两角差的余弦公式

3.1.1《两角差的余弦 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 》教学设计 一、教材地位和作用分析 两角和与差的余弦公式是本章最先推导出来的公式，是后继内容两角和与差的正弦、正切公式、二倍角公式、和差化积与积化和差公式等知识的基础，为以后三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决奠定基础. 本节是以一个实际问题做引子，目的在于从中提出问题，引出本章的研究课题.在用方程的思想分析题意，用解直角三角形的方法列出方程并提出问题：实际问题中存在研究像 这样的包含两个角的三角函数的需要，以实例引入课题有利于体现数学与实际问题的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性，同时也让学生体会数学知识产生、发展的过程. 本节是数学公式的教学，教师应遵循公式教学的规律，应注意以下几点： 1.要使学生了解公式的由来； 2.使学生认识公式的结构特征，加以记忆； 3.使学生掌握公式的推导和证明； 4.通过例子使学生熟悉公式的应用，灵活运用公式进行解答有关问题. 二、学情分析 在第一章中学生学习了三角函数的基本概念，对三角函数有了一个初步的了解.但学生只是要求理解和掌握单角的三角的计算和简单变换，没有涉及求形如 、 等和、差、倍角的三角函数的值的需要.因此，设置情境引入两角和与差的概念会引起学生的兴趣，这一环节也是不容忽视的. 三、教学目标 1、知识目标： 通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，了解单角与复角的三角函数之间的内在联系，并通过强化训练，加深对两角差的余弦公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，提高学生的数学素质. 2、能力目标： 通过两角差的余弦公式的运用，会进行简单的求值、化简、证明，体会化归思想在数学当中的运用，使学生进一步掌握联系的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题，解决问题的能力. 3、情感目标： 通过本节的学习，使学生体会探究的乐趣，认识到世间万物的联系与转化，养成用辩证与联系的观点看问题.通过创设情境，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，从而培养学生分析问题、解决问题的能力.通过观察、对比，体会公式的线形美、对称美. 四、教学重点和难点 教学重点：通过探究推导两角差的余弦公式及公式的记忆. 教学难点：探索过程的组织和引导，两角和与差的余弦公式推导的严谨性分析及其公式的灵活运用. 五、教学方法 创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试.探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标.给学生的思维以适当的引导并不会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性，从而体现教师主导作用和学生主体作用的和谐统一. 由此拟采用以下的教学方法：创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题. 六、学法指导 1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备.(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律.) 2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正余弦的顺序、角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美. 七、教学过程 （一）导入新课 播放多媒体，出示问题： 如图，小土坡高BC约15米，在地平面上有一点A，测得AC两点间距离约35米，从A点观测塔的视角（ ）约为 ．试求该塔的高度． 分析：实际问题数学化 设该塔高 米， = , 则 . 中， 于是  . 如果能由 求得 的值，那么就能得出电视发射塔的高度了. 能不能由 求得 的值呢？或者说能不能由 把 表示出来呢？ 更一般地说，当 是任意角时，能不能用 的三角函数值把 或 的三角函数值表示出来呢？ 让学生认真思考，在用方程的思想分析题意、列出方程的过程中，得到：①实际问题中存在研究像 这样的包含两个角的三角函数的需要；②实际问题中存在研究像 与 这样的包含两角和的三角函数与 、 单角的三角函数的关系的需要.在此基础上，再一般化而提出本节的研究课题，从而导入新课. （二）探究新知 教学活动以问题作为向导，教师作适当引导，先提出问题：我们如何求 然后围绕以下几个问题进行教学活动： ①请学生猜想 ②利用前面学过的单位圆上的三角函数线，如何用 的三角函数来表示 呢？ ③利用向量的知识，又能如何推导发现 ④细心观察 公式的结构，它有哪些特征？其中 角的取值范围如何？ ⑤如何正用、逆用、灵活运用 公式进行求值计算？ 对于问题①，出示问题后，教师让学生充分发挥想象能力尝试一下，大胆猜想，有的同学可能就首先想到 的结论，此时教师适当的点拨，然后让学生由特殊角来验证它的正确性.如 ， ，则 ，而 ，这一反例足以说明 . 对于问题②，既然 ，那么 究竟等于什么呢？ 由于这里涉及的是三角函数的问题，是 这个角的余弦问题，我们能否利用单位圆上的三角函数线来探究呢？ 如图，设角 的终边与单位圆的交点为 ， ,则 .过点 作 垂直于 轴，垂足为 ，那么 就是 的余弦，即 ，接下来就是要用角 的正、余弦线来表示 .过点 作 垂直于 ，垂足为 ，过点 作 垂直于 轴，垂足为 ，过点 作 垂直于 ，垂足为 .那么 表示的是 ， 表示 ，并且 ，于是， ， 所以， . 教师引导学生进一步思考，以上的推理过程中，角 是有条件限制的，即 均为锐角，且 ，如果要说明此结果是否对任意角 都成立，还要做不少推广工作，并且这项推广工作的过程比较繁琐，由同学们课后动手试一试. 注：由于本推导过程比较繁琐，技巧性很强，做到非常严谨不是一件容易的事情.对于学生基础不是很好的班级，以上环节可以跳过，直接从问题③入手.至于问题②的方法可以让学生课后自由阅读. 对于问题③，教师引导学生，可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢？ 如图，在平面直角坐标系 内作单位圆 ，以 为始边作角 ，它们的终边与单位圆 的交点分别为 ，则 ， ， . 由数量积的定义有 ， 由数量积的坐标表示，又有 ， 于是， . 从图中可知， 或 ， （为什么？） 于是有  ，所以 . 由此可知，对任意角 都有          注：我们发现，运用向量工具进行探究推导，过程相当简洁.特别是当角 符合条件 ，以上结论显然成立.由于 都是任意角， 也是任意角，因此，我们还要通过严谨性分析，找到 与 的关系，这是一个难点. 此公式给出了任意角 的正弦、余弦值与其差角 的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记 .有了公式 以后，我们只要知道 的值，就可以求得 的值了. 对于问题④，教师引导学生细心观察公式 的结构特征，让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”，右边是“这两个角的余弦积与正弦积的和”.可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆，特别是运算符号，左“ ”右“ ”. 对于问题⑤，关于公式的正用比较简单，关键在于“凑角”的技巧，而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性，特别是变形应用，这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧，如： ， ，等 （三）例题讲评 例1 利用差角余弦公式求 的值. 解法一： ； 解法二： ； 注：这是通过应用理解公式的比较基础的练习，求解过程可由学生独立进行.通过本例，使学生对三角变换有了一定的认识，教师再作适当点评： 1 三角变换关注角的拆分；②拆分的多样性决定变换的多样性. 例2  已知 ， ， ， 是第三象限的角，求 的值. 解：由 ， ，得 ； 又由 ， 是第三象限的角，得  ； 所以  . 注：本题教师作出 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 的解答过程.本题的目的有两个： ①进一步加深公式的记忆和运用； ②加强养成规范书写的良好习惯. 八、课堂练习 课本P127  1、2、3 九、课堂小结 1. 公式： ；  2.凑角法思想. 十、课外作业 课本P137  2、3、4