改进的离散S变换快速算法与连续小波变换算法性能分析

第 ２８卷　第 ７期 ２０１２年７月 信 号 处 理 ＳＩＧＮＡＬＰＲＯＣＥＳＳＩＮＧ Ｖｏｌ．２８　Ｎｏ．７ Ｊｕｌ．２０１２ 收稿日期：２０１１－１２－２６；修回日期：２０１２－０３－２７ 改进的离散 Ｓ变换快速算法与连续 小波变换算法性能分析 吴彦华 （合肥电子工程学院３０９室，合肥 ２３００３７；安徽省电子制约技术重点实验室，合肥 ２３００３７） 摘　要：Ｓ变换具有良好的时频结合特性，在信号处理领域受到了极大重视，在通信信号侦察处理领域具有广阔 的应用前景。本文在研究Ｓ变换基本原理的基础上，针对目前常用的离散Ｓ变换算法进行了分析，指出了其在实 现过程中存在的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，提出了改进的离散 Ｓ变换快速算法，以减少离散 Ｓ变换的运算量。为了验证算法的有效 性，本文将改进的离散Ｓ变换快速算法、传统离散Ｓ变换算法以及典型的多尺度时频分析方法—连续小波变换算 法，进行了算法性能对比分析和仿真实验。实验结果表明了改进离散Ｓ变换快速算法比传统离散Ｓ变换算法和连 续小波变换在算法的运算量方面要少一至几个数量级，证明了改进算法的有效性。结论对于通信信号快速侦察 算法的工程化具有重要的意义。 关键词：时频分析；离散Ｓ变换；连续小波变换；运算量 中图分类号：ＴＮ９１１　　文献标识码：Ａ　　文章编号：１００３－０５３０（２０１２）０７－０９７３－０７ Ｃｏｍｐａｒｅｏｆｔｈｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｉｍｐｒｏｖｅｄｄｉｓｃｒｅｔｅ ＳｔｒａｎｓｆｏｒｍｆａｓｔａｌｇｏｒｉｔｈｍａｎｄＣＷＴ ＷＵＹａｎｈｕａ （３０９Ｓｅｃｔｉｏｎ，ＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｈｅｆｅｉ２３００３７，Ｃｈｉｎａ； ＡｎｈｕｉＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＲｅｓｔｒｉｃｔｉｎｇＴｅｃｈｎｉｑｕｅＫｅｙＬａｂｏｒａｔｏｒｙ，Ｈｅｆｅｉ２３００３７，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：　Ｄｕｅｔｏｉｔｓｅｘｃｅｌｌｅｎｔｔｉｍｅｆｒｅｑｕｅｎｃｙｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ，Ｓｔｒａｎｓｆｏｒｍｈａｓｇｏｔｇｒｅａｔａｔｔｅｎｔｉｏｎｉｎｔｈｅｆｉｅｌｄｏｆ ｓｉｇｎａｌｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇａｎｄｈａｓｇｒｅａｔａｐｐｌｙｉｎｇｐｒｏｓｐｅｃｔｉｎｔｈｅｆｉｅｌｄｏｆｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓｉｇｎａｌｓ’ｒｅｃｏｎｎａｉｓｓａｎｃｅ．Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｓｔｕｄｙ ｏｆｂａｓｉｃｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓｏｆＳｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ｔｈｅｃｏｍｍｏｎｌｙｕｓｅｄａｌｇｏｒｉｔｈｍｏｆｄｉｓｃｒｅｔｅＳｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄｉｔｓｄｉｓａｄｖａｎｔａｇｅｓａｒｅａｎａｌｙｚｅｄｉｎ ｔｈｉｓｐａｐｅｒ．