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惠州市2013届高三第三次调研考试
数学试题(理科)
本试卷共4页,21小题,满分150分。考试用时120分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.复数
的共轭复数是( )
A.
B.
C.
D.
2.已知向量
EMBED Equation.DSMT4 ,
EMBED Equation.DSMT4 ,且
,则
的值为( )
A.
B.
C.
D.
3.已知集合
,
,若
,则实数
的所有可能取值的集合为( )
A.
B.
C.
D.
4.已知幂函数
的图象过点
,则
的值为( )
A.
B. -
C.2 D.-2
5.“
”是“方程
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛,他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示,则甲、乙两名运动员的中位数分别为( )
A.19、13 B.13、19
C.20、18 D.18、20
7.已知
满足约束条件
的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
8.数列{
} 中,
,则数列{
}前
项和等于( )
A.76 B.78 C. 80 D.82
二、填空题(本大题共7小题,分为必做题和选做题两部分.每小题5分,满分30分)
(一)必做题(第9至13题为必做题,每道试题考生都必须作答)
9.在等比数列
中,
,公比
,若
前
项和
,
则
的值为 .
10.阅读右图程序框图. 若输入
,则输出
的值为________.
11.已知双曲线
的一个焦点与抛线线
的焦点
重合,且双曲线的离心率等于
,则该双曲线的方程为 .
12.已知
是两条不同直线,
是三个不同平面,下列命题
中正确的有 .
①
;②
;
③
;④
.
13.已知函数
.若
在
上单调递增,则实数
的取值范围为 .
(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)
14.(几何证明选讲选做题)如图,
切
于点
,割线
经过圆心
,
,
绕点
逆时针旋转
到
,则
的长为 .
15.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,已知两点
、
的极坐标分别为
,
,则△
(其中
为极点)的面积为 .
三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算
步骤
新产品开发流程的步骤课题研究的五个步骤成本核算步骤微型课题研究步骤数控铣床操作步骤
)
16.(本小题满分12分)已知函数
(其中
,
),且函数
的图像关于直线
对称.
(1)求
的值;
(2)若
,求
的值。
17.(本小题满分12分)某校从高一年级学生中随机抽取
名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于
分的整数)分成六段:
,
,…,
后得到如下图的频率分布直方图.
(1)求图中实数
的值;
(2)若该校高一年级共有学生
人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于
分的人数;
(3)若从数学成绩在
与
两个分数段内的学生中随机选取两名学生,求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于
的概率。
18.(本小题满分14分)如图,在长方体
中,
,
,点
在棱
上移动.
(1)证明:
;
(2)当
点为
的中点时,求点
到平面
的距离;
(3)
等于何值时,二面角
的大小为
?
19.(本小题满分14分)已知点(1,
)是函数
且
)的图象上一点,等比数列
的前
项和为
, 数列
EMBED Equation.3 的首项为
,且前
项和
满足:
-
=
+
(
).
(1)求数列
和
的通项公式;
(2)若数列
的通项
,求数列
的前
项和
;
(3)若数列{
前
项和为
,问
EMBED Equation.3 的最小正整数
是多少?
20.(本小题满分14分)设椭圆
EMBED Equation.3 的右焦点为
,直线
与
轴交于点
,若
(其中
为坐标原点).
(1)求椭圆
的方程;
(2)设
是椭圆
上的任意一点,
为圆
的任意一条直径(
、
为直径的两个端点),求
的最大值.
21.(本小题满分14分)已知函数
EMBED Equation.3 .
(1)若
为
的极值点,求实数
的值;
(2)若
在
上为增函数,求实数
的取值范围;
(3)当
时,方程
有实根,求实数
的最大值。
惠州市2013届高三第三次调研考试
数学(理科)试题参考答案及评分
标准
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一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
C
A
C
A
B
B
1.【解析】
.故选D.
2.【解析】
.故选B.
3.【解析】
或
.故选D.
4.【解析】由设
,图象过点
得
,
.故选A.
5.【解析】
,
,即
.故选C.
6.【解析】甲中位数为19,甲中位数为13.故选A.
7.【解析】最优解为
.故选B.
8.【解析】
,
取
及
,
结果相加可得
.故选B.
二、填空题:本大题查基本知识和基本运算,体现选择性.共7小题,
每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.
9.7 10.3 11.
12.④ 13.
14.
15.3
9.【解析】
.答案:
.
10.【解析】
.答案:3.
11.【解析】抛线线
的焦点
.
.答案:
.
12.【解析】
均为直线,其中
平行
,
可以相交也可以异面,故①不正确;
m
EMBED Equation.3 ,n⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行;④正确 .答案④.
13.【解析】
,
是增函数,所以
.答案:
.
(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)
14.【解析】∵PA切
于点A,B为PO中点,∴AB=OB=OA,
∴
,∴
,在△POD中由余弦定理,
得:
=
.
解析2:过点D作DE⊥PC垂足为E,∵
,
∴
,
可得
,
,在
中,
∴
.答案:
.
15.【解析】
、
的极坐标分别为
,
,则
(其中
为极点).答案3.
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
(1)解:∵
,……………………………………2分
∴函数
的最小正周期为
.……………………………………3分
∵函数
,……………………………………5分
又
的图像的对称轴为
(
),………………………………6分
令
,
将
代入,得
(
).
