[doc] 用Ising模型的Bragg—Williams二元合金和格气模型近似研究

[doc] 用Ising模型的Bragg—Williams二元合金和格气模型近似研究 用Ising模型的Bragg—Williams二元合金 和格气模型近似研究 第14卷第1期江苏技术师范学院(自然科学版) 2008年3月JOURNALOFJIANGSUTEACHERSUNIVERSITYOFTECHNOLOGY( NaturalScienceEdition) Vo1.14.No.1 Mar.,2008 用Ising模型的Bragg—Williams近似研究 二元合金和格气模型 胡益丰,沈大华,朱小芹,唐煌,裴明旭,张剑豪 (江苏技术师范学院数理学院,江苏常州213001) 摘要:运用平均场理论得出了伊辛点阵的布喇格——威廉斯近似解,后将之运用于二元合金的有序一无序相 变和格气模型.得到了二元合金体系的能量函数及各占据数之间的关系,解出了格气模型的配分函数,并且找出 了Ising模型,二元合金和格气模型三者之间的对应关系. 关键词:伊辛模型;配分函数;二元合金;格气模型 中图分类号:0414.2文献标识码:A文章编号:1674—2222(2008)01—0017—04 0引言 Ising模型是描述铁磁体的一种简单的理论模型.模型虽然简单,但是用它讨论铁磁体的相变十分方 便.伊辛模型的严格求解只有在一维情形比较容易,随维度的增加变得十分困难,至今还只获得二维情 形的精确解f3.41.不过,运用平均场方法可以简单地得出伊辛模型的相变结果.Bragg—Williams近似方法就 是一种典型的平均场理论,这种方法虽然粗糙,但可以说明相变的主要特征[51.而且,只需对相应的记号稍 加改变,这一模型还可以描述二元合金和晶体内吸附气体分子格气模型等以有序一无序相变为特征的系 统. 1Ising模型的Bragg—Williams近似[6,7】 为了找到确定能量E的两个参数?+和?之间的关系,Bragg—Williams提出了一个假设 N/2=(盟N).(1)z_,一 这一假设的基本思路是:自旋对的总数为ZqN/2,单粒子取正自旋的几率为?,两粒子同时取正的几率 应为(/?)z,用它代表(++)粒子对在总对数中所占的比例,显然这是一个”平均”的考虑.此时,系统的哈 密顿量 H—X , zJ~-~BN~.(2) 收稿日期:2007—10—19;修回日期:2007—11-02 基金项目:江苏省普通高校自然科学研究 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 资助项目(07KJD430041);江苏技术师范学院青年科研基金项目(KYY06— 094);国家自然科学基金项目(50361002) 作者简介:胡益丰(1977一),男,江苏常州人,江苏技术师范学院数理学院讲师,硕士,研究方向为材料微结构的理论与实 验研究. 18江苏技术师范学院(自然科学版)第14卷 其中,为0参量,?+=?’争+1),(一1??1);的设置可以将求磁化强度问题归结为求的平均 值的问题. 配分函数 肚?2.? 当,Va.时,先由Sterling公式,得 ? ]-- l)=古(1Z却他)一ln一ln2.(4) 求出lnQ)取极大值所对应的为 ~=tanhf业ksT+.k 8 l, T — q~).(5) (5)式给出了序参量的平均值,即为Bragg—Williams公式. 下面求(5)式的解.为简单起见,考虑外场B:0情形的相变.先定义温 度:,用图解法解,画出 )=和)=tanh(鲁争)两条曲线. -): //)=tanh( — / r 0 ) 图1当时两函数曲线 Fig.1ThetwofunctionCtl/veswiththetemperature ()// —— 一 0 00 ;,, ()= 图2当时两曲线的相交图 Fig.2ThetwofunctionCtl/veswiththetemperature 由图l,图2可知,当时只有一个交点为~---0.而在时,曲线与直线的交点有三个,但是其中 =0舍去,于是T<L时得两解.(5)式的解为 {0,; = { I?0,. 由上述解可以看出,当时=0,物体系无磁化;当且=?.时,不加外场仍有磁化,故称为自发 磁化.这说明,铁磁系只有在T<L时才出现磁化,温度是发生铁磁相变的临界温度.如果进一步研究比 热与温度的关系还可发现,在点比热发生了突变,这反映作为相变点的特征,与玻色凝结一样[1Ol, 是一个”A”点. 第1期胡益丰沈大华朱小芹等:用Ising模型的Bragg—Williams近似研究二元合金和格气模型19 2伊辛模型的应用 2.1二元合金的有序一无序转变l 以cuzn为例,它属于一种体心结构.可看作由a,b两种简单的立方格子组成(图3).实验测得,当 T<L时,发现zn在a上的几率不等于cu在a上的几率,zn在b上的几率也不等于cu在b上的几率.但 zn在a上的几率等于cu在b上的几率,这时系统处于有序状态.不过,只有在绝对零度时,才会出现完 全的有序排列,随着温度的上升,铜与锌的占位便开始出现”错位”.当T>L时,结构a和b是对称的.即 发现zn在a(b)上的几率等于发现cu在a(b)上的几率.这时系统处于无序状态.两种原子将无序的混 合,即在点发生了从有序到无序的相变. 假定原bicstructureofZnCualloy 图4晶格占据状态表示图 Fig.4Theschematicdrawingofthecrystallatticeoccupationstate 2.2格气模型 格气模型是指个不可分辨的粒子排列在?个周期性的晶格点上.如线性蛋白质或高聚物晶体吸 附的气体分子,表面吸附分子以及钯等金属体内吸收的氢分子?