ＴｈｅｉｍｐｒｏｖｅｄｄｉｓｃｒｅｔｅＳｔｒａｎｓｆｏｒｍｆａｓｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄｔｏｒｅｄｕｃｅｔｈｅｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｏｆｄｉｓｃｒｅｔｅＳｔｒａｎｓｆｏｒｍａｓ ｗｅｌｌａｓａｃｈｉｅｖｅｔｈｅｆａｓｔｄｉｓｃｒｅｔｅＳｔｒａｎｓｆｏｒｍｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ．Ｔｏｅｘａｍｉｎｅａｎｄｃｅｒｔｉｆｙｔｈｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄａｌｇｏｒｉｔｈｍ， ｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｃｏｍｐａｒｅｏｆｔｈｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅａｍｏｎｇｔｈｅｉｍｐｒｏｖｅｄｄｉｓｃｒｅｔｅＳｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ｔｈｅｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｄｉｓｃｒｅｔｅＳｔｒａｎｓ ｆｏｒｍａｎｄＣＷＴａｒｅｐｒｅｃｅｄｅｄ．ＴｈｅｒｅｓｕｌｔｓｈｏｗｓｔｈａｔｔｈｅａｍｏｕｎｔｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｉｍｐｒｏｖｅｄｄｉｓｃｒｅｔｅＳｔｒａｎｓｆｏｒｍｆａｓｔａｌｇｏ ｒｉｔｈｍｉｓｌｅｓｓｏｎｅｏｒｍｏｒｅｏｒｄｅｒｓｏｆｍａｇｎｉｔｕｄｅｔｈａｎｔｈｅｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｄｉｓｃｒｅｔｅＳｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄＣＷＴ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎａｎｄｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ａｎａｌｙｓｉｓｐｒｏｖｅｄｔｈｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓｔｏｉｍｐｒｏｖｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｏｆｄｉｓｃｒｅｔｅＳｔｒａｎｓｆｏｒｍ．Ｔｈｅｉｍｐｒｏｖｅｄａｌｇｏｒｉｔｈｍｈａｓｇｒｅａｔｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ ｔｏｔｈｅｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｏｆｔｈｅｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓｉｇｎａｌ’ｓｆａｓｔｒｅｃｏｎｎａｉｓｓａｎｃｅ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：　ｔｉｍｅｆｒｅｑｕｅｎｃｙａｎａｌｙｓｉｓ；ｄｉｓｃｒｅｔｅＳｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ａｍｏｕｎｔｏｆｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ １　引言 通信信号侦察处理领域，对通信信号的检测和参 数识别，人们越来越多的采用时频分析方法进行处理， 尤其是对于数字通信信号以及直接序列扩频（ＤＳ）信 号和跳频扩频（ＦＨ）信号。