4合材料加固梁模态分析的一种近似解法

复合材料加固梁模态分析的一种近似解法 白建方! 楼梦麟 !同济大学 土木工程防灾国家重点实验室"上海 !"""#!# 摘 要$ 基于摄动法的思想" 合理地选择里兹向量" 并利用最小势能原理来求解纤维复合材料包覆钢筋混凝土 %$%&’%(&梁的模态特性’ 它将 $%&’%( 梁无阻尼自由振动方程加以简化"转化为一频率方程’ 在此基础上"计算了 该梁在不同约束条件下的自振频率"并与其它方法进行了对比’ 结果表明"利用该方法不仅可以简化计算过程"而且 计算精度也较高’ 关键词! 复合梁(摄动法(里兹向量(自振频率 中图分类号$ )* +,- 文献标识码$ . 文章编号$ /0,!’"0,#%!""0&"+’"""-’"1 复合材料作为现代科技的产物"以其优良的物理性能和化学性能已通过不同形式渗透到各行各业’ 在 土木工程中更是凭借其耐久性好)质强比高等优点被广泛应用于服役结构加固与维修等领域’ 目前"对于纤 维复合材料所组成的板件或构件虽已开展了大量的实验研究"但相应的设计方法尚未成熟’ 由于实际工程 中这类复合构件的材料特性)几何形状等很难简化为理想情况"致使获得解析解十分困难’ 随着计算机技术 和计算力学理论的发展"目前较多采用有限单元等数值方法获得近似解"例如选取 .2343 软件中不同实体 单元分别模拟复合材料和混凝土材料的三维有限元计算方法以及把非经典理论分析的成果与 .2343 软件 前后处理功能相结合的分析方法等 5/6’ 上述方法的不足之处在于有的力学概念不清晰"有的计算过程较繁 琐’ 为此"本文拟结合摄动法和里兹法各自优点"即首先根据摄动法的思想形成里兹向量"再参照普通梁模 态分析中的里兹法求解思路来推导出 $%&’%( 梁在不同约束条件下动力特性的近似解法"并通过算例探讨 该方法在相关领域中的适用性’ / $%&’%(梁模态分析的近似解法 由摄动法的思想知与 $%&’%( 梁具有相同边界条件与几何尺寸的 789:; 梁前 ! 阶主模态中除 !"<#=外其 它主模态的线性组合可形成 $%&’%(梁第 "阶主模态 !"<#=的摄动影响>!"+6"即 !"<#=?!"<#=@"!"<#=?!"<#=@ ! $?/%&!’ "!"<#=(& !)?/A !**& !/& 式中"!)<#=为 $%&’%( 梁第 ) 阶主模态函数(!)<#=为 789:; 梁第 ) 阶主模态函数(* 为所要求解的 $%&’%( 梁 模态的最高阶数’ 在不考虑剪切变形和转动惯量情况下"$%&’%( 梁自由振动时第 ) 阶主振型的最大势能和最大动能分 别为>1B +CDEA"? /! 9 " #,- <#= F!!$)<#= F# !% & ! F# !)?/A!**& !!& .CDEA)? /! # ) ! 9 " ’* <#=!$) !<#=F# !)?/A!**& !+& 其中,- <#=)* <#=分别为 $%&’%(梁的抗弯刚度与该梁单位长度的质量(/为梁长( # )为第 )阶自振频率’ +++++++++++++++++ >收稿日期6 !""0’"1’!- >作者简介6 白建方%/#,0’#"男"河北邢台人"博士研究生’ 苏州科技学院学报%工程技术版# 第 /# 卷 第 + 期 GH IJ *KLM:;NLOP IJ 3QL:KQ: DKF ):QRKI9ISP IJ 38TRI8 UI9H /# 2IH + !""0 年 # 月 %7KSLK::;LKS DKF ):QRKI9ISP# 3:VH !""0 万方数据 !!""# 年苏州科技学院学报!工程技术版" 由能量守恒可得到 ! ! ! $ % " !"# &$’ (!""!&$) ($ !# $ ! ($ % " !% &$)""! !&$)($ !!$*+!#%" !," 实际计算过程时$在公式!*"中只能取有限多项$这样自然地涉及到引进一些附加约束$这些约束只能 增大系统的刚度并使振动频率稍高于精确值$为了使该近似值尽可能的接近于真实值$可用下式选择组合 系数$即 % %&’ % " !"( -$) (!""!&$) ($ !& $ ! ($ % " !% &$)""! !&$)( ’ ) ( ) * + ) , ) - $ $" !!$*+!#%% ’)*+!#*%!.’" !." 或 % " !% -$)""! !-$)($ %%&! % " !"( -$) (!""!-$) ($ !& $ ! ($/ % " !"( -$) (!""!-$) ($ !& $ ! ($ %%&! % " !% -$)""! !