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现代控制理论答案第三版.pdf

现代控制理论答案第三版

247972639
2013-01-16 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《现代控制理论答案第三版pdf》,可适用于高等教育领域

第一章答案试求图系统的模拟结构图并建立其状态空间表达式。KsKKpsKsKpsJsKnsJKb)(sθ)(sU解:系统的模拟结构图如下:)(sU)(sθKpKKpKKpKnK∫∫∫J∫JKb∫∫xxxxxx系统的状态方程如下:uKKxKKxKKxXKxKxxxxJKxJxJKxJKxxJKxxxppppnpb−−=−==−−===••••••阿令ys=)(θ则xy=所以系统的状态空间表达式及输出方程表达式为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••xxxxxxyuKKxxxxxxKKKKKKJKJJKJKJKxxxxxxppppnpb有电路如图所示。以电压)(tu为输入量求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程和以电阻R上的电压作为输出量的输出方程。解:由图令,,xuxixic===输出量xRy=有电路原理可知:•••===xCxxxxRxLuxxLxR既得xRyxCxCxxLxLRxuLxLxLRx=−=−=−−=•••写成矢量矩阵形式为:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡xxxRyuLxxxCCLLRLLRxxx。。。两输入uu两输出yy的系统其模拟结构图如图所示试求其状态空间表达式和传递函数阵。aaabb∫∫∫∫uuyyaaa解:系统的状态空间表达式如下所示:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡xxxxyubbxxxxaaaaaaxxxx⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=−)(aaasaasasAsI⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=−=−−)()(bbaaasaasasBAsIsWux⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=−=−−)()(bbaaasaasasBAsICsWuy系统的动态特性由下列微分方程描述uuuyyyy)(=K列写其相应的状态空间表达式并画出相应的模拟结构图。解:令yxyxyx===则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡xxxyuxxxxxx。。。相应的模拟结构图如下:∫∫∫uyxxx()已知系统传递函数))(()()(=sssssW,试求出系统的约旦标准型的实现并画出相应的模拟结构图解:sssssssssW)())(()()(−−==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡xxxxyuxxxxxxxx给定下列状态空间表达式⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡xxxyuxxxxxx‘()画出其模拟结构图()求系统的传递函数解:()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=−=)()(sssAsIsW))()(()()(==−ssssssAsI()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=−−))(()()())()(()(ssssssssssssAsI()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=−=−))(()()())()(())(()()())()(()()(ssssssssssssssssssssBAsIsWux))(()())()(())(()()()()(=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=−=−sssssssssssBAsICsWuy求下列矩阵的特征矢量()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=A解:A的特征方程==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=−λλλλλλλAI解之得:,,−=−=−=λλλ当−=λ时⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−pppppp解得:ppp−==令=p得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=pppP(或令−=p得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=pppP)当−=λ时⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−pppppp解得:,pppp=−=令=p得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=pppP(或令=p得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=pppP)当−=λ时⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−pppppp解得:,pppp=−=令=p得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=pppP将下列状态空间表达式化成约旦标准型(并联分解)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡xxxyyuxxxxxx()解:A的特征方程))((=−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=−λλλλλλAI,,==λλ当=λ时⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−pppppp解之得ppp==令=p得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=pppP当=λ时⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−pppppp解之得,pppp==令=p得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=pppP当=λ时⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−pppppp解之得,ppp==令=p得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=pppP⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=T⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=−T⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=−BT⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=CT约旦标准型x~yux~x~⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=第二章习题答案用三种方法计算以下矩阵指数函数Ate。()A=⎛⎞⎜⎟⎝⎠解:第一种方法:令IAλ−=则λλ−−=−−即()λ−−=。