目前常用的时频分析方法 信 号 处 理 第２８卷 主要有：短时Ｆｏｕｒｉｅｒ变换（ＳＴＦＴ）、Ｇａｂｏｒ变换、小波变 换、ＷｉｇｎｅｒＶｉｌｌｅ时频分布（ＷＶＤ）等。其中，最具代表 性的是ＳＴＦＴ和小波变换［１］。 衡量时频分析方法优劣的重要指标就是时频分辨 率。ＳＴＦＴ的时频分辨率固定，但是能够借助滤波器组 来快速实现；小波变换能够实现多尺度分析，具有可变 的时频分辨率，但其不存在唯一的逆变换［１］［２］。对于 具有较好时频分析特性的小波变换而言，在算法实现 上，小波变换具有自己的快速算法，即 Ｍａｌｌａｔ算法。然 而Ｍａｌｌａｔ算法当中，相邻两个尺度的时窗以及频窗之 间具有两倍变化的特性，这在对通信信号处理的实际 应用中是不适合的，尤其是在信号密集的短波波段。 因此，在通信信号处理中，大多采用连续小波变换处 理，而连续小波变换又没有快速算法实现。 １９９６年，Ｓｔｏｃｋｗｅｌｌ等人通过引入宽度和频率成反 向变化的高斯窗，提出了一种新的时频变换方法－Ｓ变 换［２］。该方法将连续小波变换和ＳＴＦＴ的优点结合，是 一种介于两者之间的时频分析方法。该方法同小波变 换一样具有多尺度分析特性［３］，具体实现上与信号的 傅里叶谱有直接联系，可以通过ＦＦＴ快速实现，因此在 信号处理领域受到了极大重视，并在多个领域进行了 广泛的应用［４］。 本文在研究Ｓ变换基本原理的基础上，针对目前 常用的离散 Ｓ变换算法进行了分析，指出了其在实现 过程中存在的问题，提出了改进的离散 Ｓ变换快速算 法，以减少离散Ｓ变换的运算量，并将其与传统离散 Ｓ 变换、连续小波变换算法性能进行了对比分析。 ２　Ｓ变换基本原理 信号ｈ（ｔ）的短时Ｆｏｕｒｉｅｒ变换（ＳＴＦＴ）定义为［１］： ＳＴＦＴ（ " ，ｆ）＝∫ ∞ －∞ ｈ（ｔ）ｗ（ｔ－ " ）ｅ－ｊ２!ｆｔｄｔ （１） 其中，ｗ（ｔ）为窗口函数， " 为时移因子，ｊ为虚数单位。 ＳＴＦＴ就是用一固定的滑动窗口逐段对信号进行分析， 从而得到信号的时频图。ＳＴＦＴ的窗口函数如果选为 高斯窗，即： ｗ（ｔ）＝ １ σ ２槡 ! ｅ－ ｔ２ ２σ２ （２） 并令 σ＝ａ ｆ （３） 为尺度因子（ａ为常数），则信号 ｈ（ｔ）的 Ｓ变换定 义为［２］［３］［５］： Ｓ（ " ，ｆ）＝∫ ∞ －∞ ｈ（ｔ） ｆ ２槡 ! ｅ －（ｔ－"） ２ｆ２ ２ａ２ ｅ－ｊ２!ｆｔｄｔ （４） 由上式可见，Ｓ变换中高斯窗口的高度和宽度随 频率而变换，这样就克服了ＳＴＦＴ中窗口高度和宽度固 定的缺陷。 信号ｈ（ｔ）可以由Ｓ变换Ｓ（ " ，ｆ）进行重构，其逆变 换为： ｈ（ｔ）＝∫ ∞ －∞ ∫ ∞ －∞ Ｓ（ " ，ｆ）ｄ[ ]" ｅｊ２!ｆｔｄｆ （５） 由上式可见，Ｓ变换的逆变换是唯一的，这一点不 同于小波变换。 ３　传统离散Ｓ变换算法及其缺点 由信号ｈ（ｔ）的Ｓ变换和逆变换表达式，可以得到 其频谱表达式Ｈ（ｆ）为： Ｈ（ｆ）＝∫ ∞ －∞ Ｓ（ " ，ｆ）ｄ " ＝∫ ∞ －∞ ｈ（ｔ）ｅ－ｊ２!ｆｔｄｔ （６） 由式（４）、（５）和（６），信号 ｈ（ｔ）的 Ｓ变换结果可 以用信号的Ｆｏｕｒｉｅｒ变换表示，即： Ｓ（ " ，ｆ）＝∫ ∞ －∞ Ｈ（β＋ｆ）ｅ －２ ! ２β２ａ２ ｆ２ ｅｊ２!β"ｄβ，（ｆ≠０） （７） 式中，Ｈ（ｆ）为信号ｈ（ｔ）的频谱，β为频率，控制频域中 的高斯窗在频率轴上移动。 由上式可以看出，对离散信号而言，信号 ｈ（ｔ）的 Ｓ 变换可以采用高效的快速傅里叶变换算法和卷积定理 实现。 设对接收到的信号 ｈ（ｔ）以采样时间间隔 Ｔ进行 采样，采样点数为 Ｎ。在文［６］至文［９］中，令 ｆ→ｎ／ ＮＴ， "→ｋＴ，则Ｓ变换的离散表示形式为： Ｓ［ｋ，ｎ］＝∑ Ｎ－１ ｍ＝０ Ｈ（ｍ＋ｎＮＴ）ｅ －２! ２ｍ２ａ２ ｎ２ ｅ ｊ２ ! ｍｋ Ｎ （ｋ＝０，１，…，Ｎ－１；ｎ＝１，…，Ｎ－１） （８） 其中，ｋ代表时间采样点，ｎ代表频率采样点。由式 （８），得到离散Ｓ变换的计算步骤，见文［６］～［９］。 