件） 若函数 z = f (x, y) 在点 取得极值且函数在该点一阶偏导数存在，则有null定理2(极值存在的充分条件）设函数 z = f (x, y) 在 的某邻域内连续且具有一阶梯及二阶连续偏导数，且点 是函数的驻点，即 null例1 求函数 的极值. 解驻点为 (1, 1) , (0, 0) .null 二、多元函数最大值和最小值应用 与一元函数类似，若二元函数在有界闭区域上连续，则在上函数一定能取得最大值和最小值． 对于实际问题中的最值问题，往往从问题本身能断定它的最大值或最小值一定存在，且在定义区域的内部取得．这时，如果函数在定义区域内有惟一的驻点，则该驻点的函数值就是函数的最大值或最小值．因此求实际问题的最值的一般步骤为 (1)根据实际问题建立函数关系，确定其定义域； (2)求出驻点； (3)结合实际意义判定驻点处的函数值是最大值或最小值． null例2 某工厂要用钢板制作一个容积为 的无盖长方体的容器，若不计钢板的厚度，怎样制作材料最省？ 解 设容器的长、宽、高分别为 x、y、z ( m )， 则容器所需钢板的面积为 得，所需的材料最省得，null 三、条件极值 求函数 z = f (x, y) 满足约束条件 的极值问题，称为条件极值问题． 求解方法是拉格朗日乘数法．拉格朗日乘数法的求解步骤为 　　(1)构造辅助函数（称为拉格朗日函数） 其中λ为待定常数，称为拉格朗日乘数； (2) 得可能的极值点 (x, y) 和乘数λ； (3)判别求出的点 (x, y) 是否为极值点，通常由实际问题的实际意义判定． null例3 某工厂生产两种商品的日产量分别为 x、y（件），总成本函数为 （元），商品的限额为 x + y = 42 , 求最小成本． 解