求解得到λ=λ=−当λ=时特征矢量ppp⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由Appλ=得pppp⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即pppppp=⎧⎨=⎩可令p⎡⎤=⎢⎥⎣⎦当λ=−时特征矢量ppp⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由Appλ=得pppp−⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦即pppppp=−⎧⎨=−⎩可令p⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦则T⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦T−⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎣⎦tttttAtttttteeeeeeeeeee−−−−−⎡⎤⎡⎤−⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦第二种方法即拉氏反变换法:ssIAs−−⎡⎤−=⎢⎥−−⎣⎦()()ssIAsss−−⎡⎤−=⎢⎥−−⎣⎦()()()()()()()()ssssssssss−⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥=⎢⎥−⎢⎥−−⎣⎦ssssssss⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎢⎥−−⎝⎠⎝⎠⎢⎥=⎢⎥⎛⎞−⎢⎥⎜⎟−−⎝⎠⎣⎦()ttttAttttteeeeeLsIAeeee−−−−−−⎡⎤−⎢⎥⎡⎤=−=⎢⎥⎣⎦⎢⎥−⎢⎥⎣⎦第三种方法即凯莱哈密顿定理由第一种方法可知λ=λ=−tttttttteeeeeeee−−−−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∂⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂−⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ttttAttttttttteeeeeeeeeeeee−−−−−−⎡⎤−⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎛⎞⎛⎞==⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣⎦⎢⎥−⎢⎥⎣⎦下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件如果满足试求与之对应的A阵。()()tttttttteeeeteeee−−−−−−−−⎡⎤−−Φ=⎢⎥−−⎣⎦()()()()()tttttttteeeeteeee−−−−⎡⎤−⎢⎥Φ=⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎣⎦解:()因为()I⎡⎤Φ==⎢⎥⎣⎦所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件()tttttttttteeeeAteeee−−−−−−−−==−⎡⎤−−⎡⎤=Φ==⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦⎣⎦()因为()I⎡⎤Φ==⎢⎥⎣⎦所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件()tttttttttteeeeAteeee−−=−−=⎡⎤−⎢⎥⎡⎤=Φ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥−⎢⎥⎣⎦求下列状态空间表达式的解:xxu⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦)(,yx=初始状态()x⎡⎤=⎢⎥⎣⎦输入()ut时单位阶跃函数。解:A⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ssIAs−⎡⎤−=⎢⎥⎣⎦()ssssIAsss−⎡⎤⎢⎥−⎡⎤−==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()AttteLsIA−−⎡⎤⎡⎤Φ==−=⎢⎥⎣⎦⎣⎦因为B⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()()utIt=()()()()()txttxtBudτττ=ΦΦ−∫tttdττ−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∫tttdττ−⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∫ttt⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ttt⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦yxtt==有系统如图所示试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=s和s而u和u为分段常数。图系统结构图解:将此图化成模拟结构图列出状态方程xkux=−xxu=−yxx=ukxxu−⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦xyx⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则离散时间状态空间表达式为()()()()()xkGTxkHTuk=()()()ykcxkDuk=由()AtGTe=和()TAtHTedtB=∫得:A−⎡⎤=⎢⎥⎣⎦kB⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦TC⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()TAtTseeLsIALse−−−−−⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=−==⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦−−⎣⎦⎣⎦⎩⎭()()TtTTTAtTTTkekkeeHedtdteTeTkTeT−−−−−−⎡⎤−⎡⎤⎡⎤−⎡⎤⎡⎤⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥−−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∫∫当T=时()()()()keexkxkukeke−−−−⎡⎤−⎡⎤=⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()ykxk=当T=时()()()()()keexkxkukeke−−−−⎡⎤−⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦⎣⎦()()ykxk=第三章习题判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关若有关其取值条件如何?()系统如图所示:∫∫∫∫xxxx解:由图可得:xydxxxcxxxxxcxxbxxuaxx=−=−=−=−=−=••••状态空间表达式为:xyuxxxxdcbaxxxx=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••由于•x、•x、•x与u无关因而状态不能完全能控为不能控系统。由于y只与x有关因而系统为不完全能观的为不能观系统。()系统如下式:xdcyubaxxxxxx⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•••解:如状态方程与输出方程所示A为约旦标准形。要使系统能控控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行元素不能为故有,≠≠ba。要使系统能观则C中对应于约旦块的第一列元素不全为故有,≠≠dc。时不变系统XyuXX⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=•试用两种方法判别其能控性和能观性。解:方法一:⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=ABBM,,CBA系统不能控。,<=rankM⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=CACN系统能观。,=rankN方法二:将系统化为约旦标准形。()AI−=−==−=−−=−λλλλλλ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⇒=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⇒=PPPAPPPAλλ则状态矢量:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=T⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=T⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=ATT⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=BT⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=CTBT中有全为零的行系统不可控。