-$)($)" !#" 由公式!0"和公式!."进一步得到 % %&’ % " !1"( -$) (!""!-$) ($ !& $ ! /! ! ! % -$)""! !-$)2($)" !!$*+!#%% ’)*+!#*%!.’" !0" 令 #!$ % " !1"( -$’ (!""!-$’ ($ !& $ ! /! ! ! % -$’""! !-$’2($ !3" 由式!*"得 ""! 4-$’$"! 4-$’5 * ’$*+’.! / "’4-$’&’ + ""! 6&$)$"! 6&$)5 * ’$*+’.! /"’6&$)&’ !!$*+!#%" !7" 将上式代入!3"中得 #!$ 8 " !1,( &$)9"! 6&$)5 * ’$*+’.! /"’6&$)&’ :!/! ! ! % &$)9"! &$)5 * ’$*+’.! / "’&$)&’ :!2($ !*"" 因此$由公式!0"可得 %#! %&’ $ % " !,( &$)"’ 6&$)"*6&$)($&&*5 % " !,( &$)"’ 6&$)"!6&$)($&&!5#5 % " !,( &$)"’ 6&$)"*6&$)($&&*/! !! % " !% &$)"’&$)"*&$)($& &*/ ! ! ! % " !% &$)"’&$)"!&$)($&&!/#/! !! % " !% &$)"’&$)"*&$)($&&*$/9 % " !,( &$)"’ 6&$)"!6&$)($/! !! % " !% &$)"’&$)"’&$)($: !!$*+!#%% ’)*+!#*%!.’" !**" 若令 -’.) % " !,# &$)"’ 6&$)".6&$)($+ /’.) % " !% &$)"’ &$)".&$)($+ 0’.)-’.1! !!/’. !!$*+!#%% ’)*+!#*%!.’" !*!" 则可得到一个 */*阶的非齐次代数方程组为 92:1&2$/12!2 &*;) ! 万方数据 第 ! 期 其中"!# $ %&& %&’ ! %&(")& %&("*& ! %&# %’& %’’ ! %’(")& %’("*& ! %’# ! ! ! ! ! ! ! %")&(& %")&(’ ! %"$&(")& %")&("*& ! %")&(# %"*&(& %"*&(’ ! %"*&(")& %"*&("*& ! %"*&%# ! ! ! ! ! ! ! %#& %#’ ! %#(")& %#("*& ! %## "+&,$ && &’ ! &")& &"*& ! &# ’ " !"! "$ %&" %’" ! %")&(" %"*&(" ! %#" ’ #"$&(’!($ 上述方程组有非零解的条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩"由此可得到一频率方程"从而可以逐 一计算出复合材料加固梁各阶振型的主频率以及相应的振型向量% ’ 算例分析 算例 &% -./).0 梁"混凝土为 0’1"梁长 1 2(截面尺寸为 345 26345 2"混凝土材料特性&)%$’743 8/9( *%$&&4’ 8/9(!%$’ 133 :; < 2!(单层包覆的板材料特性 )&$&7&43 8/9( )’$&34! 8/9( "&’$34’7"*&’$=4&= 8/9( +$ &4’16&3)5 2( !,$& >33 :; < 2!(其中 )&’)’分别为复合材料单层沿纤维方向和垂直纤维方向的弹性模量(*&’和 "&’分别为复合材料单层平面内的剪切模量和泊松比(+ 为包覆材料单层厚度(包覆角度为 ?3@ < 51@ < A3@ < )51@ < 3@ < 3@ < 51@ < A3@ < )51@ < 3@ < 3@ < 51@ < A3@ < )51@ < 3@ < 3@ < 51@ < A3@ < )51@ < 3@B% 本例中 -./).0梁抗弯刚度的计算采用文献"&B的公式"即 -$’.-&&*.C/0+D’1&& < ’*C/*’+E!1&& < >*./!)2 < &’ #&5$ 式中"- 为 -./).0 梁抗弯刚度(-&&为包覆层对自身中面的轴向弯曲刚度(1&&为包覆层在梁截面内的轴向 拉伸刚度"1&& $ # 3 $ & #F&&C3E +3 (# 为 -./ 复合材料的包覆层层数% 其中 F&&C3E可根据下式进行计算"F&&C3E4")&%GH5#35 )’HIJ5#35C"’&)& < ’*(*&’EHIJ’’#3B 6 ("#3"+3分别为第 : 层复合材料纤维与梁轴的夹角及层厚")&’)’分别为复合 材料单层沿纤维方向和垂直纤维方向的弹性模量(*&’""’&和 "&’分别为复合材料单层平面内的剪切模量及 泊松比""&’)’$"’&)&"($"&’"’&()2为混凝土弹性模量% 由上述公式求得的复合材料加固后梁的抗弯刚度为 )74>= 3354’3 /9)25"(4!