专注数学 关注高中、中考、小升初
专题6第2讲 圆锥曲线
一、选择题
1.(2011·安徽理,2)双曲线2x2-y2=8的实轴长是( )
A.2 B.2
C.4 D.4
[答案] C
[解析] 由2x2-y2=8可得-=1,
则a2=4,a=2,2a=4,故选C.
2.(2011·湖南理,5)设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为( )
A.4 B.3
C.2 D.1
[答案] C
[解析] 双曲线的渐近线方程为y=±x,
比较y=±x,∴a=2.
3.(2011·天津文,6)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为( )
A.2 B.2
C.4 D.4
[答案] B
[解析] ∵抛物线的准线与双曲线的一条渐近线的交点为(-2,-1),
∴-=-2,p=4,抛物线方程为y2=8x,
双曲线渐近线的斜率=.
∴抛物线焦点坐标为(2,0).
由题意2-(-a)=4,得a=2,
∴b=1,c2=a2+b2=4+1=5.
∴2c=2.
4.(2011·山东菏泽)方程为+=1(a>b>0)的椭圆左顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,D是它短轴上的一个顶点,若3=+2,则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] ∵3=+2,
∴2(-)=-,
∴=2,即a-c=4c,
∴e==.
5.(2011·海南五校联考)如图,正六边形ABCDEF的两个顶点A、D为双曲线的两个焦点,其余4个顶点都在双曲线上,则该双曲线的离心率是( )
A.+1 B.-1
C. D.
[答案] A
[解析] 设正六边形的边长为1,则AE=,ED=1,
AD=2,∴2a=AE-ED=-1,2c=AD=2,
∴e===+1.
6.(2011·大连一模)设F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,当++=0,且||+||+||=3时,此抛物线的方程为( )
A.y2=2x B.y2=4x
C.y2=6x D.y2=8x
[答案] A
[解析] 由题意知焦点F(,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则由++=0,得(x1-)+(x2-)+(x3-)=0,∴x1+x2+x3=.又由抛物线定义,得||+||+||=(x1+)+(x2+)+(x3+)=3p=3,∴p=1,因此所求抛物线的方程为y2=2x.
7.(2011·大纲全国卷理,10)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos∠AFB=( )
A. B.
C.- D.-
[答案] D
[解析]
方法
快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载
一:联立,不妨设A在x轴上方,∴A(4,4),B(1,-2),
∵F点坐标为(1,0),∴=(3,4),=(0,-2),
cos∠AFB===-.
方法二:|AB|=3,|AF|=5,|BF|=2,
由余弦定理知,cos∠AFB==-.
8.(文)(2011·辽宁文,7)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B.1
C. D.
[答案] C
[解析] 如图所示:
∵|AF|=|AK|,|BF|=|BM|
∴|AK|+|BM|=|AF|+|BF|=3
∴AB的中点P到准线的距离
|PN|=(|AK|+|BM|)=
∴点P到y轴的距离为-=.
(理)(2011·浙江理,8)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-=1 有公共的焦点,C1的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1 恰好将线段AB三等分,则( )
A.a2= B.a2=13
C. b2= D.b2= 2
[答案] C
[解析] 由双曲线x2-=1知焦点坐标为(-,0),(,0),渐近线方程为y=±2x.
∴椭圆中:a2=b2+5,由条件知|AB|=2a,
由得x2=,
y2=,又2=|AB|,
∴=
整理,得:a2=11b2,结合a2=b2+5,得a2=,b2=,选C.
二、填空题
9.(2011·陕西质检二)已知抛物线C的顶点为原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点.若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为________.
[答案] y2=4x
[解析] 设抛物线的
标准
excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载
方程为y2=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),则y=2px1,y=2px2,两式相减可得(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2),则kAB==,∴=1,解得p=2,即所求抛物线方程为y2=4x.
10.已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A、B两点.若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为__________.
[答案] y=x
[解析] 因为抛物线顶点在原点,焦点F(1,0),故抛物线方程为y2=4x.设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),
则y=4x1,y=4x2.
∴(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),
∴kAB==1,
∴直线AB的方程为y-2=x-2,即y=x.
11.(文)(2011·山东文,15)已知双曲线-=1(a>0,b>0)和椭圆+=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为________________.
[答案] -=1
[解析] 椭圆焦点为(±,0),所以a2+b2=7,椭圆离心率为e=,∴=×2,∴a=2,b=,
∴双曲线方程为-=1.
(理)(2011·江西理,14)若椭圆+=1的焦点在x轴上,过点(1,)作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________________.
[答案] +=1
[解析] 解法一:点在圆外过点(1,)与圆相切的一条直线方程为x=1,一个切点为(1,0),设另一条的方程为y=x+m,由1=得m=,故另一条切线的方程为y=-x+代入圆的方程联立解得切点为,则直线AB的方程为y=-2x+2,故椭圆的上顶点坐标为(0,2).因此c=1,b=2,a=,所求椭圆方程为+=1.