CT中没有全为的列系统可观。确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数iiβα和,,)(−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=CbAαα解:构造能控阵:⎥⎦⎤⎢⎣⎡==ααAbbM要使系统完全能控则αα≠即≠−αα构造能观阵:⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=CACααN要使系统完全能观则αα−≠−即≠−αα设系统的传递函数是)()(=sssassusy()当a取何值时系统将是不完全能控或不完全能观的?()当a取上述值时求使系统的完全能控的状态空间表达式。()当a取上述值时求使系统的完全能观的状态空间表达式。解:()方法:))()(()()()(==sssassusysW系统能控且能观的条件为W(s)没有零极点对消。因此当a=,或a=或a=时系统为不能控或不能观。方法:sasa))()(()()(−−==sasssassusy−=−=−=λλλXaaayuXX⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=•系统能控且能观的条件为矩阵C不存在全为的列。因此当a=,或a=或a=时系统为不能控或不能观。()当a=,a=或a=时系统可化为能控标准I型xayux=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=x()根据对偶原理当a=,a=或a=时系统的能观标准II型为xyuax=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=x已知系统的微分方程为:uyyyy=K试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。解:=====baaaa系统的状态空间表达式为xyux=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=x传递函数为A)C(sI)(=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−==−ssssssBsW其对偶系统的状态空间表达式为:xyux=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=x传递函数为)(−−=ssssW已知系统的传递函数为=ssss)s(W试求其能控标准型和能观标准型。解:)(==ssssssssW系统的能控标准I型为uxyux=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x能观标准II型为uxyux=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x给定下列状态空间方程试判别其是否变换为能控和能观标准型。xyux=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=x解:=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=CbA⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−==bAAbbM。不能变换为能控标准型系统为不能控系统<=rankM⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=CACACN以变换为能观标准型。系统为能观系统可=rankN试将下列系统按能控性进行分解(),,−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=CbA解:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−==bAAbbMrankM=<系统不是完全能控的。构造奇异变换阵cR:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==RAbRbR其中R是任意的只要满足cR满秩。即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=cR得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=−cR⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−==−ccARRA⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==−bRbc−==ccRc试将下列系统按能观性进行结构分解(),,−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=CbA解:由已知得,,−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=CbA则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=CACACNrankN=<该系统不能观构造非奇异变换矩阵R−有R−−⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦则R−−⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦xRARxRbuxu−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦ycRxx==试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解(),,=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=CbA现代控制理论第四章习题答案判断下列二次型函数的符号性质:()()Qxxxxxxxxxx=−−−−−()()vxxxxxxxxxx=−−−解:()由已知得()xQxxxxxxxxxxxxxxxxxx⎡⎤⎡⎤⎢⎥=−−−−−−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥−−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥−−−⎣⎦Δ=−<−Δ==>−−−Δ=−−=−<−−−因此()Qx是负定的()由已知得()xQxxxxxxxxxxxxxxxxxx⎡⎤⎢⎥=−−−−−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦Δ=>−Δ==>−−−Δ=−−=−<−−因此()Qx不是正定的已知二阶系统的状态方程:aaxxaa⎛⎞=⎜⎟⎝⎠试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。解:方法():要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定则要求满足A的特征值均具有负实部。即:()aaIAaaaaaaaaλλλλλ−−−=−−=−−=有解且解具有负实部。即:aaaaaa<>且方法():系统的原点平衡状态ex=为大范围渐近稳定等价于TAPPAQ=−。取QI=令PPPPP⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则带入TAPPAQ=−得到aaPaaaaPaaP−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦若()()aaaaaaaaaaaaaa=−≠则此方程组有唯一解。即()()()AaaaaaaPaaaaAaaaaA⎡⎤−=−⎢⎥−⎣⎦其中detAAaaaa==−要求P正定则要求()AaaPaaAΔ==>−因此aa<且detA>试用lyapunov第二法确定下列系统原点的稳定性。()()()aaaaPaa−Δ==>−()xx−⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦()xx−⎡⎤=⎢⎥−−⎣⎦解:()系统唯一的平衡状态是ex=。选取Lyapunov函数为()Vxxx=>则()()()()Vxxxxxxxxxxxxxxxxxx•==−−=−−=−−−<()Vx•是负定的。x→∞有()Vx→∞。即系统在原点处大范围渐近稳定。()系统唯一的平衡状态是ex=。选取Lyapunov函数为()Vxxx=>则()()()Vxxxxxxxxxxxxx•==−−−=−−<()Vx•是负定的。x→∞有()Vx→∞。即系统在原点处大范围渐近稳定。设非线性系统状态方程为:(),xxxaxxxa==−−>试确定平衡状态的稳定性。解:若采用克拉索夫斯基法则依题意有:()()xfxaxxx⎡⎤=⎢⎥−−⎣⎦()()TfxJxa

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