在式（８）的 Ｓ变换离散表示式中，采用 ＦＦＴ实现 了Ｓ变换的快速算法。但由于令 ｆ→ｎ／ＮＴ，即频率采 样点是按照Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的频率采样点选取的，而忽略 了窗函数ｗ（ｔ）在频率域的影响，使得表达式存在以下 三个问题： ４７９ 第 ７期 吴彦华：改进的离散Ｓ变换快速算法与连续小波变换算法性能分析 １）频率采样点ｎ的取值不符合物理意义。ｎ的取 值是按照Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的频率采样点选取的，即以 Ｆｏｕ ｒｉｅｒ变换的频率分辨率作为频率采样点间隔。而在 Ｓ 变换中，由于窗函数 ｗ（ｔ）的影响，频率采样点的选取 应以ｗ（ｔ）频窗的宽度作为频率间隔，这样才符合频率 采样的实际物理意义。 ２）ｎ取值范围及步进不合理。公式（８）中的 ｎ的 取值从１至（Ｎ－１），步进为１／ＮＴ，实际是 ＦＦＴ变换的 频率分辨率。对Ｓ变换而言，窗函数ｗ（ｔ）的频窗本身 就反映了频域中的频率分辨率。为了保证各频点对应 的频窗无缝并且无冗余的覆盖分析频段，频率步进应 为各频率对应的频窗宽度。反映频率 ｆ变化的 ｎ的取 值，应根据所分析的频段范围和频窗宽度确定。在实 际应用中，频窗宽度比取 Ｎ点 ＦＦＴ变换对应的频率分 辨率数值要大，否则窗函数ｗ（ｔ）在时窗包含的时域点 数要大于Ｎ。由此可以得到，离散 Ｓ变换中频率采样 点的个数应该小于（Ｎ－１）。 ３）ｍ取值范围不合理。公式（８）中的 ｍ取值从０ 至（Ｎ－１）。然而由于在频域中ｗ（ｔ）窗函数的存在，对 频窗以外的卷积是不必要的，因此，ｍ的取值范围要缩 小，取值范围应该是频窗的宽度。 从以上讨论可知，公式（８）中的ｍ和 ｎ的取值，将 无端增大计算的运算量。将冗余的运算量去除的关键 就是必须考虑窗函数ｗ（ｔ）频窗的影响。 ４　改进的离散Ｓ变换快速算法 对窗函数 ｗ（ｘ）而言，其中心 ｗ０与半径 Δｗ 分 别为［１０］ ｗ０＝ １ ‖ｗ‖２∫ ∞ －∞ ｘ ｗ（ｘ）２ｄｘ Δｗ＝ １ ‖ｗ‖ ∫ ∞ －∞ （ｘ－ｗ０） ２ ｗ（ｘ）２{ }ｄｘ      １ ２ （９） 可得信号ｗ（ｔ）的频窗Δｗ＾为： Δｗ＾＝ １ 槡２２!σ ＝ ｆ 槡２２!ａ （１０） 首先来看离散频率点ｎ的取值。 由于ｆ点的频窗宽度即为ｆ点的频率分辨率，根据 处理信号的系统频率分辨率需求，由式（１０），在处理 信号频率最大的情况下，求 Δｗ＾等于频率分辨率的值， 得到式（１０）中参数 ａ的值。这样，在不同的频率点均 能满足系统分辨率要求。为了满足不同频率点对应的 频窗对处理频段的无缝覆盖，则离散后各频率应满足： ｆｎ＋１＝ｆｎ＋２（Δｗ＾）ｎ＝ｆｎ 　 　 １＋ １ 槡２!  ａ （１１） 设信号的采样速率为１／Ｔ，对于数字采样后的信 号频谱分布，在Ｓ变换中，选取０～１／（２Ｔ）不合适。因 为如果频率为 ０，将带来窗口函数对应频窗为 ０，由 Ｈｅｓｉｅｎｂｅｒｇ测不准原理［１０］，时窗无穷大，计算将无法实 现。根据 Ｎｙｑｕｉｓｔ采样定理的折叠特性，在 １／Ｔ～３／ （２Ｔ）内的信号频谱与０～１／（２Ｔ）频段内的信号频谱 完全相同。因此，可以取处理的频段范围为１／Ｔ～３／ （２Ｔ）。由式（１１），得到整个处理频段内的离散频率个 数（即ｎ的取值范围）Ｎｓｃａｌｅｓ为： Ｎｓｃａｌｅｓ＝ＩＮＴ ｌｎ３２ ｌｎ 　 　 １＋ １ 槡２!    ａ ＋１ （１２） 式中，ＩＮＴ（·）代表对数值进行向下取整。ｎ的取值范围 为０，１，…，Ｎｓｃａｌｅｓ－１（以下无特别说明，ｎ皆此取值范 围），其频率步进为对应频率点的频窗宽度。每个ｎ值 （离散频率点）对应的频率为： ｆｎ＝ １ Ｔ 　 　 １＋ １ 槡２!  ａ ｎ （１３） 下面来看卷积项数ｍ的取值。 卷积项数ｍ的取值范围，和 ｎ值对应的频率所确 定的频窗宽度有关，由式（１０）和（１３）可以得到： （Δｗ＾）ｎ＝ 　 　 １＋ １ 槡２!  