等等.用”?”表示有粒子占据,空格表示 无粒子占据.如图4所示为粒子在晶格点的占据情况.只考虑被吸附 原子的最近邻相互作用,且每一格座 最多只能吸附一个原子的情形,假定此种作用的相互作用能为Go,则原子势为 foo,r=O; (r)={一,r=最近邻对时; l0,r=其它距离时. 设总的格座数为?,原子数为,以a代表原子,?珊表示近邻为?型的近邻对的总数,则可以写出配分 函数为Q.():—?..?.式中求和符号中(口)表示对所有被吸附原子的分布求和.” 0?ln, 巨配分函数为三.(,?)=?N.Q.(). =0 上述两种模型与伊辛模型在统计力学角度是一样的,其区别只在于格点状态的记号不同,相互作用 能的大小也不一样.三种模型间对应关系见表1. 由此可见,三种模型之间是等价的,可以相互转换. 参考文献: [11WANGHuai—Yu,wuJian—Hua,XUNKun.EffectofElectronItineranc yonMagnetismofS=I/2FerromagneticIsingModel[J]. CommunicationsInTheoreticalPhysics,2003,39(5):617—620. [2】YEF,XUBW.QuantumisingcriticalityindimerizedXYspin一 1/2chain[J1.CommunicationsInTheoreticalPhysics,2003.39(4): 487--49. [3】 PishtshevA.NewrelationforcriticalexponentsintheIsingmodel[J1.PhysicsLettersA.2007,361:152—155. [41许玲,晏世雷.横向随机晶场Ising模型的相图和磁化行为研究【J】. 物理,2007,56(03):1691—1696. [5】 Aguirre-ContrerasWR,LigiaEZ,GP,eta1.MonteCarlostudyofthechangeofcriticaltemperatureinadilutedIsingmodeldue toconfigurationdisorder[J】.PhysicsLenersA,2007,360:411-414. [6】 ZhouWX,WeiXZ.Importanceofpositivefeedbacksandoverconfidenceinaself-fulfillingIsingmodeloffinancialmarketsfJ1. PhysicaA,2006,370:704—726. [7】雷晓 蔚.Studyforangphenomenaoftwo—dimensionalIsingandXYmodel[J].浙 江大学,2007,24(2):168—171. [81邵元智,钟伟荣,卢华权, 等.NonequilibriumdynamicphasetransitioninakineticIsingspinsystem[J1.物理,2006,55(4): 2057-2063. 【9】郑东,郑燕飞,范武 英.IsingSpin—BasedErrorCorrectingPrivate-KeyCryptosystems[J].上海 交通大学:英文版,2006(2): 215-218. [10】徐志君,施建青,林国 成.AsolutiontothegroundandsinglevortexstatesofBose—condensedgasinaJ1axiallvsymmetricharmonic trap[J].物理,2007,56(2):666—672. 【11】李立奇,王宗笠.二维微正则Ising模型临界相变的Q2R方法【J】. 重庆大学,2006,29(11):115—118. [12】陈文斌,陶向明,赵新新,等.氢原子在Ti(0001)表面吸附的密度泛 函理论研究fJ1.物理化学,2006,22(4):4450. TheBinaryAlloyandGasLatticeModelResearched byBragg-WilliamsApproximationofIsingmodel HUYing,SHENDa-hua,ZHUXiao-qin,TANGHuang,PEIMing-xu, ZHANG观一hao (SchoolofMathematicsandPhysics,,~angsuTeachersUniversityofTechnol ogy, Changzhou213001,China) Abstract:Bragg-WilliamsapproximatesolutionoftheIsinglatticeisobtaine dbyusingmeanfield theory.ThenitiSappliedtothegas1atticemode1andtheorder—disorderphas etransformationofbinary alloy.Theenergyfunctionofbinaryalloyingsystemandtherelationshipamongoccupationnumbersare derived.Andthepartitionfunctionofthegas1atficemode1iSsolved.Finally.therelationshipamong Isingmode1.binaryalloyandlatticemodeliSreviewed. Keywords:Isingmodel;partitionfunction;binaryalloys;latticemodel 责任编辑张志钊