∵
,∴
.……………………………………7分
(2)解:
,…9分
………12分
17.(本小题满分12分)
(1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于1,
所以
EMBED Equation.DSMT4 .…………………………1分
解得
.………………………………………………………………………2分
(2)解:根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为
EMBED Equation.DSMT4 .……3分
由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为
人.………………………………………5分
(3)解:成绩在
分数段内的人数为
人,……………… 6分
成绩在
分数段内的人数为
人, ……………………………………7分
若从这6名学生中随机抽取2人,则总的取法有
………………… 9分
如果两名学生的数学成绩都在
分数段内或都在
分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在
分数段内,另一个成绩在
分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.………………… 10分
则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为
……11分
所以所求概率为
.……………………………………………………………………13分
18.(本小题满分14分)
(1)证明:如图,连接
,依题意有:在长方形
中,
,
.……… 4分
(2)解:
,
,
,
,
.
∴
,…………… 6分
.
,
,
.∴
.
设点
到平面
的距离为
,∴
EMBED Equation.DSMT4 .
∴点
到平面
的距离为
. ………………………………………………… 8分
(3)解:过
作
交
于
,连接
.由三垂线定理可知,
为二面角
的平面角.
∴
,
,
. ……………………… 10分
,∴
.…………………… 12分
∴
,
.
故
时,二面角
的平面角为
.…………………………… 14分
19.(本小题满分14分)
解:(1)
,
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
,
EMBED Equation.DSMT4 ,
.
又数列
成等比数列,
,所以
;
又公比
,所以
;……………………2分
又
,
,
;
数列
构成一个首相为1公差为1的等差数列,
,
当
,
;又其满足
,
(
); ……………………………… 5分
(2)
,所以
①
②
①式减②式得:
…… 7分
化简:
…… 9分
所以所求
………………………………………… 10分
(3)
EMBED Equation.DSMT4
…… 12分
;w.w.w.k.s.5. …… 13分
u.c.o.m
由
得
,满足
的最小正整数为112. ………… 14分
20.(本小题满分14分)
解:(1)由题设知,
,
,………………………………1分
由
,得
,…………………………3分
解得
.
所以椭圆
的方程为
.…………………………………………………………4分
(2)
方法
快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载
1:设圆
的圆心为
,
则
………………………………………………6分
…………………………………………7分
.………………………………………………………………8分
从而求
的最大值转化为求
的最大值.……………………………………9分
因为
是椭圆
上的任意一点,设
,………………………………………10分
所以
,即
.………………………………………………11分
因为点
,所以
.…………………12分
因为
,所以当
时,
取得最大值12.…………………13分
所以
的最大值为11.…………………………………………………………14分
方法2:设点
,
因为
的中点坐标为
,所以
………………………………………6分
所以
…………………………………7分
.………………………………………9分
因为点
在圆
上,所以
,即
.………………10分
因为点
在椭圆
上,所以
,即
.…………………………11分
所以
EMBED Equation.DSMT4
.……………………………………12分
因为
,所以当
时,
.………………………14分
方法3:①若直线
的斜率存在,设
的方程为
,………………………6分
由
,解得
.……………………………………………7分
因为
是椭圆
上的任一点,设点
,
所以
,即
.……………………………………………8分
所以
,
…………………………………9分
所以
.
……………………………………10分
因为
,所以当
时,
取得最大值11.……………11分
②若直线
的斜率不存在,此时
的方程为
,由
,解得
或
.
不妨设,
,
. …………………………………………12分
因为
是椭圆
上的任一点,设点
,
所以
,即
.
所以
,
.
所以
.
因为
,所以当
时,
取得最大值11.……………13分
综上可知,
的最大值为11.…………………………………………14分
21.(本小题满分14分)
解:(1)
EMBED Equation.3 .……1分
因为
为
的极值点,所以
.…………………………………2分
即
,解得
. …………………………………………3分
又当
时,
,从而
的极值点成立. ……………4分
(2)因为
在区间
上为增函数,
所以
在区间
上恒成立.………5分
①当
时,
在
上恒成立,所以
上为增函数,故
符合题意.…………………………………………6分
②当
时,由函数
的定义域可知,必须有
对
恒成立,故只能
,
所以
上恒成立. ……………………7分
令
,其对称轴为
, …………8分
因为
所以
,从而
上恒成立,只要
即可,
因为
,解得
. ……………………………………9分
因为
,所以
.
综上所述,
的取值范围为
. ……………………………10分
(3)若
时,方程
可化为,
.
问题转化为
在
上有解,
即求函数
的值域. ………………………………11分
以下给出两种求函数
值域的方法:
方法1:因为
,令
,
则
, ………………………………12分
所以当
,从而
上为增函数,
当
,从而
上为减函数, ………………13分
因此
.
而
,故
,
因此当
时,
取得最大值0. ………………………………………14分
方法2:因为
,所以
.
设
,则
.
当
时,
,所以
在
上单调递增;
当
时,
,所以
在
上单调递减;
因为
,故必有
,又
,
因此必存在实数
使得
,
,所以
上单调递减;
当
,所以
上单调递增;
当
上单调递减;
又因为
,
当
,则
,又
.
因此当
时,
取得最大值0. …………………………………………14分
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输入� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
F
否
D1
E
0.005
0.010
频率
组距
0 40 50 60 70 80 90 100
C1
B1
是
A1
B
A
(分数)
C
D1
C1
B1
A1
B
A
C
D
a
0.025
0.020
D
E
结束
输出k ,n
� EMBED Equation.DSMT4 ���� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
k=k+1
� EMBED Equation.DSMT4 ���=3
开始
PAGE
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