ａ ｎ 槡２２!ａＴ （１４） （Δｗ＾）ｎ以Ｎ点ＦＦＴ变换的频率分辨率转换为离散点数 ｗｉｄｔｈｎ为： ｗｉｄｔｈｎ＝ＩＮＴ Ｎ 　 　 １＋ １ 槡２!  ａ ｎ 槡２２!           ａ （１５） 则对应于不同的ｎ值，ｍ取值范围为： ｍ＝－ｗｉｄｔｈｎ，－ｗｉｄｔｈｎ＋１，…，０，…，ｗｉｄｔｈｎ （１６） 频率ｆｎ相对于ＦＦＴ变换结果对应的离散点（ｃｅｎ＿ ｆｆｔ）ｎ为： （ｃｅｎ＿ｆｆｔ）ｎ＝ＩＮＴＮ 　 　 １＋ １ 槡２!  ａ ｎ －   Ｎ （１７） ５７９ 信 号 处 理 第２８卷 综合式（１２）、（１６）和（１７）可以得到修正后的离散Ｓ变 换公式为： Ｓ［ｋ，ｎ］＝∑ ｗｉｄｔｈｎ ｍ＝－ｗｉｄｔｈｎ Ｈ 　 　 ｍ＋（ｃｅｎ＿ｆｆｔ）ｎ ＮＴ ｅ －２! ２ｍ２ａ２ （ｃｅｎ＿ｆｆｔ）２ｎｅ ｊ２ ! ｍｋ Ｎ （ｋ＝０，１，…，Ｎ－１；ｎ＝０，１，…，Ｎｓｃａｌｅｓ－１） （１８） 在式（１８）中，为了减少运算量，应用ＩＦＦＴ算法，并 且由Ｎｙｑｕｉｓｔ采样定理的折叠特性，将ｍ的取值范围更 改为： ｍ＝０，１，…，Ｍｎ－１ （１９） 其中， Ｍｎ＝２ ＩＮＴ ｌｎ（２×ｗｉｄｔｈｎ）ｌｎ２ ＋０．[ ]５ （２０） 因此，可以得到改进的离散Ｓ变换公式为： Ｓ［ｋ，ｎ］＝∑ Ｍｎ－１ ｍ＝０ Ｈ 　 　 ｍ＋（ｃｅｎ＿ｆｆｔ）ｎ ＮＴ ｅ －２! ２ｍ２ａ２ （ｃｅｎ＿ｆｆｔ）２ｎｅ ｊ２ ! ｍｋ Ｎ （ｋ＝０，１，…，Ｎ－１；ｎ＝０，１，…，Ｎｓｃａｌｅｓ－１） （２１） 由式（２１），可以得到改进的离散 Ｓ变换快速算法实现 步骤如下： １）初始化； ａ）根据信号处理分辨率的要求，由式（１０），确定 式（３）中尺度因子的常数ａ的值； ｂ）由式（１２），计算离散 Ｓ变换中频率点的个数 Ｎｓｃａｌｅｓ，确定ｎ的取值范围； ｃ）由式（１５）、（１６），确定不同 ｎ值对应的 ｍ的取 值范围； ｄ）由式（１７），计算不同ｎ值代表的频率ｆｎ相对于 ＦＦＴ变换结果对应的离散点（ｃｅｎ＿ｆｆｔ）ｎ； ２）计算ｈ（ｋ）的ＦＦＴ结果Ｈ（ｍＮＴ）； ３）计算窗函数 ｗ（ｔ）的 ＦＦＴ结果，得到 Ｗ（ｍ，ｎ） ＝ｅ －２! ２ｍ２ａ２ ｎ２ ； ４）按频率采样点（ｃｅｎ＿ｆｆｔ）ｎ，计算Ｈ 　 　 ｍ＋（ｃｅｎ＿ｆｆｔ）ｎ ＮＴ Ｗ （ｍ，（ｃｅｎ＿ｆｆｔ）ｎ）； ５）计算Ｈ（ｍ＋ｎＮＴ）Ｗ（ｍ，ｎ）函数Ｍｎ个点的ＩＦＦＴ，得 到Ｓ变换矩阵。 为了验证算法的有效性，产生一个瞬时频率为时 间线性函数的电压控制振荡频率信号（ＶＣＯ）。设信号 采样速率１／Ｔ＝２０ＭＨｚ，采样点数 Ｎ＝４０９６。在采样时 间内，产生的信号瞬时频率从０变化到１０ＭＨｚ。图１ 给出了信号的时域波形显示。 图１　ＶＣＯ信号时域波形 Ｆｉｇ．１　ＴｉｍｅｗａｖｅｏｆｔｈｅＶＣＯｓｉｇｎａｌ 设系统处理的频率分辨率需求为 Δｆ≤７５ｋＨｚ，采 用改进的离散Ｓ变换算法对上述产生的 ＶＣＯ信号进 行处理，处理结果如图２所示。 图２　ＶＣＯ信号改进离散Ｓ变换结果图形显示 Ｆｉｇ．２　ＲｅｓｕｌｔｏｆＶＣＯｓｉｇｎａｌ’ｓｉｍｐｒｏｖｅｄｄｉｓｃｒｅｔｅＳｔｒａｎｓｆｏｒｍ ６７９ 第 ７期 吴彦华：改进的离散Ｓ变换快速算法与连续小波变换算法性能分析 从图２的变换结果图形可以看出，采用改进的离 散Ｓ变换对ＶＣＯ信号进行处理，变换结果在时间和尺 度（频率）两个方面都反映了 ＶＣＯ信号的特征。ＶＣＯ 信号在时间和频率上含有丰富的信息，经常作为信号 处理仿真实验的典型代表，而改进的离散 Ｓ变换算法 能够将其特征全面、正确反映。从图２的变换结果和 以上分析可以得出和证明，改进离散 Ｓ变换算法的有 效性。 ５　算法性能比较分析 由式（８），可以得到在１／（２Ｔ）处理频段宽度范围 内，完成传统离散Ｓ变换需要的运算量为： ６Ｎ２ｌｏｇＮ２＋４Ｎ ２　　次实数相乘 ９Ｎ２ｌｏｇＮ２＋２Ｎ ２　　次实数相加 （２２） 由式（２１），同样可以得到在１／（２Ｔ）处理频段宽度范围 内，采用改进的离散 Ｓ变换快速算法完成运算的运算 量为： ４ＮｌｏｇＮ２ ×Ｎｓｃａｌｅｓ＋∑ Ｎｓｃａｌｅｓ－１ ｎ＝０ （４Ｍｎ＋２Ｍｎｌｏｇ Ｍｎ ２） 次实数相乘 ６ＮｌｏｇＮ２ ×Ｎｓｃａｌｅｓ＋∑ Ｎｓｃａｌｅｓ－１ ｎ＝０ （２Ｍｎ＋３Ｍｎｌｏｇ Ｍｎ ２） 次实数相加 （２３） 下面再来分析连续小波变换的离散算法的运 算量。 具有有限能量的信号ｈ（ｔ）［ｈ（ｔ）∈Ｌ２（Ｒ）］的小波 变换定义为函数 $ａ，ｂ（ｔ）＝ａ －１／２ $ （ｔ－ｂａ）为积分核的积分 变换，如下所示［１０］： Ｗ（ａ，ｂ）＝∫ ∞ －∞ ｈ（ｔ） $ａ，ｂ（ｔ）ｄｔ ＝ ａ－１／２∫ ∞ －∞ ｈ（ｔ） $ （ｔ－ｂａ）ｄｔ （２４） 其中ａ是尺度参数，ｂ是平移参数，函数 $ａ，ｂ（ｔ）称作小 波， $ （ｔ）称作基小波。其离散形式为： Ｗ（ｊ，ｋ）＝ ａｊ －１／２∑ Ｎ２ ｉ＝Ｎ１ ｈ（ｉ） $ （ ｉ－ｂｋ ａｊ ） （２５） 其中，ｊ＝０，１，２…Ｎｓｃａｌｅｓ－１；ｋ＝０，１，２…Ｎ－１；Ｎｓｃａｌｅｓ为 尺度域上ａ取值的数目；Ｎ为时间域上 ｂ取值的数目， 即信号采样点数；Ｎ１，Ｎ２为窗口函数$（ ｉ－ｂｋ ａｊ ）所确定的 时间窗上下限对应的信号的采样点，信号采样速率 为ｆｓ。 设基小波函数的中心频率为 ｆ０，为了保证尺度的 选择，使得不同 ｊ值对应的频窗能够无冗余的覆盖整 个频段，同改进 Ｓ离散变换算法一样，可得尺度个数 Ｎｓｃａｌｅｓ为： Ｎｓｃａｌｅｓ＝ＩＮＴ ｌｎ３２ ｌｎ 　 　 ２Δ $＾ ｆ０－Δ $＾ ａ     ｍｉｎ ＋１ （２６） 其中，ａｍｉｎ为最小的尺度值，它由处理频段范围和系统 频率分辨率的要求来确定。 对于每一个确定的ｊ，ｋ值，由窗口函数 $ （ ｉ－ｂｋ ａｊ ）确 定的时间窗为： ［ｂｋ＋ａｊｔ －ａｊΔ $ ，ｂｋ＋ａｊｔ ＋ａｊΔ $ ］ 可以得到对信号处理所需要的对应时窗内的信号采样 点数： Ｎ１＝ＩＮＴ［（ｂｋ＋ａｊｔ －ａｊΔ $ ）×ｆｓ］ Ｎ２＝ＩＮＴ［（ｂｋ＋ａｊｔ ＋ａｊΔ $ ）×ｆｓ］ Ｎ２－Ｎ１＝ＩＮＴ［２ａｊΔ $ ×ｆｓ     ］ 如果要完成全部采样点的小波变换运算，需进行： ４Ｎ∑ Ｎｓｃａｌｅｓ－１ ｊ＝０ ＩＮＴ（ａｊΔ $ ｆｓ）＋４Ｎ×Ｎｓｃａｌｅｓ 次实数相乘 ４Ｎ∑ Ｎｓｃａｌｅｓ－１ ｊ＝０ ＩＮＴ（ａｊΔ $ ｆｓ） 次实数相加 （２７） 由于Ｇｒｏｓｓｍａｎｎ小波良好的边缘检测特性，因此， 实验采用Ｇｒｏｓｓｍａｎｎ小波来提取和分析信号。它的函 数形式及Ｆｏｕｒｉｅｒ变换为［１０］： $ （ｔ）＝ｅｘｐ（－ｔ２／２＋ｉω０ｔ），ω０≥５ $＾ （ω）＝ ２槡 !ｅｘｐ［－（ω－ω０） ２／２］ 根据式（９），可以得到 Ｇｒｏｓｓｍａｎｎ小波的时窗及频 窗的中心与宽度分别为： ｔ＝０，　　　２Δ $ ＝１．４１４ｓ ｆ０＝ω０／２!，　２Δ $＾ ＝０．２２６Ｈｚ 以上节的例子，同样采样速率和频率分辨率要求， 采用传统离散 Ｓ变换、连续小波变换和改进的离散 Ｓ 变换算法对 ＶＣＯ信号进行分析处理，结合式（２２）、 ７７９ 信 号 处 理 第２８卷 （２３）和（２７）可以得到三种方法的运算量对比如表１ 所示。 表１　算法运算量比较 Ｔａｂ．１　Ｃｏｍｐａｒｅｏｆｔｈｅａｍｏｕｎｔｏｆｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ 变　换 实数相乘 次数 实数相加 次数 ４０９６点传统离散Ｓ变换 １．２７５１ｅ＋００９ １．８４５５ｅ＋００９ ４０９６点连续小波变换 ２．１２６２ｅ＋００８ ２．１０３４ｅ＋００８ ４０９６点改进离散Ｓ变换 ３．２０６０ｅ＋００７ ４．