解法二:由题意可得切点A(1,0).
切点B(m,n)满足解得B.
∴过切点A,B的直线方程为2x+y-2=0.
令y=0得x=1,即c=1;
令x=0得y=2,即b=2.
∴a2=b2+c2=5,∴椭圆方程为+=1.
12.(文)(2011·江西文,12)若双曲线-=1的离心率e=2,则m=________.
[答案] 48
[解析] c2=a2+b2=16+m,又∵e=,
∴e=2=,∴m=48.
(理)(2011·海淀模拟)已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1、F2,且它们在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,双曲线的离心率的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的取值范围是________.
[答案] (,)
[解析] 设椭圆的半焦距为c,长半轴长为a,由椭圆的定义及题意知,|PF1|=2a-|PF2|=2a-2c=10,得到a-c-5=0,因为双曲线的离心率的取值范围为(1,2),所以1<<2,∴
b>0)的离心率为,椭圆C上任意一点到椭圆C两个焦点的距离之和为6.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l:y=kx-2与椭圆C交于A,B两点,点P(0,1),且|PA|=|PB|,求直线l的方程.
[解析] (1)由已知2a=6,e==,
解得a=3,c=,所以b2=a2-c2=3,
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)由得,(1+3k2)x2-12kx+3=0,
因为直线l与椭圆C有两个不同的交点,
所以Δ=144k2-12(1+3k2)>0,解得k2>.
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为E,
则x1+x2=,x1x2=,
y1+y2=k(x1+x2)-4=k·-4=-,
所以AB的中点坐标为E,
因为|PA|=|PB|,所以PE⊥AB,kPE·kAB=-1,
所以·k=-1,
解得k=1或k=-1,经检验,符合题意.
所以直线l的方程为x-y-2=0或x+y+2=0.
14.(文)(2011·天津文,18)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(a,b)满足|PF2|=|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率e;
(2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,若直线PF2与圆(x+1)2+(y-)2=16相交于M,N两点,且|MN|=|AB|,求椭圆的方程.
[解析] (1)设F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),
因为|PF2|=|F1F2|,所以=2c,整理得22+-1=0,得=-1(舍)或=,
所以e=.
(2)由(1)知a=2c,b=c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,直线PF2的方程为y=(x-c),
A,B两点的坐标满足方程组,
消去y并整理,得5x2-8cx=0,解得x1=0,x2=c,
得方程组的解,
不妨设A,B,
所以|AB|==c.
于是|MN|=|AB|=2c,
圆心到直线PF2的距离
d==.
因为d2+2=42,所以(2+c)2+c2=16.
整理得7c2+12c-52=0,得c=-(舍),或c=2,
所以椭圆方程为+=1.
(理)(2011·天津理,18)在平面直角坐标系xOy中,点P(a,b)(a>b>0)为动点,F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,已知△F1PF2为等腰三角形.
(1)求椭圆的离心率e;
(2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,M是直线PF2上的点,满足·=-2,求点M的轨迹方程.
[解析] (1)设F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).由题意,可得|PF2|=|F1F2|,即=2c.整理得
22+-1=0.得=-1(舍)或=.
所以e=.
(2)由(1)知a=2c,b=c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,直线PF2方程为v=(x-c).
A,B两点的坐标满足方程组
消去y并整理,得5x2-8cx=0,解得x1=0,x2=c.
得方程组的解
不妨设A,B.
设点M的坐标为(x,y),则=,=(x,y+c).
由y=(x-c),得c=x-y.
于是=,=(x,x).
由·=-2,即·x+·x=-2,化简得18x2-16xy-15=0,
将y=代入c=x-y,得c=>0.
所以x>0.
因此,点M的轨迹方程是18x2-16xy-15=0(x>0).
15.(2011·北京理,19)已知椭圆G:+y2=1,过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A、B两点.
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率;
(2)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值.
[解析] (1)由已知得a=2,b=1,
所以c==.
所以椭圆G的焦点坐标为(-,0),(,0),离心率为e==.
(2)由题意知,|m|≥1,
当m=1时,切线l的方程为x=1,点A,B的坐标分别为(1,),(1,-),此时|AB|=.
当m=-1时,同理可得|AB|=.
当|m|>1时,设切线l的方程为y=k(x-m).
由得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则
x1+x2=,x1x2=.
又由l与圆x2+y2=1相切,得=1,
即m2k2=k2+1.
所以|AB|=
=
=
=.
由于当m=±1时,|AB|=,
所以|AB|=,m∈(-∞,-1]∪[1,+∞).
因为|AB|==≤2,且当m=±时,|AB|=2.
所以|AB|的最大值为2.
更多数学专题尽在华芳教育http://huafangedu.com/ 1