245 相交线(解答题)
1、平面上有10条直线,其中4条直线交于一点,另有4条直线互相平行,这10条直线最多有几个交点?它们最多能把平面分成多少个部分?
2、(1)1条直线,最多可将平面分成1+1=2个部分;
(2)2条直线,最多可将平面分成1+1+2=4个部分;
(3)3条直线,最多可将平面分成 _________ 个部分;
(4)4条直线,最多可将平面分成 _________ 个部分;
(5)n条直线,最多可将平面分成 _________ 个部分.
3、如图,直线l1、l2、l3交于O点,图中出现了几对对顶角,若n条直线相交呢?
4、我们知道,两条直线相交,有且只有一个交点,三条直线相交,最多只有三个交点,那么,四条直线相交,最多有多少个交点?一般地,n条直线最多有多少个交点?说明理由.
5、附加题:(1)计算:3+(﹣1)= _________ .(2)两直线相交有且只有 _________ 个交点.
6、将一个平面分成11部分,至少需几条直线?
7、平面上有9条直线,任意两条都不平行,欲使它们出现29个交点,能否做到,如果能,怎么安排才能做到?如果不能,请说明理由.
8、在同一平面内的三条直线有哪几种位置关系?请画图说明.
9、在平面上有9条直线,无任何3条交于一点,则这9条直线的位置关系如何,才能使它们的交点恰好是26个,画出所有可能的情况(要求用直尺画正确).
答案
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与评分标准
1、平面上有10条直线,其中4条直线交于一点,另有4条直线互相平行,这10条直线最多有几个交点?它们最多能把平面分成多少个部分?
考点:相交线。
专题:规律型。
分析:(1)画出图形,数出交点个数即可;
(2)从规律看,4条平行线第一条直线和每条相交将会多出4+1个平面,第二条直线和每条相交将会多出5+1个平面依次类推.
解答:解:如图,图中共有33个交点.
4条平行线5部分,
加一条线10部分,
再加一条16部分,
可以看出规律 5→10→16,
先加5再加6,
所以答案是5+5+6+7+8+9+10=50.
点评:此题考查了图形的变化规律,画出图形是解题的关键.先根据具体数值得出规律,即可计算出正确结果.
2、(1)1条直线,最多可将平面分成1+1=2个部分;
(2)2条直线,最多可将平面分成1+1+2=4个部分;
(3)3条直线,最多可将平面分成 7 个部分;
(4)4条直线,最多可将平面分成 11 个部分;
(5)n条直线,最多可将平面分成
个部分.
考点:相交线。
专题:规律型。
分析:先分别求得3条、4条直线两两相交最多可将平面分割成的区域个数,
总结
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规律,进而求解.
解答:解:1条直线,将平面分为两个区域;
2条直线,较之前增加1条直线,增加1个交点,增加了2个平面区域;
3条直线,与之前两条直线均相交,增加2个交点,增加了3个平面区域;
4条直线,与之前三条直线均相交,增加3个交点,增加了4个平面区域;
…
n条直线,与之前n﹣1条直线均相交,增加n﹣1个交点,增加n个平面区域;
所以n条直线分平面的总数为1+(1+2+3+4+5+6+7+8+…n)=1+
,
(1)3条直线,最多可将平面分成1+1+2+3=7个部分,
(2)4条直线,最多可将平面分成1+1+2+3+4=11个部分,
(3)n条直线,最多可将平面分成1+1+2+3+4++n=
+1=
个部分.
故应填7,11,
.
点评:本题是规律探寻题,理清数据的发生、发展规律是解题的关键.
3、如图,直线l1、l2、l3交于O点,图中出现了几对对顶角,若n条直线相交呢?
考点:相交线。
专题:规律型。
分析:识别图中的对顶角应从这个较复杂的图形中分解出三个基本图形(即定义图形)即直线AB、CD相交于O;直线AB,EF相交于O;直线CD,EF相交于O.由于两条直线相交组成对顶角,所以上述图中共有6对对顶角.