８０８５ｅ＋００７ 注：采样速率２０ＭＨｚ，频率分辨率≤７５ｋＨｚ 固定系统频率分辨率要求，当不同采样点数时，采 用传统离散 Ｓ变换算法、连续小波变换算法和改进的 离散Ｓ变换算法，分别计算运算量，得到图３。为方便 显示，运算量采用对数坐标显示。 图３　运算量与采样点数对数坐标关系 Ｆｉｇ．３　Ａｍｏｕｎｔｏｆｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｓａｍｐｌｅｎｕｍｂｅｒｓ 在图３中，表征连续小波变换实数相乘次数和相 加次数的两条曲线几乎重合在一起，这是因为连续小 波变换的实数相乘次数和实数相加次数仅相差 ４Ｎ× ＮＳｃａｌｅｓ，由式（２７）可以看出这一点。 由表１和图３可以得出结论，改进的离散 Ｓ变换 算法运算量明显比传统的离散Ｓ变换和连续小波变换 算法的运算量要小，对于１０２４点以上的数据进行分析 时，基本上要少一至几个数量级。 改进离散Ｓ变换算法比传统算法运算量要小，是 由于考虑到了窗函数的影响，改进算法将窗函数以外 的冗余运算去除了；而改进离散 Ｓ变换算法比连续小 波变换算法运算量要小，一个很重要的原因是因为离 散Ｓ变换算法当中应用了快速傅里叶变换的蝶形算 法，提高了运算的速度。 ６　结论 本文对离散Ｓ变换算法进行了研究，在对传统离 散Ｓ变换算法研究的基础上，提出了改进的离散 Ｓ变 换算法。从仿真实验结果看，改进的离散 Ｓ变换算法 对信号的处理是有效的。同时，通过对比传统离散 Ｓ 变换、连续小波变换和改进离散Ｓ变换算法的运算量， 证明了改进离散 Ｓ变换算法的运算量更少，基本上要 少一至几个数量级，证明了算法的有效性。 在算法性能方面，Ｓ变换存在唯一逆变换，而小波 变换并不存在唯一逆变换。在算法运算量方面，改进 离散 Ｓ变换算法运算量相对连续小波变换大大减少。 所有这些特性，使得改进离散 Ｓ变换算法对于通信信 号的快速侦察以及快速侦察算法工程化的实现，具有 重要的理论和现实意义。 参考文献 ［１］　张贤达．现代信号处理［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２００２． ［２］　ＳｔｏｃｋｗｅｌｌＲＧ，ＭａｎｓｉｎｈａＬ，ＬｏｗｅＲＰ．Ｌｏｃａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｘｓｐｅｃｔｒｕｍ：ＴｈｅＳｔｒａｎｓｆｏｒｍ［Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃ ｔｉｏｎｓｏｎＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，１９９６，４４（４）：９９８１００１． ［３］　ＳｅｒｇｉＶ，ＣａｒｉｎｅＳ，ＭａｒｔｉｎＳ．ＴｈｅＳｔｒａｎｓｆｏｒｍｆｒｏｍａｗａｖｅ ｌｅｔｐｏｉｎｔｏｆｖｉｅｗ［Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＳｉｇｎａｌＰｒｏ ｃｅｓｓｉｎｇ，２００８，５６（７）：２７７１２７８０． ［４］　陈学华，贺振华，黄德济．广义 Ｓ变换及其时频滤波 ［Ｊ］．信号处理，２００８，２４（１）：２８３１． ＣｈｅｎＸｕｅｈｕａ，ＨｅＺｈｅｎｈｕａ，ＨｕａｎｇＤｅｊｉ．Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｓｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄｉｔｓｔｉｍｅｆｒｅｑｕｅｎｃｙｆｉｌｔｅｒｉｎｇ［Ｊ］．Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００８，２４（１）：２８３１．（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ） ［５］　ＴｈｅｏｐｈａｎｉｓＳ，ＱｕｅｅｎＪ．Ｃｏｌｏｒｄｉｓｐｌａｙｏｆｔｈｅｌｏｃａｌｉｚｅｄ ｓｐｅｃｔｒｕｍ［Ｊ］．