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竞赛讲座 24判别式与韦达定理.doc

竞赛讲座 24判别式与韦达定理

阿嘉喜
2013-02-04 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《竞赛讲座 24判别式与韦达定理doc》,可适用于初中教育领域

竞赛讲座-判别式与韦达定理根的判别式和韦达定理是实系数一元二次方程的重要基础知识利用它们可进一步研究根的性质也可以将一些表面上看不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论  .  判别式的应用  例 (年武汉等四市联赛题)已知实数a、b、c、R、P满足条件PR>PcbRa=求证:一元二次方程axbxc=必有实根  证明  △=(b)ac①若一元二次方程有实根  必须证△≥由已知条件有b=(PcRa)代入①得  △     =(PcRa)ac  =(Pc)PcRa(Ra)ac  =(PcRa)ac(PR)  ∵(PcRa)≥又PR>a≠  ()当ac≥时有△≥  ()当ac<时有△=(b)ac>  ()、()证明了△≥故方程axbxc=必有实数根  例 (年宁波初中数学竞赛题)如图k是实数O是数轴的原点A是数轴上的点它的坐标是正数aP是数轴上另一点,坐标是x,x<a且OP=k·PA·OA  ()k为何值时x有两个解xx(设x<x)  此处无图  ()若k>把xxa按从小到大的顺序排列并用不等号“<”连接  解  ()由已知可得x=k·(ax)·a即  xkaxka=当判别式△>时有两解这时  △     =kaka=ak(k)>  ∵a> ∴k(k)>故k<或k>  ()x<<x<a  例(年湖北初中数学竞赛题)证明不可能分解为两个一次因式之积  分析  若视原式为关于x的二次三项式则可利用判别式求解  证明    将此式看作关于x的二次三项式则判别式  △     =  显然△不是一个完全平方式故原式不能分解为两个一次因式之积  例 (年北京中学生数学竞赛题)已知xyz是实数且xyz=a① ②  求证:≤x≤ ≤y≤  ≤z≤  分析  将①代入②可消去一个字母如消去z然后整理成关于y的二次方程讨论  证明  由①得z=axy代入②整理得    此式可看作关于y的实系数一元二次方程据已知此方程有实根故有  △     =(xa)(xaxa)≥  ≥≤x≤  同理可证:≤y≤≤z≤  例设aaab是满足不等式(aaa)≥()b的实数  求证:aaaaaa≥b  证明 由已知可得  ≤  设    则    ∵a是实数  故△≥即有  (aa)≥()aabr  ≥()(aa)b  于是(aa)≥()b∴aa≥b  同理有aa≥baa≥b三式相加即得  aaaaaa≥b  例 设a、b、c为实数方程组  与  均无实数根求证:对于一切实数x都有  >  证明  由已知条件可以推出a≠因为若a=则方程组至少有一个有实数解  进一步可知方程axbxc=±x无实根因此判别式△=<  于是  (b)(b)ac<  即  acb>  ∴  >  .  韦达定理的应用  例 (年匈牙利数学奥林匹克竞赛题)假设x、x是方程x(ad)xadbc=的根证明这时是方程的根  证明  由已知条件得    ∴  =adabcbcd    由韦达定理逆定理可知、是方程  的根  例已知两个系数都是正数的方程  axbxc=    ①  axbxc=    ②  都有两个实数根求证:  () 这两个实数根都是负值  () 方程  aaxbbxcc=      ③  ③也有两个负根  证明  ∵方程①有两个实数根∴>  ④  同理>                 ⑤  又a、b、c都是正数∴><  由此可知方程①的两根是负值同样可证方程②的两根也是负值  显然ac<ac代入④得>    ⑥  由>得>            ⑦  ∴△  =  ≥  =>  ∴方程③也有两个实数根  又aa>bb>cc>  ∴>    <  由此可知方程③的两个根也是负值  