>A45’ :;%将这些物理参数 和几何参数代入公式*&3$并利用 KLMNO 梁的模态正交性 ?5#可形成不同约束条件下方程组系数矩阵中元素的 求解公式为两端简支&2834P&3 55’4A&)85$$"’)!A>45’E)%83(两端固支&2834Q&3 55’4A&)C85341E5$$"’)!A>45’B)%83(一端 固支一端简支&2834"&3 55’4A&)C8534’1E5$$"’)!A>45’B)%83% 下面分别利用本文方法*取 #$&3$与文献"&B中方法以及文献"&B中给出的 RSTUT 三维方法计算本例中 -./).0梁在各种约束条件下的自振频率"计算结果如表 & 所示% 表 & -./).0 梁的自振频率计算结果 VW !"#$% &’()% ! !! ! !! ! !! ! !""""""! ! !! "#$%! &’((! )’*+! ,’-.! /+’/.! 00’/0! #12/3$%! &’()! )’)&! ,’))! /0’(&! /-’*(!4567! 8 9 :; : $%! &’(.! )’)*! ,’/,! /0’&+! /,’,.! "#$%! /’--! *’*)! /&’(+! /,’-0! 0.’,,! #12/3$%! /’((! *’/+! -’-*! /.’/*! 0)’.&!45<7! 8 9 :; : $%! /’-&! +’--! -’00! /+’)&! /-’-(! "#$%! /’)(! +’+(! -’)*! /*’-(! 0+’)-! #12/3$%! /’)&! +’/,! (’*-! /+’+)! 0/’**! =5<7> =567! 8 9 :; : $%! /’))! +’/)! (’//! /)’&/! /-’)(! 白建方等&复合材料加固梁模态分析的一种近似解法 ! 万方数据 !!""# 年苏州科技学院学报!工程技术版" 由表 $ 可看出#本文所提方法的计算结果与另外两种方法的计算结果比较接近#但是利用本文方法可 以大大减少工作量#从而节省了计算时间$ 算例 !$ 局部加固 %&’(&)梁#设加固段位于梁跨中#加固段长度等于四分之一梁长#其它几何尺寸%材 料特性以及复合材料的铺设角度均与算例 $相同$ 表 !给出了用本文所提方法!取 !*!""计算的该梁在两端简支约束条件下的自振频率#为检验加固效果 表中同时也列出了该梁在未加固以及沿梁长全部加固情况下的自振频率$ 表 ! 两端简支局部加固 %&’(&)梁的自振频率计算结果 +, 由表 ! 可看出#在相同约束条件下#局部加固梁的频率高于未加固梁的频率#而低于全加固后梁的频 率$ 这说明复合材料提高了混凝土梁的刚度#使其频率增大$ - 结语 基于摄动法的思想形成里兹向量#参照普通梁的里兹法求解思路#将 %&’(&) 梁的振动方程转化为一 频率方程来求解#概念清晰#公式简洁$ 尤其在刚度和质量沿梁长不连续变化的情况下#本文方法在生成系 数矩阵时大大简化了计算$ 另外#相对于有限单元法来说#本文所提方法是一种半解析法#可求出连续的主 模态振型#进而可用材料力学中的一般公式直接求出各个截面的弯矩和剪力#以便于在实际结构设计中的 应用$ 通过算例以及与其它方法相对比表明#利用本文所提方法求解复杂连续系统的振动模态特性有较好 的适用性#它不仅可以降低工作量%节省计算时间#且计算结果具有较高的精度$ 参考文献! ./0 曹征#唐寿高#曹志远1 复合梁结构的刚度分析及模态计算.231 同济大学学报#!""4#4/!5"&6-4(6-51 7!3 楼梦麟#牛伟星#石树中1 连续系统振动分析的模态摄动法及其应用.)3!!8"! 年全国振动工程及其应用学术会议 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 集1 上海&上海高教电 子音像出版社9 !88!:6!5(6441 743 楼梦麟#吴京宁1 复杂梁动力问题的近似分析方法7231 上海力学#$;;5#$6!4"&!4-(!-81 7-3 < 铁木辛柯1 工程中的振动问题7=31 胡人礼译1 北京&人民铁道出版社#/;56#!6>(!;81 ?@ ?AABCDEFGHI