Ｇｅｏｐｈｙｓｉｃｓ，２０００，６５（４）：１３３０１３４０． ［６］　陈学华，贺振华．改进的 Ｓ变换及在地震信号处理中 的应用［Ｊ］．数据采集与处理，２００５，２０（４）：４４９４５３． ＣｈｅｎＸｕｅｈｕａ，ＨｅＺｈｅｎｈｕａ．ＩｍｐｒｏｖｅｄＳＴｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄ ｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｉｎｓｅｉｓｍｉｃｓｉｇｎａｌｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＤａｔａＡｃｑｕｉｓｉｔｉｏｎ＆Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００５，２０（４）：４４９４５３． （ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ） ［７］　刘传武，张智军，毕笃彦．Ｓ变换在雷达目标识别中的 应用［Ｊ］．系统仿真学报，２００８，２０（１２）：３２９０３２９２． ８７９ 第 ７期 吴彦华：改进的离散Ｓ变换快速算法与连续小波变换算法性能分析 ＬｉｕＣｈｕａｎｗｕ，ＺｈａｎｇＺｈｉｊｕｎ，ＢｉＤｕｙａｎ．Ｒａｄａｒｔａｒｇｅｔｓ ｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎｕｓｉｎｇＳｔｒａｎｓｆｏｒｍ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｙｓｔｅｍＳｉｍ ｕｌａｔｉｏｎ．２００８，２０（１２）：３２９０３２９２．（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ） ［８］　武开有，马绪等．基于 Ｓ变换的跳频信号参数估计 ［Ｊ］．军事通信技术，２００９，２９（３）：７１１． ＷｕＫａｉｙｏｕ，ＭａＸｕ．Ｐａｒａｍｅｔｅｒｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｈｏｐｐｉｎｇｓｉｇｎａｌｓｂａｓｅｄｏｎＳＴｒａｎｓｆｏｒｍ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌｏｆ ＭｉｌｉｔａｒｙＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ．２００９，２９（３）：７１１． （ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ） ［９］　陈学华，贺振华，陈震．基于能量归一化窗的 Ｓ变换及 应用［Ｊ］．数据采集与处理，２００９，２４（４）：４５８４６３． ＣｈｅｎＸｕｅｈｕａ，ＨｅＺｈｅｎｈｕａ，ＣｈｅｎＺｈｅｎ．Ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｗｉｎｄｏｗｂａｓｅｄＳｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒ ｎａｌｏｆＤａｔａＡｃｑｕｉｓｉｔｉｏｎ＆Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ．２００９，２４（４）：４５８ ４６３．（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ） ［１０］张贤达，保铮．非平稳信号分析与处理［Ｍ］．北京：国防 工业出版社，１９９８． 作者简介 　　吴彦华（１９７４），男，河北藁城，博士， 副教授。研究方向：信号处理，通信信号 侦察。Ｅｍａｉｌ：ｇａｏｓｈａｎ＿ｙａｎｇｚｈｉ＠１６３．ｃｏｍ ９７９