例(年上海初中数学竞赛题)对自然数n作x的二次方程x(n)xn=使它的根为αn和βn求下式的值:      解  由韦达定理得      =  而       =(n≥)  ∴原式=    =  例(年全国初中联赛试题)首项不相等的两个二次方程  (a)x(a)x(aa)=   ①  及(b)x(b)x(bb)= ②  (其中ab为正整数)有一公共根求的值  解  由题得知ab为大于的整数且a≠b设x是方程①②的公共根则x≠否则将x=代入①得a=矛盾得x代入原方程并经变形得       ③  及   ④  所以ab是关于t的方程    相异的两根因此    于是   ab(ab)=即(a)(b)=  由  或  解得   或  ∴  例  (仿年全国高中联赛题)设实数abc满足  ①②       求证:≤a≤  证明  由①得bc=aa  ①②得  bc=  所以实数bc可看成一元二次方程    的两根则有△≥即  ≥  即(a)(a)≤∴≤a≤  例 (年福建初中数学竞赛题)求证:对任一矩形A总存在一个矩形B使得矩形A和矩形B的周长和面积比都等于常数k(k≥)  分析  设矩形A及B的长度分别是ab及xy为证明满足条件的矩形B存在只须证明方程组   (kab为已知数)  有正整数解即可  再由韦达定理其解xy可以看作是二次方程  zk(ab)zkab=的两根  ∵k≥故判别式  △     =k(ab)kab  ≥k(ab)kab  =k(ab)≥  ∴上述二次方程有两实根zz  又zz=k(ab)>zz=kab>  从而z>z>即方程组恒有x>y>的解所以矩形B总是存在的  练习二十一  .  填空题  ()       设方程的两根为mn(m>n)则代数式的值是  ()       若r和s是方程xpxq=的两非零根,则以r和为根的方程是  ()       已知方程xx=的两根可以写成ab与ab,其中a与b是方程xpxq=的两根,那么|p|q=  选择题  ()若p,q都是自然数,方程pxqx=的两根都是质数,则pq的值等于(  )  (A)  (B)  (C)  (D)  ()方程的较大根为r,的较小根为s,则rs等于(  )  (A)   (B)  (C)   (D)  ()xpxq=(p≠)的两个根为相等的实数则xqxp=的两个根必为(  )  (A)   非实数  (B)相等两实数  (C)非实数或相等两实数   (D)实数  ()       如果关于方程mx(m)xm=没有实数根那么关于x的方程(m)x(m)xm=的实根个数为  (A)  (B)  (C)  (D)不确定  .(年杭州竞赛)设a≠方程axbxc=的两个根是a和aaxbxc=的两个根是和axbxc=的两根相等求abcbc的值  常数a是满足≤a≤的自然数若关于x的二次方程(x)(xa)=x的两根都是自然数,试求a的值  设x、x为正系数方程axbxc=的两根xx=mx·x=n且mn求证:  ()    如果m<n那么方程有不等的实数根  ()    如果m>n那么方程没有实数根  .求作一个以两正数αβ为根的二次方程并设αβ满足    .(年全国初中竞赛题)当ab为何值时方程x(a)x(aabb)=有实根?  .(年苏州初中数学竞赛题)试证:不能等于任何一个整系数二次方程axbxc=的判别式的值  .(第届全苏中学生数学竞赛题)方程xax=b的根是自然数证明ab是合数  .(年加拿大试题)不用辅助工具解答:  ()       证满足的根在和…间  ()       同()证<     练习二十一  ()  ()  ()  C    B   A        x=a±由于x为自然数可知a为完全平方数  即a=  略  xx=  因为方程有实根,所以判别式    设=k(其中k是自然数)  令△=bac=k,这时b能被整除,因而b也能被整除取b=t,这时b=t,且tac=k这时等式左边的数能被整除,而右边的数不能被整除,得出矛盾,故命题得证  由可得xx=,其根

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