解答:解:图中共有6对对顶角,它们是:∠AOC和∠BOD,∠AOD和∠BOC;∠AOF和∠BOE,∠AOE和∠BOF;∠COF和∠DOE,∠COE和∠DOF.
∵两条直线相交出现 2?(2﹣1)=2对对顶角,
三条直线相交出现 3?(3﹣1)=6对对顶角,
四条直线相交出现 4?(4﹣1)=12对对顶角,
∴依次类推,n条直线相交于一点有n?(n﹣1)对对顶角.
点评:此题考查了对顶角的概念,但需要同学们总结规律,这也是这道题的难点,体现了从一般到特殊的解题思路.
4、我们知道,两条直线相交,有且只有一个交点,三条直线相交,最多只有三个交点,那么,四条直线相交,最多有多少个交点?一般地,n条直线最多有多少个交点?说明理由.
考点:相交线。
专题:规律型。
分析:分别求出2条、3条、4条、5条、6条直线相交时最多的交点个数,找出规律即可解答.
解答:解:如图:2条直线相交有1个交点;
3条直线相交有1+2个交点;
4条直线相交有1+2+3个交点;
5条直线相交有1+2+3+4个交点;
6条直线相交有1+2+3+4+5个交点;
…
n条直线相交有1+2+3+5+…+(n﹣1)=
个交点.
所以a=
,而b=1.
点评:本题考查的是多条直线相交的交点问题,解答此题的关键是找出规律,即n条直线相交有
个交点.
5、附加题:(1)计算:3+(﹣1)= 2 .(2)两直线相交有且只有 1 个交点.
考点:相交线;有理数的加法。
分析:(1)根据有理数加法的运算法则解答即可.
(2)画出图形,即可解答.
解答:解:(1)3+(﹣1)=2;
(2)如图:两直线相交,只有1个交点.
点评:(1)此题考查了有理数加法的运算法则:异号两数相加,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减较小的绝对值;
(2)此题考查了相交线的知识,要明确,两条直线相交,只有一个交点.
6、将一个平面分成11部分,至少需几条直线?
考点:相交线。
专题:常规题型。
分析:四条直线两两相交,则可把个平面分成11部分.
解答:答案:4条直线两两相交即可.
故答案为4条.
点评:本题主要考查了相交线的一些基础知识,应能够熟练掌握.
7、平面上有9条直线,任意两条都不平行,欲使它们出现29个交点,能否做到,如果能,怎么安排才能做到?如果不能,请说明理由.
考点:相交线。
专题:规律型。
分析:根据相交线最多交点的个数的公式
进行计算即可求解.
解答:解:能.理由如下:
9条直线,任意两条都不平行,最多交点的个数是
=
=36,
∵36>29,
∴能出现29个交点,
安排如下:先使4条直线相交于一点P,另外5条直线两两相交最多可得
=10个交点,
与前四条直线相交最多可得5×4=20个交点,
让其中两个点重合为点O,所以交点减少1个,
交点个数一共有10+20﹣1=29个.
故能做到.
点评:本题考查了相交线的问题,熟记最多交点的公式然后求出最多时的交点个数是解题的关键.
8、在同一平面内的三条直线有哪几种位置关系?请画图说明.
考点:相交线。
专题:存在型。
分析:根据同一平面内的两条直线有相交、平行两种关系画出图形即可解答.
解答:解:如图所示,
由图可知,同一平面内的两条直线有相交、平行两种关系.
故答案为:相交、平行.
点评:本题考查的是相交线与平行线,解答此题的关键是熟知同一平面内两条直线的两种位置关系.
9、在平面上有9条直线,无任何3条交于一点,则这9条直线的位置关系如何,才能使它们的交点恰好是26个,画出所有可能的情况(要求用直尺画正确).
考点:相交线。
分析:从平行线的角度考虑,先考虑二条直线都平行,再考虑三条、四条、五条平行,作出草图即可看出.
解答:解:有两种情况,分别如下:
点评:本题考查平行线与相交线的综合运用.注意运用分类讨论思想.