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1 我们‖打〈败〉了敌人。
②我们‖〔把敌人〕打〈败〉了。
有关排列组合的常用解
题
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技巧
排列组合问题是高考必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践
证明
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，备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用，本文 介绍十二类典型排列组合题的解答策略．
1．相邻问题并组法
题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．
【例1】A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有[ ]
A．60种 B．48种 C．36种 D．24种
分析
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把A、B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4
2．相离问题插空法
元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置
要求
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的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．
【例2】七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是[ ]
A．1440
B．3600
C．4820
D．4800
3．定序问题缩倍法
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．
【例3】A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有[ ]
A．24种
B．60种
C．90种
D．120种
分析 B在A右边与B在A左边排法数相同，所以题设的排法只是
4．标号排位问题分步法
把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．
【例4】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有[ ]
A．6种
B．9种
C．11种
D．23种
分析 先把1填入方格，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1＝9种填法，故选B．
5．有序分配问题逐分法
有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法．
【例5】有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有[ ]
A．1260种
B．2025种
C．2520种
D．5040种
分析 先从10人中选出2个承担甲项任务，再从剩下8个中选1人承担乙项任务，第三步从另外7人中选1个承担两项任务，不同的选
6．多元问题分类法
元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计．
【例6】由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有[ ]
A．210个
B．300个
C．464个
D．600个
分析 按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，
【例7】从1，2，3，…100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？
分析 被取的两个数中至少有一个能被7整除时，它们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集Ⅰ，能被7整除的数的集合记作A，则A＝｛7，14，…98｝共有14个元素，不能被7整除
【例8】从1，2，…100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少？
分析 将Ⅰ＝｛1，2，…，100｝分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A＝｛4，8，…， 100｝；被4除余1的数集B＝｛1，5，…，97｝；被4除余2的数集为C＝｛2，6，…98｝；被4除余3的数集为D＝｛3，7，…99｝，易见这四个集合，每一个都含25个元素；从A中任取两个数符合要求；从B、D中各取一个数的取法也符合要求；从C中任取两个数的取法同样符合要求；此外其它取法都
7．交叉问题集合法
某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(A∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A∩B)
【例 9】从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？
分析 设全集Ⅰ＝｛6人中任取4人参赛的排列｝，A＝｛甲第一棒的排列｝，B＝｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：
8．定位问题优先法
某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素．
【例10】1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有________种．
9．多排问题单排法
把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理．
【例11】6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是[ ]
A．36
B．120
C．720
D．1440．
分析 前后两排可看成一排的两段，因此本题可视为6个不同元素
【例12】8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某 1个元素要排在后排，有多少种排法？(高中代数甲种本第三册P82，23②)．
10．“至少”问题间接法
关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便．
【例13】从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有[ ]
A．140种
B．80种
C．70种
D．35种
分析 逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取
11．选排问题先取后排法
从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法．
【例14】四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有________种
【例15】9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同分组法？
12．部分合条件问题排除法
在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求．
【例16】以一个正方体顶点为顶点的四面体共有[ ]
A．70个
B．64个
C．58个
D．52个
面体，但6个
表
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面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所
【例17】正六边形中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有________个．
浙公网安备 33021202002483